Bruchgleichungen

Was du wissen musst

• Welche Eigenschaften von Bruchgleichungen sind wichtig?

  Variablen im Nenner

  Wie du an der Definition von Bruchgleichungen erkennst, ist ihr grundlegendes Merkmal, dass es Gleichungen mit Variablen im Nenner sind. So einen Term mit einer Variablen im Nenner bezeichnet man als Bruchterm. Eine Bruchgleichung kann nicht nur einen, sondern auch mehrere Bruchterme enthalten. Außerdem ist es auch erlaubt, dass mehrere verschiedene Variablen, also zum Beispiel \(x\) und \(y\), in den Nennern vorkommen.

  Definitionsmenge

  Bei Bruchgleichungen ist es ganz wichtig, eine Definitionsmenge anzugeben. Diese Menge enthält alle Zahlen, die man für die unbekannte Variable einsetzen darf. Es kommt also bei der Definitionsmenge nicht darauf an, welche Zahlen die Gleichung lösen, sondern welche Zahlen man prinzipiell für die Variable einsetzen darf, ohne dabei Rechenregeln zu verletzen.

  Weil bei Bruchgleichungen Variablen im Nenner stehen, musst du darauf achten, dass diese Nenner nicht zu null werden. Denn ein Bruch mit einer Null im Nenner ist nicht erlaubt! Alle Zahlen, für die ein Nenner null ergibt, sind deshalb von der Definitionsmenge ausgeschlossen. In diesem Beispiel dürfte die Variable \(x\) beispielsweise nicht die Zahl \(4\) annehmen:

  \(\begin{align} \frac{14}{x\,-\,4} = 7 \end{align}\)

  Denn für \(x = 4\) würde der Nenner \(0\) ergeben und das ist verboten. Alle anderen reellen Zahlen sind jedoch erlaubt. Die Definitionsmenge für diese Bruchgleichung ist deshalb \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \text{\\} \{4\} \), also alle reellen Zahlen außer der \(4\).

  Lösungsmenge

  In der Lösungsmenge sind dagegen alle Zahlen zusammengefasst, die tatsächlich eine Lösung der Gleichung sind und sich gleichzeitig auch in der Definitionsmenge befinden.

  Es kann vorkommen, dass du eine Zahl als Ergebnis beim Lösen einer Bruchgleichung erhältst, die von der Definitionsmenge ausgeschlossen ist. Weil du diese Zahl deshalb gar nicht für die Variable einsetzen darfst, ist sie auch kein Teil der Lösungsmenge. Du musst also jede Lösung darauf prüfen, ob sie auch Teil der Definitionsmenge ist. Nur dann ist sie in der Lösungsmenge enthalten.

• Wie löst man Bruchgleichungen erfolgreich?

  Die wichtigste Frage ist natürlich, wie du Bruchgleichungen lösen kannst. Dafür hältst du dich am besten an diese vier Schritte:

  1. Bestimme die Definitionsmenge. 
  2. Faktorisiere die Nenner und finde den Hauptnenner.
  3. Multipliziere die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und kürze alle Brüche.
  4. Löse die normale Gleichung.

  Mit den ersten drei Schritten wandelst du die Bruchgleichung in eine normale Gleichung um. Die kannst du dann im vierten Schritt auf gewohnte Weise lösen.

• Wie stellt man Bruchgleichungen aus Textaufgaben auf?

  Bei Textaufgaben, in denen du eine Bruchgleichung aufstellen und dann lösen musst, geht es um eine Größe, die du als Bruch darstellen kannst. Diese Größe ist oft eine Geschwindigkeit (Weg pro Zeit) oder auch eine Leistung (Arbeit pro Zeit). Aber wie kannst du aus dem Text eine Bruchgleichung herleiten? Dafür ist es geschickt, dieses Vorgehen zu benutzen:

  1. Lies den Text genau und lege die gesuchte Variable fest.
  2. Stelle die einzelnen Brüche mit der gesuchten Variable im Nenner auf.
  3. Formuliere aus diesen Brüchen und den Angaben im Text eine Bruchgleichung.