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Kurvendiskussion | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Die Kurvendiskussion ist ein elementares Thema in der Mathematik, das dich bis zum Abitur begleitet. Das heißt, es werden dir immer wieder Aufgaben begegnen, bei denen du die Grundlagen der Kurvendiskussion beherrschen musst.

Prinzipiell musst du in den Aufgaben alle Eigenschaften einer Funktion untersuchen und bestimmen. Dazu solltest du die natürlich alle kennen und wissen, wie man sie bestimmt.

Ausführliche Erklärungen zu allen Teilbereichen mit Beispielen und dazu passenden Übungsaufgaben mit Lösungen zur Kurvendiskussion findest du in unseren Lernwegen. Wenn du alles beherrscht, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten anwenden.

Kurvendiskussion – Lernwege

Kurvendiskussion – Klassenarbeiten

Wie bestimmt man den Definitionsbereich?

Beim Thema Kurvendiskussion ist eine typische Aufgabe, den Definitionsbereich und die Lücken einer Funktion zu bestimmen. Entweder du bekommst eine Funktion mit Funktionsgleichung oder es geht um eine Textaufgabe.

Die Definitionsmenge bzw. der Definitionsbereich einer Funktion enthält alle Zahlen, die – setzt man sie für eine Variable im Funktionsterm ein – zu einem mathematisch definierten Ausdruck führen. Dies lässt sich leichter verstehen, wenn man sagt, welche Zahlen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein dürfen.

Dies sind alles Zahlen, die zu Rechnungen führen, die mathematisch nicht möglich sind:

  • durch null teilen
  • die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen

Alle Zahlen für x, die zu einer solchen Rechnung führen, werden aus der Definitionsmenge ausgeschlossen. Damit hat die Definitionsmenge dann eine Lücke, da die Funktion für diese Zahlen nicht definiert ist.

Wie du die Lücken und den Definitionsbereich von anderen Funktionen bestimmst, erklären wir dir Schritt für Schritt in unseren Erklärvideos. Dazu passend haben wir dann auch interaktive Übungsaufgaben zum Definitionsbereich und zur Definitionslücke für dich.

Wie bestimmt man Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen?

Die verschiedenen Funktionen, wie lineare und quadratische Funktionen, haben Schnittpunkte mit der x- und y-Achse, die du oft in Klassenarbeiten berechnen musst.

Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der x-Achse?

Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat die Eigenschaft, dass an dieser Stelle der y-Wert null ist. Man bezeichnet diese Stelle auch als Nullstelle.

Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse?

Dieser hat die Eigenschaft, dass an dieser Stelle der x-Wert null ist. Man bezeichnet diese Stelle auch als y-Achsenabschnitt.

Wie bestimmt man Extremstellen?

Ein Extremwert ist ein y-Wert, und zwar jener zu dem zugehörigen x-Wert, den man Extremstelle nennt. Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einer Umgebung (in einem Intervall) entweder der höchste Punkt (dann nennt man ihn Maximum oder Hochpunkt) oder aber der tiefste Punkt (dann nennt man ihn Minimum oder Tiefpunkt) ist.

Extremstellen finden

Die Extremstellen einer Funktion findest du in der ersten Ableitung der Funktion.

Um die Extremwerte einer Funktion zu finden, benötigt man die erste und die zweite Ableitung:

  1. erste Ableitung bilden
  2. erste Ableitung gleich null setzen

Extremstellen überprüfen

Die in der ersten Ableitung gefundenen Extremstellen musst du noch in zwei einfachen Schritten überprüfen.

  1. Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen
  2. Ist der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle ungleich null, handelt es sich um eine Extremstelle:
    \(f^{''}(x) > 0\) → Minimum
    \(f^{''}(x) < 0\) → Maximum

Extremstellen müssen oft bei der Lösung von Anwendungsaufgaben gefunden werden.

Wie bestimmt man Symmetrieeigenschaften?

Funktionsgraphen können wie jedes geometrische Objekt grundsätzlich ganz verschiedene Symmetrien aufweisen. Bei einer Kurvendiskussion interessiert man sich aber vor allem für die folgenden beiden Symmetrien:

  • Punktsymmetrie zum Ursprung: Diese liegt vor, wenn im ganzen Definitionsbereich gilt:
    \(x \in f(-x) = -f(x)\)
  • Achsensymmetrie zur y-Achse: Diese liegt vor, wenn im ganzen Definitionsbereich gilt: 
    \(x \in f(-x) = f(x)\)xD

Wie löst man Aufgaben zur Kurvendiskussion?

Am Ende der Unterrichtseinheit werdet ihr auf jeden Fall eine Klassenarbeit mit Aufgaben zu Kurvendiskussionen schreiben.

Besonders gut vorbereitet bist du, wenn du vorher eine Generalprobe machst, eine unserer Klassenarbeiten bearbeitest und deine Lösungen überprüfst. Wenn du das gemacht hast und alles der Reihe nach durchgearbeitet hast, kannst du solche Aufgaben sicher lösen, da die einzelnen Teilschritte nicht schwierig sind.