Wahrscheinlichkeitsrechnung – Klassenarbeiten
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten?
Um eine Wahrscheinlichkeit bei einem Zufallsexperiment richtig zu berechnen, musst du dir zuerst überlegen, nach was für einer Art von Wahrscheinlichkeit gefragt ist. Handelt es sich um eine unabhängige, eine bedingte oder eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit?
Die Art der Wahrscheinlichkeit und der korrekte Lösungsweg hängen meistens davon ab, ob es sich bei dem vorliegenden Experiment um ein einstufiges oder ein mehrstufiges Zufallsexperiment handelt.
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten in einstufigen Zufallsexperimenten?
Bei einstufigen Zufallsexperimenten sollst du oft eine unabhängige Wahrscheinlichkeit berechnen. Meistens handelt es sich bei einem einstufigen Zufallsexperiment um ein Laplace-Experiment. Dann sind alle möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich und du kannst die Formel von Laplace benutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten?
In Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann es etwas komplizierter werden. Hier können auch bedingte und gemeinsame Wahrscheinlichkeiten gesucht sein, besonders bei zweistufigen Zufallsexperimenten.
Bevor du solche Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst, musst du meistens das Zufallsexperiment durch ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel darstellen.
In einfachen Aufgaben kannst du dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt aus deinem Baumdiagramm oder deiner Vierfeldertafel ablesen. Bei schwierigeren Übungen musst die Wahrscheinlichkeit aus den Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms oder der Vierfeldertafel berechnen.
Wann benutzt man welche Formel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es viele verschiedenen Formeln:
- die Formel von Laplace,
- die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit,
- die Formel für die stochastische Unabhängigkeit,
- die Komplementärregel,
- die Formel von Bernoulli.
Aber woher weiß man, wann man welche Formel benutzen soll?
Die Formel von Laplace
Die allermeisten Aufgaben zu einstufigen Zufallsexperimenten kannst du mit der Formel von Laplace lösen. Auch bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kannst du mit ihr oft die Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm berechnen. Du verwendest sie immer dann, wenn alle Ereignisse des Experiments gleich wahrscheinlich sind.
Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten solltest du immer dann benutzen, wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist, berechnen musst. Besonders oft kommt diese Formel in zweistufigen Zufallsexperimenten vor.
Die Formel für stochastische Unabhängigkeit
Mit der Formel für stochastische Unabhängigkeit kannst du prüfen, ob zwei Merkmale bei einem Zufallsexperiment unabhängig sind oder nicht. Falls du nachweisen kannst, dass die Formel gilt, sind die Merkmale in der Aufgabe voneinander unabhängig.
Die Komplementärregel
Die Komplementärregel und das Gegenereignis kommen immer dann ins Spiel, wenn es sehr schwierig ist, die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis auszurechnen. Das kann zum Beispiel der Fall sein, wenn sehr viele Pfade durch das Baumdiagramm zu diesem Ereignis gehören. Dann ist es geschickter, die Komplementärregel anzuwenden.
Formel von Bernoulli
Bei Aufgaben zur Binomialverteilung sollst du häufig berechnen, wie wahrscheinlich es ist, bei einer Bernoulli-Kette eine bestimmte Anzahl von Erfolgen zu erhalten. Genau für diesen Fall gibt es die Formel von Bernoulli. Mit ihr kommst du immer auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit, ganz gleich nach wie vielen Erfolgen gefragt ist!
Wozu braucht man die Kombinatorik bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Die Kombinatorik benutzt du zum Abzählen der verschiedenen Möglichkeiten bei einem Experiment. Mit ihr kannst du in Aufgaben und Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ganz leicht die Anzahl der möglichen und günstigen Ereignisse oder auch die Anzahl der Pfade durch ein Baumdiagramm, die zu einem bestimmten Ereignis gehören, bestimmen.
Bei der Anwendung hilft dir vor allem die Zählregel der Kombinatorik weiter. Mit ihr kannst du die Anzahl aller Möglichkeiten bei einem mehrstufigen Experiment bestimmen.