Bruchgleichungen

Was sind Bruchgleichungen?

Bruchgleichungen sehen auf den ersten Blick ganz schön kompliziert aus! Dabei ist die Erklärung zu ihnen gar nicht so schwierig: Denn Bruchgleichungen sind alle Gleichungen, bei denen mindestens eine unbekannte Variable im Nenner eines Bruchs vorkommt. Diese Gleichung ist also zum Beispiel eine Bruchgleichung:

$\frac{32}{3\color{red}{x} \,+\, 2} = \frac{4}{\color{red}{x}\,-\,1}$

In diesem Lernweg erfährst du, was du machen musst, um Bruchgleichungen zu vereinfachen! Mit diesem Rezept kannst du diese Gleichungsart verstehen und lösen. Falls du Online-Prüfungen mit Lösungen suchst, um das Thema Bruchgleichungen zu üben, kannst du dir unsere Klassenarbeiten anschauen.

Wie du Bruchgleichungen aufstellst

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Bruchgleichungen aufstellen

Bruchgleichungen aufstellen (einfach)

Aufgabe:

Welche Variable nimmt man typischerweise für die Zeit? Wähle.

$z$
.
$x$
.
$s$
.
$t$
.

Aufgabe:

Wie wird die Geschwindigkeit ausgerechnet? Zieh die Wörter an die richtige Stelle, sodass die Formel stimmt.

Geschwindigkeit ist

pro

, dementsprechend lautet die Formel:

Zeit

$s$

$v$

$t$

Weg (oder Strecke)

Bruchgleichungen aufstellen (mittel)

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Textaufgabe:

Tom und Clara sind Geschwister. Für ein Familientreffen reisen beide zu ihren Eltern. Tom hat einen Anfahrtsweg von 400 km, während Clara nur 80 km von den Eltern entfernt wohnt. Für die Fahrt zu ihren Eltern braucht Tom nur 2 Stunden länger als Clara. Das liegt daran, dass Tom doppelt so schnell fährt wie Clara. Wie lange braucht Tom für die Fahrt zu seinen Eltern?

Welche Größe ist gesucht? Wähle.

$v_\mathrm{T}$
.
$t_\mathrm{T}$
.
$v_\mathrm{C}$
.
$t_\mathrm{C}$
.

Aufgabe:

Wir sind noch immer bei Tom und Clara. Zur Erinnerung:

Tom und Clara sind Geschwister. Für ein Familientreffen reisen beide zu ihren Eltern. Tom hat einen Anfahrtsweg von 400 km, während Clara nur 80 km von den Eltern entfernt wohnt. Für die Fahrt zu ihren Eltern braucht Tom nur 2 Stunden länger als Clara. Das liegt daran, dass Tom doppelt so schnell fährt wie Clara. Wie lange braucht Tom für die Fahrt zu seinen Eltern?

Ordne jedem Satz aus der Aufgabe die Formel oder Größe zu, die man daraus ableiten kann.

Tom hat einen Anfahrtsweg von 400 km, während Clara nur 80 km von den Eltern entfernt wohnt.
→

Für die Fahrt zu ihren Eltern braucht Tom 2 Stunden länger als Clara.
→

Das liegt daran, dass Tom doppelt so schnell fährt wie Clara.
→

$s_\mathrm{T} = 400~ \mathrm{km}$ ,

$s_\mathrm{C} = 80~ \mathrm{km}$

$v_\mathrm{T} = 2 · v_\mathrm{C}$

$t_\mathrm{T} = t_\mathrm{C} + 2~\mathrm{h}$

Aufgabe:

Felix und Fatma haben sich letztes Jahr auf einem Musikfestival kennengelernt. Auch dieses Jahr fahren beide wieder hin. Sie wollen sich dort vor dem Einlass treffen. Sie überlegen, wann sie jeweils losfahren müssen. Felix hat einen Anfahrtsweg von 400 km. Fatmas Weg ist 60 km länger. Für die Fahrt braucht Felix 2 Stunden weniger als Fatma. Das liegt daran, dass Felix doppelt so schnell fährt wie Fatma. Wie lange braucht Fatma für die Fahrt?

Welche Formeln können aus der Aufgabenstellung abgeleitet werden? Wähle.

$s_\mathrm{Fe} =400 ~\mathrm{km}$ , $s_\mathrm{Fa} = 60~\mathrm{km}$
.
$v_\mathrm{Fe} = 2 · v_\mathrm{Fa} $
.
$t_\mathrm{Fa} = t_\mathrm{Fe} + 2~\mathrm{h}$
.
$t_\mathrm{T} = t_\mathrm{S} + 2~\mathrm{h}$
.
$s_\mathrm{Fa} = s_\mathrm{Fe} + 60~\mathrm{km}$
.
$v_\mathrm{Fa} = 2 · v_\mathrm{Fe} $
.

Aufgabe:

Wir sind noch immer bei Felix und Fatma. Zur Erinnerung:

Felix und Fatma haben sich letztes Jahr auf einem Musikfestival kennengelernt. Auch dieses Jahr fahren beide wieder hin. Sie wollen sich dort vor dem Einlass treffen. Sie überlegen, wann sie jeweils losfahren müssen. Felix hat einen Anfahrtsweg von 400 km. Fatmas Weg ist 60 km länger. Für die Fahrt braucht Felix 2 Stunden weniger als Fatma. Das liegt daran, dass Felix doppelt so schnell fährt wie Fatma. Wie lange braucht Fatma für die Fahrt?

Aus den Angaben lassen sich folgende Gleichungen ableiten:

$v_\mathrm{Fe} = 2 · v_\mathrm{Fa} $
$t_\text{Fa} = t_\text{Fe} + 2~ \text{h}$
$s_\text{Fa} = s_\text{Fe} + 60 ~\text{km}$

Gib an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist:
Zusammengefasst in einer Gleichung ergibt sich:

$\frac{s_\text{Fe}}{t_\text{Fe}} = \frac{s_\text{Fe}\ +\ 60 ~\text{km}}{t_\text{Fe}\ +\ 2 ~\text{h}}$

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Wir sind noch immer bei Felix und Fatma. Zur Erinnerung:

Felix und Fatma haben sich letztes Jahr auf einem Musikfestival kennengelernt. Auch dieses Jahr fahren beide wieder hin. Sie wollen sich dort vor dem Einlass treffen. Sie überlegen, wann sie jeweils losfahren müssen. Felix hat einen Anfahrtsweg von 400 km. Fatmas Weg ist 60 km länger. Für die Fahrt braucht Felix 2 Stunden weniger als Fatma. Das liegt daran, dass Felix doppelt so schnell fährt wie Fatma. Wie lange braucht Fatma für die Fahrt?

In der letzten Aufgabe haben wir folgende Bruchgleichung erhalten:

$\frac{s_\text{Fe}}{t_\text{Fe}} = 2 \cdot \frac{s_\text{Fe}\ +\ 60 ~\text{km}}{t_\text{Fe}\ +\ 2 ~\text{h}}$

Welche der folgenden Bruchgleichungen beschreibt das Problem der Aufgabenstellung richtig und ausschließlich abhängig von

$t_\text{Fe}$ ? Wähle dir richtige Gleichung aus.

$\frac{60 ~\text{km}}{t_\text{T}} = 2 \cdot \frac{60 ~\text{km}\ +\ 60 ~\text{km}}{t_\text{T}\ +\ 2 ~\text{h}}$
.
$\frac{400 ~\text{km}}{t_\text{Fe}} = 2 \cdot \frac{400 ~\text{km}\ +\ 60 ~\text{km}}{t_\text{Fe}\ +\ 2 ~\text{h}}$
.
$\frac{s_\text{Fe}}{t_\text{Fe}} = 2 \cdot \frac{s_\text{Fe}\ +\ 60 ~\text{km}}{t_\text{Fe}\ +\ 2 ~\text{h}}$
.

Bruchgleichungen aufstellen (schwer)

Aufgabe:

Jonas erfindet eine Knobelaufgabe für den Matheunterricht: „

$\frac{15}{2}$ meines Alters betragen gerade so viel wie

$\frac{2}{3}$ vom Alter meines Bruders. Ich bin außerdem

$9$ Jahre älter als mein Bruder. Wie alt bin ich?“

Seine Mitschüler stellen eine Gleichung auf, um die Aufgabe zu lösen. Entscheide, ob diese Gleichung richtig (wahr) oder falsch ist.

$\frac{15}{2} A_J = \frac{2}{3} A_B$

$A_J = A_B + 9$
Hinweis:

$A_J$ = Alter von Jonas,

$A_B$ = Alter des Bruders

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Ein Segelboot und ein Motorboot fahren auf einem See. Das Segelboot legt eine Strecke von 11 km zurück, während das Motorboot für 20 km eine Stunde weniger benötigt. Die Geschwindigkeit des Motorbootes ist dreimal so groß wie die des Segelbootes. Wie lange war das Segelboot unterwegs?

Wähle die passende Bruchgleichung aus.
Hinweis: Der Index „M“ steht für „Motorboot“ und „S“ steht für „Segelboot“.

$\frac{11~\text{km}}{t_\text{S}}=\frac{60~\text{km}}{t_\text{M}}$ , dabei ist $t_\text{M}=t_\text{S}+1~\text{h}$
.
$\frac{11~\text{km}}{t_\text{S}}= \frac{60~\text{km}}{t_\text{M}}$ , dabei ist $t_\text{M}=t_\text{S} -1~\text{h}$
.
$\frac{33~\text{km}}{t_\text{S}}=\frac{30~\text{km}}{t_\text{M}}$ , dabei ist $t_\text{M}=t_\text{S} -1~\text{h}$
.
$\frac{33~\text{km}}{t_\text{S}}=\frac{20~\text{km}}{t_\text{M}}$ , dabei ist $t_\text{M}=t_\text{S}-1~\text{h}$
.

Aufgabe:

Tom trägt in seiner Nachbarschaft Zeitungen aus, jede Woche 600 Stück. Wenn sein Freund Andi ihn begleitet, sind sie zusammen bereits 1 h früher fertig. Vergleicht man die Anzahl der ausgetragenen Zeitungen pro Stunde, dann tragen beide zusammen 1,5-mal so schnell aus wie Tom allein. Wie lange braucht Tom für die Arbeit, wenn er allein austrägt?

Beurteile, ob die folgende Bruchgleichung dazu richtig (wahr) oder falsch ist:

$\frac{600}{t_\text{T}}=1{,}5\cdot \frac{600}{t_\text{T}\ -\ 1~\text{h}}$

Hinweis: Der Index „T“ steht für „Tom“.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Bahn 1 fährt 300 km bis zum Zielbahnhof, während Bahn 2 dorthin 400 km benötigt. Außerdem braucht Bahn 2 für die Fahrt 3 Stunden mehr als Bahn 1. Die Geschwindigkeit von Bahn 1 ist dreimal so groß wie die von Bahn 2. Wie lange ist Bahn 1 unterwegs?

Wähle die passende Bruchgleichung aus.
Hinweis: Der Index „1“ steht für „Bahn 1“ und „2“ steht für „Bahn 2“.

$\frac{300~\text{km}}{t_1\ +\ 3~\text{h}}=\frac{1200~\text{km}}{t_1}$

.
$\frac{900~\text{km}}{t_1\ +\ 3~\text{h}}=\frac{400~\text{km}}{t_1}$
.
$\frac{900~\text{km}}{t_1\ +\ 3~\text{h}}=\frac{1200~\text{km}}{t_1}$
.
$\frac{300~\text{km}}{t_1}=\frac{1200~\text{km}}{t_1\ +\ 3~\text{h}}$
.

Wie du Bruchgleichungen löst

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Bruchgleichungen lösen

Bruchgleichungen lösen (einfach)

Aufgabe:

Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Wähle.

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte für die Unbekannte in die Gleichung eingesetzt werden dürfen.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Was bedeutet folgende Definitionsmenge? Wähle die zutreffende Aussage aus.

$\mathbb{D} = \mathbb{R} {\setminus} \lbrace 2;3\rbrace$

Nur die Zahlen $2$ und $3$ dürfen in die Gleichung eingesetzt werden.
.
In die Gleichung dürfen alle beliebigen Zahlen eingesetzt werden.
.
Alle reellen Zahlen außer $2$ und $3$ dürfen in die Gleichung eingesetzt werden.
.

Bruchgleichungen lösen (mittel)

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Bruchgleichung:

$\frac{x\ +\ 2}{x\ -\ 2} = \frac{x\ -\ 3}{x\ +\ 3}$

Bestimme die Definitionsmenge und wähle die richtige Antwort aus.

$\mathbb{D} = \mathbb{R} {\setminus} \lbrace 2;3\rbrace$
.
$\mathbb{D} = \mathbb{R} {\setminus} \lbrace -2;3\rbrace$
.
$\mathbb{D} = \mathbb{R} {\setminus} \lbrace -3;-2\rbrace$
.
$\mathbb{D} = \mathbb{R} {\setminus} \lbrace -3;2\rbrace$
.

Aufgabe:

Der Hauptnenner der Gleichung

$\frac{x\ +\ 2}{x\ -\ 2} = \frac{x\ -\ 3}{x\ +\ 3}$

lautet:

$(x+2)(x-3)$

Ist diese Aussage wahr oder falsch? Beurteile.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Löse die Gleichung nach

$x$ auf und trage die Lösung in die Lücken ein.

$\frac{x\ +\ 2}{x\ -\ 2} = \frac{x\ -\ 3}{x\ +\ 3}$

$\text{HN} = (x-2)(x+3)$

$x =$

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Gleichung:

$\frac{x\ +\ 2}{x\ -\ 2} = \frac{x\ -\ 3}{x\ +\ 3}$

mit

$\text{HN} = (x-2)(x+3)$

$\mathbb{D} = \mathbb{R} {\setminus} \lbrace -3;2\rbrace$

und der Lösung:

$x = 0$

Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Wähle.

$x = 0$ ist keine Lösung, da

$0$ in der Definitionsmenge liegt.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Wähle den richtigen Hauptnenner zu folgender Bruchgleichung aus.

$\frac{x}{6(x\ -\ 2)} = \frac{x\ -\ 5}{12(x\ +\ 4)} - \frac{2}{6(x\ -\ 2)^2}$

$\text{HN} = 2 · 3 · (x-2) (x+4)$
.
$\text{HN} = 2^2 · 3 · (x-2)^2 (x+4)$
.
$\text{HN} = 2^2 · 3 · (x-2) (x+4)$
.

Bruchgleichungen lösen (schwer)

Aufgabe:

Löse die folgende Bruchgleichung und wähle das richtige Ergebnis aus.

$\frac{20}{x\ -\ 1} = \frac{33}{x}$

$x = 6$
.
$x = \frac{34}{7}$
.
Es gibt keine Lösung.
.
$x = \frac{33}{13}$
.

Aufgabe:

Wähle für folgende Bruchgleichung die passende Definitionsmenge und den passenden Hauptnenner aus.

$\frac{10}{3x\ -\ 6}-\frac{x}{x\ -\ 2}=\frac{3x}{5x\ -\ 1}$

$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{2;5\}$ und $12(x-2)(5x-1)$
.
$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{3;5\}$ und $15(x-2)(5x-1)$
.
$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{\frac{1}{5};2\}$ und $3(x-2)(5x-1)$
.
$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{2;\frac{1}{5}\}$ und $3(x-2)^2(5x-1)$
.

Aufgabe:

Ordne jeder Bruchgleichung die passende Definitionsmenge zu.

$\frac{2x\ -\ 4}{x\ -\ 3}+\frac{3x}{4x\ -\ 2}=\frac{5x\ +\ 4}{x}$ →

$\frac{x}{2x\ -\ 6}=\frac{15x\ +\ 3}{x\ -\ 4}$ →

$\frac{10x}{x\ -\ 5}-\frac{5\ -\ x}{x\ -\ 1}=\frac{3x}{2x\ -\ 4}$ →

$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{0;\frac{1}{2};3\}$

$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{1;2;5\}$

$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{3;4\}$

Aufgabe:

Berechne jeweils den Hauptnenner. Ordne den Gleichungen anschließend den richtigen Hauptnenner zu.

$\frac{4x}{3x\ -\ 3}-\frac{5x\ +\ 2}{x\ -\ 1}=\frac{14x}{x\ -\ 2}$ →

$\frac{15x\ +\ 2}{6x\ -\ 6}-\frac{x\ -\ 1}{x\ -\ 2}=\frac{x}{x\ -\ 1}$ →

$\frac{6x}{x\ -\ 1}-\frac{x}{5x\ -\ 5}=\frac{5\ -\ x}{x\ -\ 3}$ →

$6(x-1)(x-2)$

$3(x-1)(x-2)$

$5(x-1)(x-3)$

Aufgabe:

Löse die Bruchgleichung und wähle die richtige Lösung aus.

$\frac{x\ -\ 1}{x\ -\ 3}-\frac{x\ +\ 1}{2x\ -\ 4}=\frac{12}{4x\ -\ 8}$

$x=5$

.
$x=3$

.
$x=2$

.
$x=1$

.

Bruchgleichungen (einfach)

Aufgabe:

Gib an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Um eine Bruchgleichung zu vereinfachen, wird der Hauptnenner bestimmt. Diesen multipliziert man jeweils mit den Nennern der Brüche.

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gegeben ist folgender Bruch:

$\frac{x\ -\ 1}{x}$

Welchen Wert darf man für

$x$ nicht einsetzen? Trage ihn in die Lücke ein.

Für

$x$ dürfen alle rationalen Zahlen eingesetzt werden, bis auf die Zahl .

Bruchgleichungen (mittel)

Aufgabe:

„Ein Schwimmbecken hat

$2$ verschiedengroße Rohre, um das Schwimmbecken mit Wasser zu füllen. Im alleinigen Betrieb braucht Rohr

$1$ zum Befüllen des Beckens eine Stunde weniger als Rohr

$2$ . Wird das Becken mit beiden Rohren gleichzeitig gefüllt, dauert das

$3$ Stunden weniger, als wenn nur mit Rohr

$1$ befüllt wird. Wie lange braucht Rohr

$1$ , um das Schwimmbecken allein zu befüllen?“

Wähle aus den hier angegebenen Gleichungen diejenigen aus, die die Geschwindigkeit korrekt angeben,

mit der Rohr $1$ ( $v_1$ ),
mit der Rohr $2$ ( $v_2$ ) und
mit der beide Rohre zusammen ( $v_\text{Z}$ )

das Schwimmbecken füllen – in Abhängikeit von der Zeit, die Rohr

$1$ (

$t_1$ ) braucht.

Tipp: Die Geschwindigkeit des Befüllens ist

$v_\text{B}$ =

$\frac{1}{t_\text{B}}$ , wobei

$t_\text{B}$ jeweils die Zeit ist, um das Becken komplett zu füllen.

$v_Z = \frac{1}{t_1\ -\ 3}$
.
$v_1 = \frac{1}{t_1\ +\ 1}$
.
$v_Z = \frac{1}{t_1}$
.
$v_Z = \frac{1}{t_1\ +\ 1}$
.
$v_2 = \frac{1}{t_1\ +\ 1}$
.
$v_1 = \frac{1}{t_1\ +\ 3}$
.
$v_1 = \frac{1}{t_1}$
.
$v_2 = \frac{1}{t_1\ +\ 3}$
.
$v_2 = \frac{1}{t_1}$
.

Aufgabe:

Wir sind immer noch beim Schwimmbecken. Zur Erinnerung:

„Ein Schwimmbecken hat

$2$ verschiedengroße Rohre, um das Schwimmbecken mit Wasser zu füllen. Im alleinigen Betrieb braucht Rohr

$1$ zum Befüllen des Beckens eine Stunde weniger als Rohr

$2$ . Wird das Becken mit beiden Rohren gleichzeitig gefüllt, dauert das

$3$ Stunden weniger, als wenn nur mit Rohr

$1$ befüllt wird. Wie lange braucht Rohr

$1$ , um das Schwimmbecken allein zu befüllen?“

Hier noch mal die Gleichungen, um die Geschwindigkeiten zu berechnen, die Rohr

$1$ (

$v_1$ ), Rohr

$2$ (

$v_2$ ) und beide Rohre zusammen (

$v_\text{Z}$ ) benötigen, um das Schwimmbecken zu befüllen:

$v_1 = \frac{1}{t_1}$

$v_2 = \frac{1}{t_1\ +\ 1}$

$v_\text{Z} = \frac{1}{t_1\ -\ 3}$

Wie lautet der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten? Wähle die richtige Antwort aus.

Hinweis: Du brauchst nicht zu rechnen, sondern musst nur logisch schließen. Gehe davon aus, dass die Zulaufgeschwindigkeit durch ein Rohr unabhängig davon ist, ob das andere Rohr geöffnet wurde oder nicht.

$v_1 + 2v_2 = v_\text{Z}$
.
$v_1 + v_2 + v_\text{Z} = 0$
.
$v_1 + v_2 = v_\text{Z}$
.
$v_1 + v_2 = 2v_\text{Z}$
.

Aufgabe:

Aus den letzten Aufgaben hast du folgende Gleichungen:

$v_1 = \frac{1}{t_1}$

$v_2 = \frac{1}{t_1\ +\ 1}$

$v_\text{Z} = \frac{1}{t_1\ -\ 3}$

Der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten lautet:

$v_1 + v_2 = v_Z$

Beurteile, ob die folgenden Angaben wahr oder falsch sind.

Die Bruchgleichung lautet:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1\ +\ 1} = \frac{1}{t_1\ -\ 3}$

$\mathbb{D} =\mathbb{R} \backslash \{-1;0;3\}$

$\text{HN} = t_1(t_1+ 1)(t_1 - 3)$

Richtig

Falsch

Bruchgleichungen (schwer)

Aufgabe:

Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Wähle.

Der Hauptnenner der Gleichung

$\frac{x\ -\ 1}{3(x\ -\ 3)(x\ -\ 2)}-\frac{x\ +\ 1}{(2x\ -\ 4)(x\ -\ 2)}=\frac{12}{4x\ -\ 8}$

lautet:

$12(x-3)(x-2)^2$

Richtig

Falsch

Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Gleichung. Wähle die richtige Lösung für

$x$ unter der Beachtung der Definitionsmenge aus.

$1- \frac{x\ -\ 5}{x\ -\ 2}=\frac{x\ +\ 1}{x\ -\ 2}$

$x = 2$
.
$x = 3$
.
$x =\ \{\}$
.
$x = -2$
.

Aufgabe:

„Die Geschwister Christian, Anne und Peter besuchen ihre Eltern. Christian hat einen Anfahrtsweg von

$300$ km, Anne einen von

$100$ km und Peter hat

$300$ km mehr Anfahrtsweg als Christian. Alle fahren zur gleichen Zeit los. Christian ist

$2$ Stunden, Anne ist

$4$ Stunden vor Peter da. Peter fährt halb so schnell wie Christian und Anne zusammen. Wie lange braucht Christian (

$t_\text{C}$ )?“

Ist die folgende Bruchgleichung wahr oder falsch? Wähle aus.

$0{,}5 \cdot(\frac{300 ~\text{km}}{t_\text{C}}+ \frac{100 ~\text{km}} {t_\text{C}\ -\ 2 ~\text{h}}) = \frac{600 ~\text{km}}{t_\text{C}\ +\ 2 ~\text{h}}$

Richtig

Falsch

Was du wissen musst

Welche Eigenschaften von Bruchgleichungen sind wichtig?

Variablen im Nenner

Wie du an der Definition von Bruchgleichungen erkennst, ist ihr grundlegendes Merkmal, dass es Gleichungen mit Variablen im Nenner sind. So einen Term mit einer Variablen im Nenner bezeichnet man als Bruchterm. Eine Bruchgleichung kann nicht nur einen, sondern auch mehrere Bruchterme enthalten. Außerdem ist es auch erlaubt, dass mehrere verschiedene Variablen, also zum Beispiel $x$ und $y$ , in den Nennern vorkommen.

Definitionsmenge

Bei Bruchgleichungen ist es ganz wichtig, eine Definitionsmenge anzugeben. Diese Menge enthält alle Zahlen, die man für die unbekannte Variable einsetzen darf. Es kommt also bei der Definitionsmenge nicht darauf an, welche Zahlen die Gleichung lösen, sondern welche Zahlen man prinzipiell für die Variable einsetzen darf, ohne dabei Rechenregeln zu verletzen.

Weil bei Bruchgleichungen Variablen im Nenner stehen, musst du darauf achten, dass diese Nenner nicht zu null werden. Denn ein Bruch mit einer Null im Nenner ist nicht erlaubt! Alle Zahlen, für die ein Nenner null ergibt, sind deshalb von der Definitionsmenge ausgeschlossen. In diesem Beispiel dürfte die Variable $x$ beispielsweise nicht die Zahl $4$ annehmen:

$\begin{align} \frac{14}{x\,-\,4} = 7 \end{align}$

Denn für $x = 4$ würde der Nenner $0$ ergeben und das ist verboten. Alle anderen reellen Zahlen sind jedoch erlaubt. Die Definitionsmenge für diese Bruchgleichung ist deshalb $\mathbb{D} = \mathbb{R} \text{\\} \{4\}$ , also alle reellen Zahlen außer der $4$ .

Lösungsmenge

In der Lösungsmenge sind dagegen alle Zahlen zusammengefasst, die tatsächlich eine Lösung der Gleichung sind und sich gleichzeitig auch in der Definitionsmenge befinden.

Es kann vorkommen, dass du eine Zahl als Ergebnis beim Lösen einer Bruchgleichung erhältst, die von der Definitionsmenge ausgeschlossen ist. Weil du diese Zahl deshalb gar nicht für die Variable einsetzen darfst, ist sie auch kein Teil der Lösungsmenge. Du musst also jede Lösung darauf prüfen, ob sie auch Teil der Definitionsmenge ist. Nur dann ist sie in der Lösungsmenge enthalten.
Wie löst man Bruchgleichungen erfolgreich?
Die wichtigste Frage ist natürlich, wie du Bruchgleichungen lösen kannst. Dafür hältst du dich am besten an diese vier Schritte:
1. Bestimme die Definitionsmenge.
2. Faktorisiere die Nenner und finde den Hauptnenner.
3. Multipliziere die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und kürze alle Brüche.
4. Löse die normale Gleichung.
Mit den ersten drei Schritten wandelst du die Bruchgleichung in eine normale Gleichung um. Die kannst du dann im vierten Schritt auf gewohnte Weise lösen.
Wie stellt man Bruchgleichungen aus Textaufgaben auf?
Bei Textaufgaben, in denen du eine Bruchgleichung aufstellen und dann lösen musst, geht es um eine Größe, die du als Bruch darstellen kannst. Diese Größe ist oft eine Geschwindigkeit (Weg pro Zeit) oder auch eine Leistung (Arbeit pro Zeit). Aber wie kannst du aus dem Text eine Bruchgleichung herleiten? Dafür ist es geschickt, dieses Vorgehen zu benutzen:
1. Lies den Text genau und lege die gesuchte Variable fest.
2. Stelle die einzelnen Brüche mit der gesuchten Variable im Nenner auf.
3. Formuliere aus diesen Brüchen und den Angaben im Text eine Bruchgleichung.

Mathematik

Bruchgleichungen

Was sind Bruchgleichungen?

Wie du Bruchgleichungen aufstellst

Bruchgleichungen aufstellen

Wie du Bruchgleichungen löst

Bruchgleichungen lösen

Bruchgleichungen

Was du wissen musst

Welche Eigenschaften von Bruchgleichungen sind wichtig?

Variablen im Nenner

Definitionsmenge

Lösungsmenge

Wie löst man Bruchgleichungen erfolgreich?

Wie stellt man Bruchgleichungen aus Textaufgaben auf?

Bruchgleichungen (1)

Bruchgleichungen (2)

Lernjahr 1

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Wie du Bruchgleichungen aufstellst

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Wie du Bruchgleichungen löst

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Was du wissen musst

Welche Eigenschaften von Bruchgleichungen sind wichtig?

Variablen im Nenner

Definitionsmenge

Lösungsmenge

Wie löst man Bruchgleichungen erfolgreich?

Wie stellt man Bruchgleichungen aus Textaufgaben auf?

Zugehörige Klassenarbeiten

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