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Trigonometrische Funktionen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Hinter den trigonometrischen Funktionen verbergen sich die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen. Aus der Geometrie sind dir diese Begriffe sicher als Winkelverhältnisse bekannt. Sie können aber auch als Funktionen betrachtet werden, die abhängig von ihrem Argument sind. Trigonometrische Funktionen werden dir hauptsächlich in den Klassenstufen 10 bis 13 begegnen.

Um bei diesem Thema richtig durchzustarten, solltest du Kenntnisse in den folgenden Bereichen mitbringen:

  • Trigonometrie
  • Winkel
  • Grad- und Bogenmaß

Passende Übungsaufgaben zu den Themen findest du in den unten aufgeführten Lernwegen.

Im Folgenden findest du Informationen zur Parameterbestimmung von trigonometrischen Funktionen und weitere typische Aufgaben zu dem Themengebiet. Wenn du sicher im Umgang mit trigonometrischen Funktionen bist, kannst du dich an unseren Klassenarbeiten probieren. 

Trigonometrische Funktionen – Klassenarbeiten

Welche Aufgaben gibt es zu trigonometrischen Funktionen?

Viele Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen beginnen mit einer Zeichnung einer der Funktionen. Aufgaben, die sich auf die Parameter beziehen, werden häufig in Klassenarbeiten oder Tests verwendet. Das bedeutet im Allgemeinen, dass du z. B. die Amplitude, die Phasenverschiebung oder Ähnliches bestimmen sollst. Ferner kann es vorkommen, dass du die Aufgabe bekommst, die Nullstellen und Extremstellen zu bestimmen.

Wie löst man Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen?

Wie schon im oberen Abschnitt erwähnt, gibt es viele Aufgaben, die sich bei trigonometrischen Funktionen wiederholen. Wenn du die Abläufe verstanden hast, kannst du die Aufgabentypen mit unseren Übungen und Klassenarbeiten trainieren.

Wie bestimmt man trigonometrische Funktionen?

Zuerst solltest du dir klarmachen, um welche trigonometrische Funktion es sich handelt (Sinusfunktion, Kosinusfunktion etc.). Wenn du das herausgefunden hast, kannst du prüfen, wie sich diese Funkion von der Standardfunktion (z. B. \(f(x)=\cos x\)) unterscheidet.

Allgemein sieht z. B. die Kosinusfunktion so aus:
​​​​​\(f(x)= a\cdot \cos(bx+c)+d\)
Die Parameter sind:

  • die Amplitude ​​​\(a\)
  • die Periodenlänge ​​​\(b\)
  • die Phasenverschiebung \(c\)
  • die Verschiebung parallel zur y-Achse \(d\)

Sobald du weißt, welchen Wert die Parameter annehmen, kannst du die komplette Funktionsgleichung aufstellen.

Zwei Sinusfunktionen im Vergleich mit anderen Parameter

In der Abbildung siehst du ein Beispiel. Dort ist die Sinusfunktion \(f(x)= 2\cdot \sin(2x+3)+1\) rot dargestellt. Die grüne Funktion ist die Standardsinusfunktion \(f(x)=\sin x\). Hier kannst du gut sehen, wie stark der Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen sein kann.

Wie löst man trigonometrische Funktionen nach einem Parameter auf?

Wie schon erwähnt, gibt es bei den trigonometrischen Funktionen verschiedene Parameter. Wenn du alle Parameter verwendest, nimmt die Sinusfunktion folgende Form an:

\(f(x)= a\cdot \sin(bx+c)+d\)

Im oberen Abschnitt steht, was die einzelnen Parameter bewirken. Die Schrittfolge zeigt dir, wie du effektiv den gesuchten Parameter herausfinden kannst.

  1. Stell fest, welcher Parameter gesucht ist.
  2. Setz den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein.
  3. Stell die Gleichung auf den gesuchten Parameter um.
  4. Berechne den Parameter.

Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

Wie gibt man trigonometrische Funktionen in den Taschenrechner ein?

Du kannst dir die Ergebnisse auf dem Taschenrechner entweder in Gradmaß oder in Bogenmaß ausgeben lassen. Das Gradmaß ist die Angabe in Grad (\(^°\)). Auch das Bogenmaß lässt sich aus seinem Namen ableiten. Es gibt die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis an. Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad). Für diese Einheit gilt aber \(1\,\text{rad}=1\frac{\text{m}}{\text{m}}=1\), weshalb sie meistens einfach weggelassen wird. Beim Taschenrechner kannst du oben drei Buchstaben erkennen. Entweder steht da „RAD“ für Bogenmaß oder „DEG“ für Gradmaß. Was genau du davon brauchst, hängt stark von der Aufgabe ab.