Was sind Gleichungen?

Du hast im Matheunterricht gerade das Thema „Gleichungen“ und fragst dich: Was ist eine Gleichung überhaupt? Bei uns kannst du alles über Gleichungen online lernen, mit Erklärungen, Beispielen und Definitionen!

Eine Gleichung verknüpft zwei Terme \(T_1\) und \(T_2\) durch das Gleichheitszeichen miteinander:

\(T_1 = T_2\)

Das Gleichheitszeichen bedeutet dabei immer, dass der Term auf der rechten Seite gleich dem Term auf der linken Seite ist. Beide Terme ergeben also die gleiche Zahl, falls die Gleichung eine wahre Aussage beschreibt.

Allgemein können Gleichungen wahre oder auch falsche Aussagen wiedergeben:

  • \(3+7 = 10\) ist eine wahre Aussage
  • \(3+7 = 12\) ist eine falsche Aussage

Man spricht bei einer Gleichung von einer Aussage, wenn in beiden Termen nur Zahlen und keine Variablen auftreten. Dann lässt sich immer eindeutig feststellen, ob die Gleichung eine wahre oder eine falsche Aussage beschreibt. Tritt in einer Gleichung wenigstens eine Variable auf, so liegt eine Aussageform vor. Man kann nur dann feststellen, ob eine wahre Aussage vorliegt, wenn man für die Variable eine Zahl einsetzt:

  • \(3+7 = 10\) ist eine Aussage
  • \(3+x = 10\) ist eine Aussageform

Müssen mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein, so handelt es sich um ein Gleichungssystem. Steht anstelle des \(=\) ein anderes Verknüpfungszeichen, wie etwa ein \(<\) oder ein \(\neq\) , dann spricht man von einer Ungleichung.

Hier geht es zu den wichtigsten Lernwegen für das Thema Gleichungen. Falls du jetzt schon für den nächste Test online üben möchtest, dann sind unsere Klassenarbeiten zum Thema Gleichungen genau das richtige für dich!

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Welche Gleichungen gibt es?

In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Typen von Gleichungen. Zu welchem Typ eine Gleichung gehört, hängt vor allem davon ab, an welcher Stelle und in welcher Weise die unbekannten Variablen in den Termen vorkommen.

Lineare Gleichungen

In einer linearen Gleichungen kommen die unbekannten Variablen nur in der ersten Potenz vor. Die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit einer unbekannten Variable \(x\) sieht also so aus:

\(ax + b = 0\)

Quadratische Gleichungen

Entsprechend dürfen die unbekannten Variable in einer quadratischen Gleichung in der zweiten und auch in der ersten Potenz vorkommen:

\(ax^2 + bx + c= 0\)

Potenzgleichungen

Wie bei den linearen und quadratischen Gleichungen kommt die unbekannte Variable in Potenzgleichungen als Basis einer Potenz vor. Der Unterschied besteht darin, dass bei den Potenzgleichungen auch größere Exponenten als Eins und Zwei erlaubt sind. Die typische Form einer Potenzgleichung sieht so aus:

\(x^n = a\)

Die positive Hochzahl \(n\) kann dabei eine beliebige Zahl sein.

Exponentialgleichungen

Die Exponentialgleichung hat dagegen eine deutlich andere Form. Denn bei diesem Gleichungstyp steht die unbekannte Variable im Exponent einer Potenz:

\(a^x = b\)

Wie du erkennen kannst, ist hier die Variable \(x\) die Hochzahl und nicht, wie bei einer Potenzgleichung, die Basis der Potenz.

Bruchgleichungen

Auch die Bruchgleichungen werden durch eine besondere Position der Gleichungsvariablen gekennzeichnet. Denn hier steht die unbekannte Variable im Nenner eines Bruches, wie bei diesem Beispiel:

\(\frac{12}{5\,+\,2x} = 2\)

Wozu braucht man Gleichungen?

Im Alltag wird man komplizierte Gleichungen eher selten aufstellen und lösen, zumindest nicht solche, wie man sie in der Schule lernt. Einfache Gleichungen begegnen uns aber trotzdem in unserem alltäglichen Leben. Schließlich kann auch bei einem Einkauf die Addition zweier Preise (\(T_1\)) zu einem Gesamtpreis \(T_2\) eine Gleichung sein.

Wenn du einen technischen oder naturwissenschaftlichen Beruf erlernen möchtest, wirst du regelmäßig Gleichungen berechnen müssen. Das betrifft etwa die Berufe des Ingenieurs oder Maschinenbauers. Ferner arbeitet man im Produkt- und Verpackungsdesign, im Finanzwesen und in der Buchhaltung oder auch in der Informatik (etwa zur Verschlüsselung von Daten) mit Gleichungen. Wie du siehst, finden die Gleichungen in vielen Bereichen Anwendung!