Was sind ganze Zahlen?

Ganze Zahlen sind die natürlichen Zahlen und ihre negativen Entsprechungen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol \(\mathbb{Z}\) bezeichnet. Die Menge der natürlichen Zahlen, symbolisiert durch das Zeichen \(\mathbb{N}\), geht von \(0\), \(1\), \(2\) bis \(\infty\) (unendlich). Ihre negativen Gegenstücke werden mit einem Minuszeichen davor dargestellt. Diese negativen Werte sind \(-1\), \(-2\) bis \(-\infty\) (minus unendlich). Nur \(0\) ist weder positiv noch negativ.

Durch die Zahlenerweiterung der natürlichen zu den ganzen Zahlen kann man nun jede positive Zahl mit der entsprechenden negativen Zahl zu \(0\) addieren.

Dadurch bieten sich viel mehr Möglichkeiten, Aufgaben zu lösen. Schau dir die Aufgaben und die Klassenarbeiten zu den ganzen Zahlen an. Danach wirst du das Thema sicherlich gut beherrschen.

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Welche Grundbegriffe sind wichtig bei den ganzen Zahlen?

Wie du in der Einleitung schon gelesen hast, sind die ganzen Zahlen eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Wir wollen uns nun genauer anschauen, wie sich diese Teilmenge von den restlichen geraden Zahlen unterscheidet und wie sie dargestellt werden kann.

Negative Zahlen

Negative Zahlen werden durch ein Minuszeichen vor dem eigentlichen Wert gekennzeichnet. Sie erfüllen die gleichen Rechengesetze wie die natürlichen Zahlen. Man kann sie addieren, subtrahieren und multiplizieren, sodass das Ergebnis wieder eine ganze Zahl ist. Mit natürlichen Zahlen hat das nicht immer funktioniert. Wenn du z. B. \(5\) von \(3\) subtrahierst, ist das Ergebnis keine natürliche Zahl mehr, aber eine ganze:
\(3-5=-2\)

Betrag

Der Betrag einer ganzen Zahl ist als ihr Abstand zur \(0\) definiert. Dieser Abstand wird durch die Betragsstriche \(| x |\) um die Zahl \(x\) dargestellt. Bei den ganzen Zahlen gibt es immer zwei Werte mit demselben Betrag, zum Beispiel:
\(|{-}4 | = | 4 | = 4\)

Zahlengerade

Die natürlichen Zahlen werden auf einem Zahlenstrahl dargestellt, der bei \(0\) beginnt. Wenn man nun die ganzen Zahl darstellen möchte, wird der Zahlenstrahl auf der linken Seite von \(0\) bis \(- \infty\) zu einer Zahlengerade erweitert. In der Abbildung kannst du die positiven Zahlen rechts und die negativen Zahlen links von \(0\) gut erkennen. Mit dieser Zahlengerade lassen sich viele Rechnungen verdeutlichen.

Ein Zahlenstrahl, wo ganze Zahlen (positiv und negativ) dargestellt sind.

Welche Arten von Zahlen gibt es noch?

Mit den ganzen Zahlen kannst du viele Rechnungen durchführen, sodass ihr Ergebnis wieder eine ganze Zahl ist. Es gibt nur eine Operation, bei der das nicht der Fall ist: die Division. Du kannst in dieser Menge zum Beispiel nicht \(3:4\) rechnen, da das Ergebnis \(\frac{3}{4}\) ist. Solche Zahlen kennst du sicherlich schon. Man nennt sie Brüche. Diese Zahlen werden mit den ganzen Zahlen unter dem Begriff der rationalen Zahlen (\(\mathbb{Q}\)) zusammengefasst.

Es gibt noch weitere Zahlenbereichserweiterungen. Sie kommen dann ins Spiel, wenn du mit den dir bekannten Zahlen keine Lösung für deine Aufgabe findest. Zum Beispiel gehen die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen hervor, sobald klar wird, dass die Wurzeln einiger Zahlen irrational sind.

Warum sind ganze Zahlen wichtig?

Vor Jahrtausenden wurden natürlichen Zahlen eingeführt, um sie zum Zählen und Zusammenfassen von Waren und Geld zu benutzen. Dennoch konnten viele Aufgaben nicht gelöst werden. Wie sollte zum Beispiel ein Verwalter auf möglichst kurze Art festhalten, dass ihm jemand was schuldet? Da kommen die negativen und damit auch ganzen Zahlen ins Spiel.

Heutzutage werden immer noch negative Zahlen für die Darstellung von Schulden verwendet. Aber auch in anderen Lebensbereichen findet man ganze Zahlen wieder. Dazu gehört zum Beispiel unsere Temperaturskala. Unser Leben ist mit ganzen Zahlen also um einiges einfacher.