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Exponentialgleichungen einfach erklärt

Klassenstufe:

Was sind Exponentialgleichungen?

Du suchst nach einer Erklärung zu Exponentialgleichungen? Hier bist du goldrichtig!

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable x im Exponenten einer Potenz steht. Die allgemeine Definition der Exponentialgleichung sieht deshalb so aus:

\(a^x = b\)

Dabei ist \(a >0 \) die Basis der Potenz, \(x\) ist der unbekannte Exponent und \(b > 0\) ist das Ergebnis der Potenz. Vereinfacht gesagt, ist in so einer Exponentialgleichung also immer die passende Hochzahl \(\boldsymbol x\) gesucht, die die Gleichung erfüllt.

Für die Exponentialgleichung gibt es zwei Spezialfälle: 

  • Die Basis \(a\) ist die Zahl \(10\).
  • Die Basis \(a\) ist die Euler'sche Zahl \(e\).

Diese Sonderfälle nennt man Exponentialgleichung mit \(\boldsymbol {10}\) bzw. mit \(\boldsymbol e\).

Hier findest du unsere wichtigsten Lernwege zu Exponentialgleichungen. Danach kannst du dein Wissen mit unseren Klassenarbeiten mit Musterlösungen zu den Exponentialgleichungen testen und dich so optimal auf die nächste Klassenarbeit vorbereiten!

Was haben Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus zu tun?

Im Kopf kannst du nur die einfachen Exponentialgleichungen lösen. Für schwierigere Gleichungen dieser Art brauchst du in der Regel den Logarithmus, um zu einer Lösung zu kommen. Der hilft dir dabei, die Gleichung nach der gesuchten Hochzahl \(x\) aufzulösen.

Das funktioniert, weil der Logarithmus die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist und umgekehrt. Nachdem du die Exponentialgleichung logarithmiert hast, wird die Basis \(\boldsymbol a\) der Potenz aus der Exponentialgleichung zur Basis des Logarithmus.

Um Exponentialgleichungen mit \(e\) zu lösen, brauchst du also den natürlichen Logarithmus \(\boldsymbol{\log_{e}}\) oder \(\boldsymbol \ln\), für Exponentialgleichungen mit \(10\) den dekadischen Logarithmus \(\boldsymbol {\log_{10}}\) oder \(\boldsymbol \lg\).

Was hilft dir beim Lösen von Exponentialgleichungen?

Neben dem Logarithmus können dir auch die Potenzgesetze beim Lösen von Exponentialgleichungen in Mathe helfen. In manchen Fällen kannst du mit diesen Rechengesetzen die Exponentialgleichung so vereinfachen, dass du die Gleichung im Kopf lösen kannst. Dann musst du die Gleichung nicht logarithmieren und kommst schneller ans Ziel!

Was ist exponentielles Wachstum?

Wenn sich eine Bestandsmenge nach einer gewissen Zeit immer um einen bestimmten Faktor ändert, handelt es sich bei diesem Vorgang um ein exponentielles Wachstum. Statt eine Zahl nach einer vorgegebenen Zeit zu deiner Menge zu addieren, multiplizierst du also deine Menge immer wieder mit einer Zahl. Deine Menge könnte sich also zum Beispiel immer wieder nach einer festen Zeiteinheit verdoppeln.

Alle exponentiellen Wachstumsvorgänge kannst du mathematisch mit einer Exponentialgleichung beschreiben. Mit dieser kannst du dann voraussagen, zu welcher Menge deine Startmenge zu einem Zeitpunkt deiner Wahl in der Zukunft angewachsen sein wird.

Wozu braucht man Exponentialgleichungen?

Exponentialgleichungen braucht man vor allem, um exponentielle Wachstumsvorgänge mathematisch zu beschreiben. Damit lässt sich zum Beispiel das Wachstum von Bakterien oder Krebszellen in der Biologie und Medizin oder der Zerfall radioaktiver Elemente in der Physik berechnen.

In Mathe begegnen dir die Exponentialgleichungen besonders häufig bei Aufgaben zum Zinseszins. Dabei geht es meistens darum, das exponentielle Wachstum des Startkapitals zu berechnen und so festzustellen, wie viel Geld sich nach einer gewissen Zeit auf einem Konto befindet.