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Brüche und Dezimalbrüche – einfach erklärt

Klassenstufe:

Was ist ein Dezimalbruch?

Ein Bruch besteht immer aus einem Zähler (die Zahl über dem Bruchstrich) und einem Nenner (die Zahl unter dem Bruchstrich). Zähler und Nenner müssen dabei immer ganze Zahlen sein.
Verlangt man zusätzlich, dass der Nenner eine Zehnerpotenz mit positivem Exponenten \((10=10^1, \,100=10^2, \,1000=10^3\ \ldots)\) ist, so erhält man einen Dezimalbruch. Er wird auch Zehnerbruch genannt. Dezimalbrüche sind also Bruchzahlen, bei denen der Nenner aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen besteht. Hier einige Beispiele für Dezimalbrüche:

\begin{align}
\frac{1}{10}, \, \frac{3}{10}, \, \frac{7}{100}, \, \frac{275}{100}, \,\frac{512}{1000}, \, \frac{13}{10000}
\end{align}

Manchmal wird der Begriff Dezimalbruch gleichbedeutend wie die Begriffe Dezimalzahl oder Kommazahl verwendet. Das ist mathematisch aber sehr ungenau.

In den folgenden Lernwegen findest du Erklärungen und Übungen zu dem Thema „Dezimalbrüche“. Wenn du alles verstanden hast, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten zu Dezimalbrüchen testen.

Was ist der Unterschied zwischen Dezimalzahlen und Dezimalbrüchen?

Das Wort dezimal kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „auf die Grundzahl 10“ bezogen. Fast alle Zahlen, die dir in der Schule begegnen, beziehen sich auf diese Grundzahl.
Bei den Dezimalbrüchen ist das sofort erkennbar.
Bei Dezimalzahlen geben die Ziffern vor dem Dezimaltrennzeichen immer an, wie oft die entsprechenden Zehnerpotenzen (Einhundert, Zehn, Eins, ein Zehntel, ein Hundertstel) in der Zahl vorkommen. Vermutlich kennst du die Begriffe Zehntel und Hundertstel aus Zeitmessungen bei verschiedenen Sportarten.\(\begin{align} 54{,}32=5\cdot10 + 4\cdot1 + 3\cdot\frac{1}{10}+ 2\cdot\frac{1}{100} \end{align}\)
Dezimalzahlen und Dezimalbrüche sind also nach Definition verschiedene Möglichkeiten, um Zahlen mit Bruchteilen der Grundzahl 10 darzustellen. Man kann sie auch besonders gut ineinander umwandeln, aber sie sind trotzdem nicht das Gleiche.

Was ist der Zusammenhang zwischen Brüchen und Dezimalzahlen?

Jeder Bruch kann auch als Dezimalzahl geschrieben werden. Dabei können sich endliche Dezimalzahlen ergeben, aber auch Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Diese werden sich dann nach einer gewissen Anzahl von Stellen wiederholen.
Umgekehrt kann man viele Dezimalzahlen auch als Bruch mit Zähler und Nenner schreiben. Diese Darstellung ist aber nicht mehr eindeutig:

\(\begin{align} 0{,}5=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}= \dots =\frac{50}{100} =\dots \end{align}\)

Aus diesem Grund werden endliche Dezimalzahlen auch manchmal als Dezimalbrüche bezeichnet. Das ist aber nicht ganz korrekt.

Wofür braucht man Dezimalbrüche?

Man kann jeden Bruch als Dezimalzahl schreiben, wenn man die Division, die der Bruch beschreibt, auch wirklich ausführt. Zum Beispiel erhält man mittels  schriftlicher Division folgende Umformung:

\(\begin{align} \frac{3}{5}=3:5=0{,}6 \end{align}\)
Bei vielen Brüchen kannst du die schriftliche Division aber auch vermeiden und den gegebenen Bruch durch Erweitern oder Kürzen zunächst in einen Dezimalbruch und dann in eine Dezimalzahl umwandeln. Dadurch ersparst oft aufwendige Rechnungen.

\(\begin{align} \frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6 \end{align}\)

Warum braucht man Dezimalbrüche?

Dezimalbrüche sind eine einfache Abkürzung, um Brüche und Dezimalzahlen ineinander umzuwandeln.

Das klappt sehr gut bei Dezimalzahlen mit endlichen Nachkommastellen und Brüchen, die du auf einen Dezimalbruch erweitern oder kürzen kannst.Unendliche periodische Dezimalzahlen kann man auch in einen Bruch umwandeln, allerdings erhält man dabei keine Zehnerbrüche.

Beachte aber auch, dass man nicht jede Dezimalzahl in einen Bruch umwanden kann. Für Irrationale Zahlen wie \(\sqrt{5}\) oder die Naturkonstante \(\pi\) gibt es keinen Bruch.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Brüche kann man sich in vielen Fällen viel einfacher vorstellen als Dezimalzahlen. Wenn man dir zum Beispiel von drei Fünfteln einer Pizza erzählt, hast du sofort eine bildliche Vorstellung von dieser Menge. Wenn man dir hingegen 0,6 Pizzen anbietet, fehlt diese Vorstellung.
Rechnen mit Brüchen ist oft wesentlich einfacher als das Rechnen mit den entsprechenden Dezimalzahlen. Bei manchen Aufgaben musst du  zum Beispiel überhaupt nicht rechnen:

\begin{align}
4\cdot \frac{3}{4}=\frac{4 \cdot3}{4}=\frac{1 \cdot3}{1}=3
\end{align}

Bei der gleichen Rechnung mit Dezimalzahlen musst du schon genauer überlegen oder vielleicht sogar schriftlich multiplizieren.

\begin{align}
4\cdot \frac{3}{4}=4 \cdot 0{,}75=3
\end{align}

Auch wenn du mit periodischen Dezimalzahlen rechnen sollst, ist es meistens einfacher, diese Zahlen in Brüche umzuwandeln und damit zu rechnen.

\begin{align}
0{,} \overline{428571}+0{,} \overline{571428}=\frac{3}{7}+\frac{4}{7}=\frac{7}{7}=1
\end{align}

Die Angabe von Brüchen ist oft kürzer und auch genauer. Dezimalzahlen werden oft gerundet, um sie noch sinnvoll aufschreiben zu können:

\begin{align}
\frac{7}{17}=0{,} \overline{4117647058823529} \approx 0{,}41
\end{align}

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Dezimalzahlen können dir helfen, eine Vorstellung von der Größenordnung einer Bruchzahl zu bekommen. Bei \(\frac{43} {5}=8{,}6\) kann man an der Dezimalzahl wesentlich besser erkennen, dass der Wert zwischen \(8\) und \(9\) liegt.

Anwendungen von Dezimalbrüchen

Dezimalbrüche werden bei folgenden Aufgabenstellungen angewendet:

  •  bei der Umwandlung von Bruchzahlen in Dezimalzahlen
  •  bei der Frage, ob die Dezimaldarstellung eines Bruches endlich ist oder nicht
  •  bei der Frage, ob der Bruch eine periodische Dezimaldarstellung hat oder sie endlich ist
  •  bei der Umwandlung von Dezimalzahlen in Bruchzahlen
  •  bei Prozent- und Promilleangaben, die spezielle Dezimalbrüche sind
  •  bei Zeit- und Längenangaben im Sport  (Bsp.: Er war drei Zehntel schneller)