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Kombinatorik | Aufgaben und Übungen

In Aufgaben zur Kombinatorik sollst du meistens die Anzahl an möglichen Ergebnissen für ein Experiment bestimmen. So ein Experiment kann eine Lotterie, eine Umfrage oder Ähnliches sein. Laplace-Experimente, bei denen jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, kommen ebenfalls häufig vor.

Um entscheiden zu können, wie wahrscheinlich beispielsweise ein Gewinn ist, musst du alle Möglichkeiten aufzählen. Das kann unter Umständen sehr lange dauern, daher gibt es Formeln, die dies erleichtern. 

Die Aufgaben unterscheiden sich außerdem in der Art des Experiments. Du musst vorher untersuchen, um welche Art es sich handelt, damit du die richtige Formel anwenden kannst. 

Wenn du noch etwas Übung brauchst, gehe die folgenden Lernwege noch einmal durch. Die Klassenarbeiten zeigen dir dann, ob du das Thema verstanden hast. 

Kombinatorik – Klassenarbeiten

Wie rechnet man Aufgaben in der Kombinatorik?

In der Kombinatorik geht es – wie der Name schon verrät – darum, für ein gewünschtes Ergebnis alle möglichen Kombinationen zu ermitteln.

Je nachdem, wie viele Elemente auftauchen, ist dies mal schwieriger und mal leichter. 

Bei wenigen Elementen kannst du alle möglichen Kombinationen noch handschriftlich notieren. Ein Beispiel wären die möglichen Paare aus den Kartensymbolen Herz, Pik, Karo und Kreuz. Geht es aber darum, alle möglichen Paare aus einem gesamten Kartenspiel aufzuschreiben, wird es schon etwas komplexer. Du hättest 32 Elemente, die du alle miteinander verbinden müsstest. Diese Liste wäre so lang, dass eine Rechnung viel schneller geht als das Aufschreiben aller Kombinationen. 

Häufig sollst du in den Aufgaben anschließend herausfinden, wie groß die Chance ist, ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen. Dafür müssen aus allen Möglichkeiten gezielt Kombinationen herausgesucht werden, die mit dem gewünschten Ergebnis übereinstimmen. In Bezug auf das Beispiel mit den Karten müssen dann alle Paare verwendet werden, welche die festgelegte Voraussetzung erfüllen. Diese werden dann in die passende Formel eingesetzt. 

Welche Formel du benutzen musst, hängt von dem vorliegenden Fall ab. Dieser wird in der Aufgabenstellung dargestellt.

Dafür musst du den Aufgabentext genau durchlesen!

Welche unterschiedlichen Fälle gibt es in der Kombinatorik?

Um eine Aufgabe in der Kombinatorik richtig lösen zu können, muss zuerst die Art des betrachteten Experiments geklärt werden. Dafür sollten zwei Fragen gestellt werden:

  1. Gibt es Wiederholungen? 
  2. Spielt die Reihenfolge eine Rolle? 

Die Beantwortung dieser Fragen entscheidet darüber, wie viele Kombinationen möglich sind und welche Formel somit zur Berechnung zu verwenden ist.

Zurücklegen

Das Urnenmodell ist eine beliebte Aufgabe und wird dir sehr häufig im Unterricht begegnen. Es geht dabei um das Ziehen von Kugeln aus einer Urne. Meistens soll die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Kombination bestimmt werden. Es kann auch nach der wahrscheinlichsten Kombination gefragt werden. Unabhängig von der Fragestellung, muss immer vorher geklärt werden, ob eine Kugel nach einer Ziehung jeweils zurückgelegt wird oder eben nicht. Das Zurücklegen entspricht quasi der Frage nach einer Wiederholung.

Wird sie nicht zurückgelegt, ergibt sich eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung für die nächste Ziehung. 

Reihenfolge

Die Frage nach der Reihenfolge hat ebenfalls einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Experiments. Ist die Reihenfolge unerheblich, ist es meist wahrscheinlicher, eine bestimmte Kombination zu erzielen. 

Spielt die Reihenfolge eine Rolle, wird die Auswahl der Elemente Variation genannt. Ansonsten ist der Begriff Kombination üblich. 

Wozu braucht man die Fakultät?

Die Fakultät spielt bei der Kombinatorik eine große Rolle. Sie taucht in jeder Formel auf, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.  

Vielleicht ist dir auf dem Taschenrechner schon einmal das folgende Symbol aufgefallen: !

Dieses Ausrufezeichen steht für die Fakultät. Die Fakultät einer Zahl \(n\) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner beziehungsweise gleich dieser Zahl \(n\). Beispielsweise gilt:

 \(4!\,=\,1\,\cdot\,2\,\cdot\,3\,\cdot\,4\)

Gesprochen wird dies als „vier Fakultät“. 

Wie löst man Aufgaben in der Kombinatorik?

Das Lösen von Aufgaben in der Kombinatorik besteht im Allgemeinen aus vier Arbeitsschritten:

  1. Lies den Aufgabentext gut durch. 
    Der Aufgabentext sagt dir, was du berechnen sollst, und gibt dir Hinweise auf die Art des Experiments. 
  2. Entscheide, welcher Fall vorliegt.
    Beantworte die oben aufgeführten Fragen in Bezug auf die Wiederholungen und die Reihenfolge, um die Art des Experiments festzulegen.
  3. Wähle die korrekte Formel aus.
    Die korrekte Formel ist davon abhängig, ob es Wiederholungen des Experiments gibt oder nicht.
  4. Setze die gegebenen Werte ein und berechne das Ergebnis.
    Achte genau auf die Aufgabenstellung, um die gewünschte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Vergiss auch nicht, einen Antwortsatz zu schreiben.

Du siehst, das Wichtigste beim Lösen der Aufgaben ist die genaue Beschäftigung mit den möglichen Fällen. Hast du diese richtig identifiziert, sollte das Einsetzen der Werte und die Berechnung keine Schwierigkeit mehr für dich darstellen!