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Potenzfunktionen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Übungsaufgaben zu Potenzfunktionen sind vielseitig: Potenzfunktionen erkennen, Funktionsgraphen zeichnen, Funktionsgraphen verändern, Funktionsgleichungen einem Graphen zuordnen und Potenzfunktionen in Sachsituationen anwenden.

Als Grundwissen gehören zu den Potenzfunktionen vor allem die Potenzgesetze. Schau dir diese noch einmal an, falls du sie noch nicht kannst!

Wie erkennt man Potenzfunktionen?

Bei Aufgaben und Übungen zu den Potenzfunktionen geht es am Anfang darum, diesen Funktionstyp zu erkennen. Wenn du eine Funktionsgleichung gegeben hast, schaust du, wo die Variable x steht. Wenn die Variable nur als Basis einer Potenz vorkommt, dann handelt es sich um eine Potenzfunktion. Die Funktionsgleichung hat dann die Form:

\(f(x) = a \cdot x^b\)

Wenn du dagegen den Funktionsgraphen gegeben hast, musst du diesen mit den drei typischen Verläufen von Potenzfunktionen abgleichen. Diese hängen von dem Exponenten b ab:

  • Wenn der Exponent b eine positive gerade Zahl ist, dann ist die Potenzfunktion eine Parabel.
  • Wenn der Exponent b eine positive ungerade Zahl ist, dann hat die Potenzfunktion die Form einer kubischen Parabel.
  • Wenn der Exponent b positiv und kleiner als 1 ist, dann hat der Graph den Verlauf einer Wurzelfunktion.

Wenn dir also eine Parabel, eine kubische Parabel oder eine Wurzelfunktion als Funktionsgraph bei einer Aufgabe über den Weg läuft, weißt du: Es handelt sich dabei um eine Potenzfunktion mit positivem Exponenten!

Übrigens: Wenn der Exponent eine ganze negative Zahl ist, dann handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.

Wie zeichnet man Potenzfunktionen?

Die Graphen von Potenzfunktionen sehen etwas kompliziert aus, die Punkte liegen nicht so schön auf einer geraden Linie, wie bei einer linearen Funktion. Aber wenn du einige einfache Schritte befolgst, solltest du damit keine Probleme haben:

  1. Zeichne ein Koordinatensystem.
  2. Erstelle eine Wertetabelle.
  3. Trage deine Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem.
  4. Verbinde die Punkte durch eine Kurve.

Beim Verbinden der Punkte durch eine Kurve hilft es dir, wenn du weißt, wie die Graphen von Potenzfunktionen ungefähr aussehen.

Dein Wissen kannst du bei unseren Übungen mit Lösungen zum Skizzieren von Potenzfunktionen testen.

Wie löst man Aufgaben zu Potenzfunktionen?

Bei Textaufgaben zu Potenzfunktionen geht es oft um Wachstum, Extremwerte einer geometrischen Form oder um das Volumen von Körpern. Dabei hilft es, wenn du weißt, wie sich die Funktionsgraphen verändern, wie du eine Funktionsgleichung einem Graphen zuordnest oder wie du Anwendungsaufgaben löst. Hier findest du die besten Tipps und Tricks, um bei solchen Aufgaben nicht zu verzweifeln!

Der Funktionsgraph einer Potenzfunktion verändert sich zum Beispiel durch diese Schritte:

  • Das Vorzeichen des Koeffizienten a wird geändert. Der Graph wird dadurch an der x-Achse gespiegelt.
  • Eine Zahl wird vom Funktionsterm abgezogen. Der Graph verschiebt sich in Richtung der y-Achse.
  • Die Variable x wird um eine Zahl vergrößert oder verkleinert. Der Graph verschiebt sich in Richtung der x-Achse.

Bei anderen Aufgaben musst du gegebene Funktionsgleichungen verschiedenen Graphen zuordnen. Dabei hilft es dir, die Symmetrie und Orientierung des Graphen zu beachten, oder das Erkennen der Basis und das Vergleichen von Funktionswerten.