Direkt zum Inhalt
Was haben Ausmultiplizieren und Faktorisieren miteinander zu tun?

In Mathe ist Ausmultiplizieren sozusagen das Gegenteil vom Faktorisieren. Ein Term kann in die eine Richtung umgeformt werden, indem er faktorisiert wird. Das kann aber auch wieder rückgängig gemacht werden, indem das entstandene Produkt ausmultipliziert wird. Das Faktorisieren nennt man auch Ausklammern, da dadurch eine Klammer entsteht.

Die binomischen Formeln gehören zu den bekanntesten Formeln in Mathe. Du wirst sie häufig beim Ausmultiplizieren und Faktorisieren benötigen. Sie helfen dir in bestimmten Situationen dabei. Wenn du z. B. eine Summe oder eine Differenz in Klammern hast und der ganze Term quadriert wird, kannst du sie anwenden. Um Terme damit korrekt auszumultiplizieren, kannst du die Werte für die Variablen in der Formel einsetzen. Beim Ausklammern setzt du die binomischen Formeln rückwärts ein. 

Ausmultiplizieren und Faktorisieren – Lernwege

Ausmultiplizieren und Faktorisieren – Klassenarbeiten

Was kann man ausmultiplizieren und faktorisieren?

Beim Faktorisieren und Ausmultiplizieren gilt das Distributivgesetz:

\(a\cdot b +a\cdot c=a\cdot(b+c)\)

Möchtest du eine Summe oder eine Differenz faktorisieren bzw. ausklammern, verwendest du dieses Gesetz von links nach rechts. Das geht immer, wenn du einen identischen Faktor für die einzelnen Terme findest.

Eine Summe oder Differenz steht in einer Klammer und soll mit einem Faktor multipliziert werden. Diesen Vorgang nennt man Ausmultiplizieren. Dazu muss jedes Glied in der Klammer einzeln mit dem Term multipliziert werden. Dabei verwendest du das Distributivgesetz von rechts nach links.

Du kannst auch zwei Klammern miteinander ausmultiplizieren. Auch hier gilt das Distributivgesetz. Stell dir vor, der erste Term in Klammern wäre nur ein einfacher Faktor:

\((a+b)\cdot(c+d)=(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d\)

Das heißt, in diesem Fall musst du jedes Glied aus der ersten Klammer mit jedem Glied aus der zweiten Klammer multiplizieren.

Du kannst auch drei oder mehr Klammern mit dem Distributivgesetz ausmultiplizieren. Dafür multiplizierst du erst wie gewohnt zwei Klammern miteinander aus und vereinfachst das Ergebnis dann, so weit es geht. Dieses Ergebnis setzt du dann wieder in eine Klammer und multiplizierst diese neue Klammer mit der dritten Klammer und so weiter.

Wozu braucht man Ausmultiplizieren und Faktorisieren?

Hauptsächlich wird dir das Ausmultiplizieren und Ausklammern in Mathe begegnen. Aber auch im Physikunterricht kann es dir weiterhelfen. Du kannst die binomischen Formeln und das Distributivgesetz also immer als Hilfe nutzen.

Wenn du die beiden Umformungen beherrschst, kannst du viele Rechnungen vereinfachen. Wenn du kompliziertere Gleichungen ausmultiplizieren oder faktorisieren kannst, wirst du dir eine Menge aufwendiger Rechenarbeit ersparen.

Zum Beispiel können dir bei der Nullstellenbestimmung einer Funktion folgende Umformungen helfen: Wenn du ausklammern kannst, dann entsteht häufig ein Produkt, bei dem ein Faktor \(x\) ist. Wenn dieses Produkt dann \(0\) ergeben soll, muss einer der Faktoren \(0\) sein. Also kann \(x=0\) sein. Damit liegt eine Nullstelle bei \(x_0=0\). Du kannst also oft die erste Nullstelle finden, indem du einen Term einmal faktorisierst.