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Wie du Funktionsgraphen von gebrochenrationalen Funktionen ihren Funktionsterm zuordnest


Aufgabe

Gegeben ist dieser Graph:

Wie du Funktionsgraphen von gebrochenrationalen Funktionen ihren Funktionsterm zuordnest - Abbildung 1

Entscheide, welcher der 5 Funktionsterme ihn beschreibt.

a) \( f(x) = \frac{-2x}{x\ -\ 6}\)

b) \(f(x)= \frac{-2(x\ -\ 4)}{(x\ +\ 6)^{2}}\)

c) \(f(x)= \frac{-3(x\ -\ 3)}{x\ +\ 4}\)

d) \(f(x) = \frac{-1,5(x\ -\ 4)}{x\ -\ 6}\)

e) \(f(x) = \frac {4(x\ -\ 4)}{x\ -\ 6}\)

​Schritt 1: Stelle eine allgemeine Form der Funktion auf

In der Aufgabenstellung werden dir 5 mögliche Funktionen für den abgebildeten Graphen angeboten. Um nun herauszufinden, welche der 5 Antwortmöglichkeiten die richtige ist, musst du eine allgemeine Form der Funktion finden, die du zu jeder der möglichen Funktionen umformen kannst. 

Ersetze dazu alle Zahlen, die in den Funktionen vorkommen, durch Parameter, also zum Beispiel \(a\), \(b\), \(c\) usw. Wie du die Parameter nennst, ist dir überlassen.

Für Antwortmöglichkeit a) sieht das so aus:

a) \( f(x) = \frac{-2x}{x\ -\ 6} = \frac{ax}{x\ +\ c}\)

In diesem Fall wäre also \(a=- 2\) und \(c=-6\).

Verwende bei b für den Faktor vor dem x nun wieder den Parameter a und als Summanden im Nenner den Parameter c. Gib den restlichen Zahlen neue Parameter.

b) \(f(x)= \frac{-2(x\ -\ 4)}{(x\ +\ 6)^{2}}= \frac{a(x\ +\ b)}{(x\ +\ c)^{d}}\)

Durch einsetzen in diese Form kannst du nun schon alle restlichen Funktionen bilden.

Die allgemeine Form lautet also:

\(f(x)=\frac{a(x\ +\ b)}{(x\ +\ c)^{d}}\)

Schritt 2: Schau dir die Form des Graphen an

Nun musst du die Parameter für den Graphen bestimmen, um die richtige Antwort zu finden. Fange mit der Form des Graphen an.

Der Graph nähert sich einer senkrechten Asymptote von zwei unterschiedlichen Richtungen. Daraus kannst du schließen, dass der Linearfaktor im Nenner, also \((x + c)\), keine geradzahlige Potenzen besitzt. Der Parameter \(d\) kann also nicht 2, 4, 6 ... sein.

Deshalb scheidet Möglichkeit b) aus.

Schritt 3: Bestimme die Asymptote

Die Asymptote ist senkrecht und verläuft durch 6. Daraus kannst du schließen, dass der Nenner des Terms bei \(x = 6\) gleich 0 sein muss. Bei einem allgemeinen Nenner folgt daraus:

\(0 = x + c = 6+c\)

\(c = -6\)

Damit kannst du Möglichkeit c) ausschließen. Die Asymptote von c) liegt bei −4.

Schritt 4: Lies die Schnittpunkte mit den Achsen ab

Die x-Achse schneidet der Graph bei \(x=4\). Daraus kannst du ableiten, dass bei 4 der Zähler gleich 0 sein muss. Allgemein ausgedrückt heißt das:

\(0 = x + b =4 + b\)

\(b = -4\)

Damit fällt Möglichkeit a) raus. Hier wäre der Schnittpunkt bei 0.

Du musst also noch zwischen d) und e) entscheiden. Dafür liest du den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ab. Er liegt bei \((0|-1)\). Nun kannst du den y-Wert des Schnittpunkts bei den Funktionen d) und e) berechnen und damit herausfinden, welche Funktion die richtige ist.

Dafür setzt du im Funktionsterm 0 für x ein.

\(f(0)=-1= a \cdot\frac{(0\ -\ 4)}{0\ -\ 6}\)

\(a=\frac{-1\ \cdot\ (-6)}{-4}\)

\(a=-1,5\)

Somit ist d) die richtige Anwort.

Der y-Wert bei Funktion e) wäre:

\(f(0) = \frac {4(0\ -\ 4)}{0\ -\ 6}=-\frac {8}{3}\)

Möglichkeit e) ist damit falsch.

Lösung

Die richtige Antwort ist Term d). Der Graph wir durch den Funktionsterm:

\(f(x) = \frac{-1,5 (x\ -\ 4)}{x\ -\ 6}\)

ausgedrückt.

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