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Lineare Gleichungen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Die linearen Gleichungen sind die erste Art von Gleichungen, die dir in der Schule begegnen! Wenn du lineare Gleichungen lernen möchtest, dann musst du als Erstes wissen, wie man diese linearen Gleichungen löst. Doch das ist nicht das Einzige, nach dem in Aufgaben und Übungen zu den linearen Gleichungen gefragt wird. Es kommt auch darauf an, lineare Gleichungen aufzustellen, zeichnerisch zu lösen, mit linearen Ungleichungen zu rechnen und natürlich die berühmten Textaufgaben zu lösen!

Mit diesen Lernwegen bereiten wir dich auf alles vor, was du für Übungsaufgaben zum Thema lineare Gleichungen wissen musst! Unsere Klassenarbeiten bieten dir zusätzlich viele Übungen mit Lösungen zu den linearen Gleichungen. Damit kann nichts mehr schiefgehen!

Wie löst man lineare Gleichungen?

Na klar, Gleichungen sind da, um gelöst zu werden! Eine Gleichung zu lösen heißt, den Wert der unbekannten Variablen (meistens x) herauszufinden. Eine lineare Gleichung kannst du rechnerisch oder auch zeichnerisch lösen.

  • Beim rechnerischen Lösen formst du die lineare Gleichung so lange durch sogenannte Äquivalenzumformungen um, bis die unbekannte Variable x ganz allein auf einer Seite steht. Zu den Äquivalenzumformungen, die du für lineare Gleichungen brauchst, gehören sowohl die Addition und Subtraktion als auch die Multiplikation und Division.
  • Für den zeichnerischen Lösungsweg stellst du die beiden Seiten der linearen Gleichung als zwei Geraden in einem Koordinatensystem dar. Dadurch findest du den Schnittpunkt der beiden Geraden heraus. Die x-Koordinate dieses Schnittpunkts ist dann die Lösung der linearen Gleichung.

Achte darauf, nach dem Lösen der Gleichung immer die korrekte Lösungsmenge anzugeben!

Wie rechnet man mit Ungleichungen?

Mit linearen Ungleichungen kannst du genauso rechnen wie auch mit linearen Gleichungen. Um sie zu lösen, wendest du die gleichen Äquivalenzumformungen an, bis die unbekannte Variable isoliert von allen anderen Zahlen allein auf einer Seite steht.

Allerdings gibt es eine wichtige Zusatzregel, die du für alle Übungsaufgaben zu den linearen Ungleichungen beachten musst:

  • Bei Multiplikation mit einer und bei Division durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
  • Außerdem musst du bei Ungleichungen bei der Lösungsmenge aufpassen. In der befindet sich meistens nicht nur eine Zahl, wie das oft bei linearen Gleichungen der Fall ist, sondern ein ganzer Zahlenbereich. Achte darauf, diesen Bereich in der Lösungsmenge korrekt anzugeben. Nur dann erhältst du die volle Punktzahl!

Wie löst man Textaufgaben mit linearen Gleichungen?

Bei Übungen zu linearen Gleichungen handelt es sich oft um sogenannte Textaufgaben. In diesen Aufgaben ist keine Gleichung gegeben, die du lösen sollst, sondern ein Text, der ein gewisses Problem beschreibt. Die wichtigsten Lösungsschritte lassen sich so zusammenfassen:

Text lesen und Größen zuordnen

Zuerst liest du dir den Aufgabentext aufmerksam durch und ordnest die gegebenen Informationen und Zahlen verschiedenen Größen zu. Wenn es beispielsweise in der Textaufgabe um einen Einkauf im Supermarkt geht, können diese Größen zum Beispiel die Gesamtkosten des Einkaufs und die Kosten für die einzelnen Produkte sein. Ganz wichtig ist auch, dass du dir klarmachst, was die gesuchte Größe ist, also die Variable x.

Gleichung aufstellen

Da bei einer Textaufgabe die Gleichung nicht gegeben ist, musst du sie selbst aufstellen. Im einfachsten Fall ist die Gleichung in Worten im Text gegeben. Dann musst du die Worte in mathematische Symbole umwandeln. Schwieriger wird es, wenn nur das Problem beschrieben ist. Dann kommst du auf die korrekte Gleichung, indem du dich fragst, welche beiden Größen aus der Aufgabe gleich sind.

Gleichung lösen

Ab jetzt kannst du die Textaufgabe wie eine ganz normale Aufgabe betrachten und die Gleichung lösen. Denk am Ende an den Antwortsatz! Der soll immer erklären, welche Bedeutung die Lösung der Gleichung für das Problem aus dem Text hat.