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Gleichungen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Gleichungen benötigst du in Mathe fast immer! Und bei Aufgaben und Übungen zu diesem Thema gibt es ganz schön viel zu tun: Gleichungen aufstellen, umformen, nach x umstellen und natürlich Gleichungen lösen!

Wie das alles funktioniert, erfährst du hier!

Alles zum Thema Gleichungen findest du hier gebündelt. Sofern du dich bereit fühlst, sieh dir unsere Klassenarbeiten an und übe wie in einer Prüfungssituation. 

Gleichungen – Klassenarbeiten

Wie erkennt man die verschiedenen Arten von Gleichungen?

Wenn du eine Gleichung zum Lösen vor dir hast, musst du zuerst die Art der Gleichung identifizieren. Da gibt es nämlich ganz schön viele verschiedene. Aber keine Sorge, alle Gleichungsarten haben unterschiedliche Merkmale, an denen du sie erkennen kannst.

  • Lineare  und quadratische Gleichungen

    Eine lineare Gleichung erkennst du daran, dass die unbekannte Variable, die meistens mit x bezeichnet wird, nur in der ersten Potenz vorkommt. Wenn die Gleichung dagegen einen Term mit \(x^2\) enthält, handelt es sich um eine quadratische Gleichung:

    \(2\color{red}{x} + 5 = 11\) (lineare Gleichung)

    \(3\color{red}{x^2} = 12\) (quadratische Gleichung)

  • Potenzgleichungen

    Bei einer Potenzgleichung können auch höhere Potenzen der unbekannten Variable x auftauchen. Wenn du also zum Beispiel ein \(x^3\) oder ein \(x^4\) entdeckst, dann weißt du, dass es sich um diese Gleichungsart handelt:

    \(\color{red}{x^4} = 256\) (Potenzgleichung)

  • Exponentialgleichungen

    Anders sieht es bei den Exponentialgleichungen aus. Hier kommen zwar auch Potenzen vor, allerdings steht dabei die unbekannte Variable x nicht mehr in der Basis, sondern im Exponenten der Potenz:

    \(4^\color{red}{x} = 64\) (Exponentialgleichung)

  • Bruchgleichungen

    Bruchgleichungen erkennst du dagegen immer daran, dass hier Brüche vorkommen, bei denen die unbekannte Variable im Nenner steht:

    \(\frac{24}{1 + \color{red}{x}} = 6\) (Bruchgleichung)

Wie löst man eine Gleichung?

Das Ziel beim Lösen einer Gleichung ist immer gleich: Du formst die Gleichung immer so um, dass am Ende die unbekannte Variable alleine auf einer Seite steht. Wie du die Gleichung nach x auflöst, hängt von der Art der Gleichung ab.

Lineare Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen löst du mit einfachen Äquivalenzumformungen nach der Variablen x auf. Später begegnen dir lineare Gleichungen besonders oft bei den sogenannten Gleichungssystemen. 

Quadratische Gleichungen lösen

Einfache quadratische Gleichungen löst du schnell durch Wurzelziehen oder Ausklammern. Für komplexere Gleichungen dieses Typs benötigst du dagegen die quadratische Ergänzung, die p-q-Formel oder auch die Mitternachtsformel.

Potenzgleichungen lösen

Bei Potenzgleichungen bringt dich ebenfalls das Wurzelziehen auf den richtigen Lösungsweg. Bei sehr schwierigen Potenzgleichungen hilft dir die Polynomdivision weiter.

Exponentialgleichungen lösen

Zum Lösen von Exponentialgleichungen musst du dich dagegen besonders mit dem Logarithmieren und den Logarithmusgesetzen auskennen. Manchmal kannst du auch einen Trick, die sogenannte Substitution anwenden, um schneller zur Lösung zu kommen.

Bruchgleichungen lösen

Bruchgleichungen zu lösen, kann ganz schön kompliziert sein: Nenner faktorisieren, die Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren und Brüche kürzen – hier hast du besonders viel Arbeit vor dir.

Bis du dir die Unterschiede beim Lösen der verschiedenen Gleichungsarten eingeprägt hast, musst du einige Aufgaben gerechnet haben. Durch unsere interaktiven Aufgaben mit Lösungen kannst du online üben. Damit fällt es dir bestimmt leichter!

Wie stellt man eine Gleichung aus einer Textaufgabe auf?

Bei Textaufgaben ist der erste Schritt, die passende Gleichung aufzustellen. Dabei ist der beste Ansatz immer: Ganz genau lesen! So kannst du den Text Wort für Wort durch mathematische Symbole ersetzen.

Was für eine Art von Gleichung du aufstellen sollst, musst du selbst am Text erkennen. Oft kann dir dabei aber das Thema der Textaufgabe helfen. Wenn im Text zum Beispiel die Rede von einer parabelförmigen Flugkurve ist, dann wird eine quadratische Gleichung gesucht.