Gebrochenrationale Funktionen – die beliebtesten Themen
Welche Eigenschaften haben gebrochenrationale Funktionen?
Bei der Kurvendiskussion zu dieser Funktionsart musst du einige Besonderheiten der gebrochenrationalen Funktionen beachten.
Definitionsbereich
Wie du sicher schon weißt, darf man nicht durch \(0\) teilen. Du musst also darauf achten, dass du alle Zahlen von der Definitionsmenge ausschließt, für die das Nennerpolynom \(h(x)\) \(0\) wird. An diesen Stellen hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) also eine Definitionslücke. Anders als bei den Polynomen ist also der Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktionen eingeschränkt.
Asymptoten
Falls du den Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion nicht weiter kürzen kannst, entsteht an den Definitionslücken eine senkrechte Asymptote, auch Polstelle genannt. An dieser Stelle steigen die Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich.
Auf waagerechte Asymptoten kannst du auch stoßen, wenn du das Verhalten der gebrochenrationalen Funktion für \(x \rightarrow \pm \infty\) untersuchst. An so einer waagerechten Asymptote nähert sich die Funktion immer mehr einem bestimmten Funktionswert, doch sie erreicht ihn nie.
Die Asymptoten musst du auch bestimmen, wenn du in Aufgaben gebrochenrationale Funktionen zeichnen oder zu einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm aufstellen sollst.
Nullstellen
Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x)\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(g(x)\), die auch in der Definitionsmenge enthalten sind. Hier musst du also darauf achten, dass mögliche Kandidaten für die Nullstellen nicht genau bei einer Definitionslücke liegen.
Extremstellen
Genau wie andere Arten von Funktionen musst du auch gebrochenrationale Funktionen ableiten, um die Extremstellen zu finden. Weil diese besonderen Funktionen aus einem Bruch bestehen, hilft dir beim Ableiten meistens die Quotientenregel weiter.
Welche Arten von gebrochenrationalen Funktionen gibt es?
In Mathe kannst du die gebrochenrationalen Funktionen in zwei Gruppen einteilen:
- Bei einer echt gebrochenrationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms.
- Eine unecht gebrochenrationale Funktion liegt vor, wenn die Grade von Zählerpolynom und Nennerpolynom gleich sind oder der Grad des Zählerpolynoms größer ist.
Eine unecht gebrochenrationale Funktion kannst du mit der Polynomdivision in eine Summe aus einem Polynom und einem echt gebrochenrationalen Term aufteilen.
Wozu braucht man gebrochenrationale Funktionen?
Den gebrochenrationalen Funktionen begegnest du vor allem im Mathe- oder Physikunterricht. Im Alltag wirst du eher selten auf sie stoßen. In den Naturwissenschaften spielen sie zum Beispiel immer dann eine Rolle, wenn zwei Größen antiproportional zueinander sind.
Wenn du zum Beispiel in einem Stromkreis den ohmschen Widerstand \(R\) verdoppelst (und die Spannung \(U\) gleich lässt), dann halbierst du die Stromstärke \(I\) an dieser Stelle. Die Stromstärke ist also umgekehrt proportional zum elektrischen Widerstand (\(I = \frac{U}{R}\)).
Viele Naturgesetze drücken wir in Form von gebrochenrationalen Funktionen aus. Zum Beispiel sind das Gravitationsgesetz, das die Anziehungskraft \(F_G\) zwischen zwei Massen beschreibt, und auch das Coulombgesetz für die elektrische Kraft \(F_{el}\) zwischen zwei Ladungen gebrochenrationale Funktionen in \(r\).
\(\begin{align} F_G = G \,\frac{m_1\,m_2}{r^2} \end{align}\)
\(\begin{align} F_{el} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \,\frac{q_1\,q_2}{r^2} \end{align}\)
Dabei ist \(r\) der Abstand zwischen den beiden Massen bzw. den elektrischen Ladungen. Die Natur scheint also Gefallen an gebrochenrationalen Funktionen zu haben.