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Bruchgleichungen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind Bruchgleichungen?

Bruchgleichungen sehen auf den ersten Blick ganz schön kompliziert aus! Dabei ist die Erklärung von Bruchgleichungen gar nicht so schwierig: Denn Bruchgleichungen sind alle Gleichungen, bei denen mindestens eine unbekannte Variable im Nenner eines Bruches vorkommt. Diese Gleichung ist also zum Beispiel eine Bruchgleichung:

\(\frac{32}{3\color{red}{x} \,+\, 2} = \frac{4}{\color{red}{x}\,-\,1}\)

In diesem Lernweg erfährst du, was du machen musst, um Bruchgleichungen zu vereinfachen! Mit diesem Rezept kannst du diese Gleichungsart verstehen und lösen. Falls du Online-Übungen mit Lösungen suchst, um Bruchgleichungen zu lernen, kannst du dir unsere Klassenarbeiten zum Thema Bruchgleichungen anschauen. 

Welche Eigenschaften haben Bruchgleichungen?

Variablen im Nenner

Wie du an der Definition von Bruchgleichungen erkennst, ist ihr grundlegendes Merkmal, dass es Gleichungen mit Variablen im Nenner sind. So einen Term mit einer Variablen im Nenner bezeichnet man als Bruchterm. Eine Bruchgleichung kann nicht nur einen, sondern auch mehrere Bruchterme enthalten. Außerdem ist es auch erlaubt, dass mehrere verschiedene Variablen, also zum Beispiel \(x\) und \(y\), in den Nennern vorkommen.

Definitionsmenge

Bei Bruchgleichungen ist es ganz wichtig, eine Definitionsmenge anzugeben. Diese Menge enthält alle Zahlen, die man für die unbekannte Variable einsetzen darf. Es kommt also bei der Definitionsmenge nicht darauf an, welche Zahlen die Gleichung lösen, sondern welche Zahlen man prinzipiell für die Variable einsetzen darf, ohne dabei Rechenregeln zu verletzen.

Weil bei Bruchgleichungen Variablen im Nenner stehen, musst du darauf achten, dass diese Nenner nicht zu null werden. Denn ein Bruch mit einer Null im Nenner ist nicht erlaubt! Alle Zahlen, für die ein Nenner null ergibt, sind deshalb von der Definitionsmenge ausgeschlossen. In diesem Beispiel dürfte die Variable \(x\) beispielsweise nicht die Zahl Vier annehmen:

\(\frac{14}{x\,-\,4} = 7\)

Denn für \(x = 4\) würde der Nenner null ergeben und das ist verboten. Alle anderen reellen Zahlen sind jedoch erlaubt. Die Definitionsmenge für diese Bruchgleichung ist deshalb \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \text{\\} \{4\} \), also alle reellen Zahlen außer der Vier.

Lösungsmenge

In der Lösungsmenge sind dagegen alle Zahlen zusammengefasst, die tatsächlich eine Lösung der Gleichung sind und sich gleichzeitig auch in der Definitionsmenge befinden.

Es kann vorkommen, dass du eine Zahl als Ergebnis beim Lösen einer Bruchgleichung erhältst, die von der Definitionsmenge ausgeschlossen ist. Weil du diese Zahl deshalb gar nicht für die Variable einsetzen darfst, ist sie auch kein Teil der Lösungsmenge. Du musst also jede Lösung darauf prüfen, ob sie auch Teil der Definitionsmenge ist. Nur dann ist sie in der Lösungsmenge enthalten.

Was ist der Hauptnenner von Bruchgleichungen?

Der Hauptnenner hilft dir dabei, die Bruchgleichung zu vereinfachen, und ist damit der Schlüssel zur Lösung von Bruchgleichungen. Was also ist der Hauptnenner?

Der Hauptnenner von verschiedenen Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner. Um den Hauptnenner zu finden, zerlegst du zuerst die einzelnen Nenner in ihre Primfaktoren. Der Hauptnenner ist dann das Produkt aus allen unterschiedlichen Primfaktoren in jeweils der höchsten Potenz, in der sie auftreten.

Wozu braucht man Bruchgleichungen?

Die Prozentrechnung, die Zinsrechnung, der Umgang mit Statistiken, Berechnungen für technische Konstruktionen, Baupläne oder Abläufe: All dies hat mit dem Lösen von Bruchgleichungen zu tun. Wenn du dich also für Architektur, Maschinenbau, Ingenieurswesen, Finanz- oder Versicherungswesen sowie Wirtschaftswissenschaften oder Ähnliches interessierst, werden dir Bruchgleichungen noch häufiger begegnen.