Was ist eine Ableitung?

Eine Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion. Das bedeutet, dass man sich für jeden x-Wert einer Funkion anschaut, ob der y-Wert des vorherigen und des folgenden x-Werts größer, kleiner oder gleich des y-Wertes des untersuchten x-Wertes ist. Das klingt jetzt alles sehr kompliziert, aber kurz gesagt bedeutet das nur, dass man sich anschaut, welche Steigung eine Funktion an der Stelle \(x\) hat.

Damit man das auch bei Funktionen, die ein etwas kompliziertes Steigungsverhalten haben, gut ausdrücken kann, gibt es die Ableitungsfunktionen. Das ist eine Funktion, die das Steigungsverhalten der untersuchten Funktion in jedem Punkt beschreibt. Für die Funktion \(f(x)\) lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x)\). Ausgesprochen wird das als „\(f\) Strich von \(x\)“.

Diese Lernwege helfen dir, alles Wissenswerte zu Ableitungen und Ableitungsfunktionen zu verstehen. Abschließend kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen.

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Wie viele Ableitungen gibt es?

Funktionen, die eine Ableitungsfunktion besitzen, nennt man differenzierbar. Neben der Ableitung \(f'(x)\), die man auch die erste Ableitung nennt, gibt es auch die zweite Ableitung, also die Ableitung der Ableitung. Diese wird mit \(f''(x)\) bezeichnet (gesprochen: „\(f\) zwei Strich von \(x\)“).
Die Ableitung von der zweiten Ableitung ist dann die dritte Ableitung. Sie bezeichnet man mit \(f'''(x)\).  In der Schulmathematik werden in der Regel nur diese ersten drei Ableitungen benötigt. Grundsätzlich kann es aber beliebig viele Ableitungen geben.
Die Ableitung ganzrationaler Funktionen weist eine Besonderheit auf: Bei jeder Ableitung verliert die Funktion einen Potenzgrad bis sie schließlich den Wert 0 hat.

Es gibt neben solchen Polynomen aber auch Ableitungen bei speziellen Funktionen:

  • Ableitungen bei trigonometrischen Funktionen
    Bei der Sinus- und Kosinusfunktion ist jeweils die zweite Ableitung wieder die Ausgangsfunktion. Allerdings kann sich das Vorzeichen ändern.
  • Ableitungen bei Exponentialfunktionen
    Bei Exponentialfunktionen ist die Ableitung wieder eine Exponentialfunktion.

Es gibt aber auch Funktionen, die gar nicht bzw. an einigen Stellen nicht differenzierbar sind. Ein Beispiel dafür ist die Betragsfunktion\(f(x)=|x|\).

Was ist die anschauliche Bedeutung der Ableitungen?

Angenommen, du willst die Steigung an einem Punkt eines Graphen wissen. Anschaulich legst du dann zunächst eine Sekante an diesen Punkt sowie an einen weiteren Punkt des Graphen. Die Steigungen der Sekanten kann man mithilfe des Differenzenquotienten ermitteln. Je näher die Punkte aneinanderliegen, desto näher kommst du der Steigung an dem ursprünglichen Punkt. Der Grenzwert dieser Steigungen ergibt dann die Ableitung. Dies entspricht der Steigung der Tangente und damit der Steigung des Graphen in dem gewählten Punkt.

Geometrisch betrachtet gibt die erste Ableitung also die Steigung des Graphen an. Die zweite Ableitung ist ein Maß für die Krümmung eines Graphen in jedem seiner Punkte.

Neben dieser geometrischen Vorstellung kannst du dir die Ableitung aber auch physikalisch vorstellen: Die erste Ableitung kann dabei z. B. die Geschwindigkeit bzw. die momentane Änderungsrate eines Vorgangs beschreiben. Die zweite Ableitung beschreibt dann, wie diese Geschwindigkeit sich verändert – also die Beschleunigung.

Wofür braucht man Ableitungen?

Mithilfe der Ableitungen kann man zum Beispiel charakteristische Punkte, wie Hoch-, Tief- oder Wendepunkte, eines Graphen bestimmen. Auch das Monotonie- und Krümmungsverhalten und der Steigungswinkel einer Funktion wird durch Ableitungen bestimmt.

Ableitungen finden in vielen verschiedenen Gebieten Anwendung:

  • bei der Untersuchung von Funktionen (Kurvendiskussion),
  • bei der Aufstellung von Funktionsgleichungen (Steckbriefaufgaben),
  • bei der Entwicklung günstiger Verpackungen in der Industrie.
  • In verschiedenen Naturwissenschaften kann man Zusammenhänge zwischen voneinander abhängigen Größen durch Gleichungen darstellen, die eine Funktion und auch ihre Ableitungen enthalten. Dies führt oft zu Differenzialgleichungen.
  • In der Betriebswirtschaft kann man Kosten und Gewinne optimieren.
  • Wenn man die Ableitung einer Funktion kennt, kann man daraus zumindest teilweise die ursprüngliche Funktion wieder rekonstruieren (Integralrechnung).