Bei komplizierten Aufgaben aus der Stochastik geht es oft um ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Um dieses zu lösen, musst du dich vor allem mit Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln und bedingten Wahrscheinlichkeiten auskennen. Alles, was du zu diesen Themen wissen musst, findest du hier.

Du suchst Aufgaben und Übungen mit Lösungen zum Thema mehrstufige Zufallsexperimente? Teste dein Wissen mit unseren interaktiven Übungsaufgaben zu den mehrstufigen Zufallsexperimenten. Unsere Musterlösungen verraten dir, ob du alles richtig gemacht hast!  

Auf den Punkt gebracht erklären wir dir hier alles zum Thema mehrstufige Zufallsexperimente. 

Mehrstufige Zufallsexperimente – Lernwege

Mehrstufige Zufallsexperimente – Klassenarbeiten

Wie erkennt man mehrstufige Zufallsexperimente?

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment erkennst du daran, dass das Experiment mehrmals hintereinander wiederholt wird. Die Anzahl der Wiederholungen verrät dir dabei, wie viele Stufen das Zufallsexperiment hat.

Wenn zweimal eine Kugel aus einer Urne gezogen wird, handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Wenn eine Münze dreimal geworfen wird, dann ist das Experiment dreistufig.

Wie erkennt man die verschiedenen Arten von Wahrscheinlichkeiten?

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann es drei Arten von Wahrscheinlichkeiten geben:

  • Unabhängige Wahrscheinlichkeiten:
    Das Eintreffen eines Ereignisses hängt nicht von einem anderen Ereignis ab.
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten:
    Ein Merkmal tritt ein unter der Bedingung, dass ein zweites Merkmal bereits eingetroffen ist.
  • Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten:
    Zwei Merkmale treten zusammen auf.

Wie stellt man mehrstufige Zufallsexperimente dar?

Um Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten zu lösen, ist es fast immer hilfreich, das Experiment als Baumdiagramm oder Vierfeldertafel darzustellen.

Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm erstellst du, indem du zuerst die einzelnen Äste und Knoten zeichnest. Die Anzahl der Knoten pro Ast entspricht dabei der Anzahl der Stufen des Zufallsexperiments. Danach trägst du  Wahrscheinlichkeiten in das Baumdiagramm ein.

Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel legst du als eine Tabelle an, die die zwei verschiedenen Merkmale des Experiments und ihre Gegenereignisse darstellt. In diese Tabelle trägst du dann die relativen Häufigkeiten ein.

Wie rechnet man mit mehrstufigen Zufallsexperimenten?

Nachdem du in Übungsaufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel erstellt hast, musst du meistens eine bestimmte Wahrscheinlichkeit berechnen.

Wie rechnet man mit einem Baumdiagramm?

Um Wahrscheinlichkeiten mithilfe eines Baumdiagramms zu bestimmen, brauchst du vor allem die Pfadregeln. Sie helfen dir bei diesen Rechnungen:

  • die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades durch das Diagramm zu bestimmen,
  • die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit zu kombinieren.

Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ausrechnen sollst, zu dem sehr viele Pfade durch das Baumdiagramm gehören, ist es oft einfacher, du findest das Gegenereignis und wendest die Komplementärregel an.

Wie rechnet man mit einer Vierfeldertafel?

Wenn es in einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe um zwei verschiedene Merkmale geht, dann musst du meistens eine Vierfeldertafel verwenden!

Bei einfachen Aufgaben kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt aus der Vierfeldertafel ablesen. Ob es sich dabei um eine der äußeren oder inneren Wahrscheinlichkeiten der Tafel handelt, hängt davon ab, ob die Wahrscheinlichkeit für ein Merkmal oder für zwei Merkmale gleichzeitig gesucht ist.

Wie bestimmt man bedingte Wahrscheinlichkeiten?

Bedingte Wahrscheinlichkeiten kommen oft in Aufgaben zu zweistufigen Zufallsexperimenten vor. Um die zu berechnen, hilft dir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit weiter:

\(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit und die Einzelwahrscheinlichkeit, die für die Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit nötig sind, kannst du der Vierfeldertafel entnehmen!

Mit Baumdiagrammen kannst du oft die bedingte Wahrscheinlichkeit sehr schnell bestimmen. Denn an den zweiten Ästen stehen schon die bedingten Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Ereignis des zweiten Knoten unter der Bedingung des ersten Knotens eintrifft. Falls jedoch nach einer anderen bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt ist, musst du auch bei einem Baumdiagramm wieder die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit verwenden.

Wie prüft man die stochastische Unabhängigkeit?

Wenn du testen sollst, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind, dann vergleichst du ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit mit dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten:

\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\)

Wenn du in einer Aufgabe zeigen kannst, dass diese Formel erfüllt ist, dann besteht eine stochastische Unabhängigkeit. Mit diesen Techniken bist du bestens für die nächste Klassenarbeit gerüstet!