Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Gegenereignis geschickt einsetzen

Gegenereignis geschickt einsetzen (einfach)

Aufgabe:

Aus einer Urne mit weißen und schwarzen Kugeln werden nacheinander 2 Kugeln gezogen.

Es soll die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Mindestens eine schwarze Kugel wird gezogen" bestimmt werden.

Vervollständige die Schritt-für-Schritt Anleitung zum Lösen einer Aufgabe mithilfe des Gegenereignisses.

Ziehe dazu die Wörter an die richtigen Stellen.

Pfadmultiplikationsregel

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeiten

des Ereignisses

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis

des Gegenereignisses

Ereignis

Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit

auszurechnen, als die Wahrscheinlichkeit

zu bestimmen.

Dazu gehst du wie folgt vor:

1. Schritt:

betrachten.

Anstatt die Einzelwahrscheinlichkeiten für das

zu berechnen, wird die

des Gegenereignisses berechnet. Dazu bestimmst du zunächst, welche Ereignisse darin enthalten sind.

2. Schritt:

berechnen.

Nach der

wird nun die

des Gegenereignisses berechnet.

3. Schritt: Aufgabe lösen.

Mit der Formel für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

Aufgabe:

Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses lautet:

$P(\bar{E})=1+P(E)$

Wahr

Falsch

Gegenereignis geschickt einsetzen (mittel)

Aufgabe:

In einer Dose Bonbons gibt es die Sorten Zitrone, Kirsche, Apfel und Erdbeere.

Die Wahrscheinlichkeit einen Zitronenbonbon zu ziehen, beträgt

$P(Z)=23\,\%$ .

Außerdem weißt du, dass genau gleich viele Kirsch- und Apfelbonbons in der Dose sind.

Wenn nun die Wahrscheinlichkeit für einen Kirschbonbon

$P(K)=12\,\%$ beträgt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, ein Erdbeerbonbon zu ziehen?

Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis und trage diese in Prozent in die Lücke ein.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Erdbeerbonbon zu ziehen, beträgt

$\,\%$ .

Aufgabe:

Eine Münze wird viermal geworfen. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass mindestens einmal Kopf geworfen wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses und trage die Zahl in Prozent auf zwei Stellen nach dem Komma genau ein.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt

$\,\%$ .

Aufgabe:

Der Akku von Lisas Handy ist zu

$55\,\%$ geladen.

Wähle dazu das richtige Gegenereignis aus.

Keine Aussage ist das Gegenereignis.
.
Der Akku von Lisas Handy ist zu $45\,\%$ geladen.
.
Der Akku von Lisas Handy ist mehr als $55\,\%$ geladen.
.
Der Akku von Lisas Handy ist zu $100\,\%$ geladen.
.
Der Akku von Lisas Handy ist zu weniger als $55\,\%$ geladen.
.

Aufgabe:

Aus einem Glas mit fünf roten und sieben grünen Murmeln werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei gezogen.

Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, mit zwei Zügen keine rote Murmel zu ziehen.

Entscheide, ob der folgende Lösungsweg richtig (wahr) oder falsch ist.

Das gesuchte Ereignis lautet "Es wird mit zwei Zügen keine rote Murmel gezogen.".

Das Gegenereignis dazu ist: "Es wird mit zwei Zügen eine rote Murmel gezogen.".

Als Nächstes berechnest du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.

Es gibt zwei Pfade, auf denen genau eine rote Murmel gezogen wird.

Diese sind

$(R, G)$ und

$(G, R)$ . Mit der Pfadregel berechnest du nun die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

$P(R,G)=\frac{5}{12}\cdot\frac{7}{11}=\frac{35}{132}$

$P(G,R)=\frac{7}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{35}{132}$

$P(\bar{E})=P(R,G)+P(G,R)\approx53{,}03\,\%$

Jetzt rechnest du mit der Formel für das Gegenereignis die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses aus.

$P(E)=1-P(\bar{E})\approx1-53,03\%=46{,}97\,\%$

Wahr

Falsch

Gegenereignis geschickt einsetzen (schwer)

Aufgabe:

Bei einem Experiment gibt es vier verschiedene Ausgänge:

$A,\,B,\,C$ und

$D$ . Es liegen die folgenden Wahrscheinlichkeiten vor:

$P(A)=\frac35$

$P(B)=\frac{1}{10}$

$P(C)=\frac15$

Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass D eintritt. Gib die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl an.

$P(D)=$

Aufgabe:

Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten und markiere die richtigen Werte im Text.

Richtig!

Falsch!

Vergessen!

Aufgabe:

Ordne die Ereignisse und Gegenereignisse richtig zu.

Folgende Informationen liegen vor:

$P(A)=0{,}35$

$P(B)=0{,}7$

$P(D)=0{,}65$

$P(B)<P(F)$

$P(G)>P(A)$

$P(H)=P(I)$

$P(J)=0{,}6$

Hinweis: Es gibt zu jedem der Ereignisse genau ein Gegenereignis.

$E$	$\bar{E}$
$A$
$B$
$G$
	$I$
$K$

$J$

$H$

$D$

$C$

$F$

Wie du Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmst

Video wird geladen...

Schritt-für-Schritt-Anleitung zum VideoZeige im Fenster Drucken

Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmen

Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmen (einfach)

Aufgabe:

Wähle die richtige Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit aus.

Correct!

Incorrect!

Missed!

Aufgabe:

Jakob würfelt dreimal nacheinander mit einem normalen Würfel.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: Jakob würfelt mindestens eine 6.

Das Gegenereignis dazu lautet: Jakob würfelt keine 6.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und trage diese als Bruch ein.

Die Wahrscheinlichkeit

$P(\text{mindestens eine 6})$ beträgt

$/\,216$ .

Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmen (mittel)

Aufgabe:

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und trage diese auf ganze Prozente gerundet ein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, beträgt

$p=\frac15$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen nicht regnet, beträgt somit %.

Aufgabe:

Entscheide, ob der folgende Rechenweg richtig (wahr) oder falsch ist.

Das Gegenereignis zu „Es werden mit fünf Würfeln genau zwei Einsen gewürfelt.“ lautet: Es werden mit fünf Würfeln weniger als zwei Einsen gewürfelt.

Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, berechnet man zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit.

Diese ist

$P(\text{Weniger als zwei Einsen gewürfelt.})=P(\text{Eine Eins gewürfelt.})+P(\text{Zwei Einsen gewürfelt.})$

Anschließend muss man die Gegenwahrscheinlichkeit nur noch von 1 abziehen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Zu einem Zufallsexperiment gibt es die möglichen Ergebnisse A, B, C und D.

Bekannt sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

$P(A)=25\,\%$

$P(B)=20\,\%$

$P(D)=25\,\%$

Das gesuchte Ereignis ist „Weder B noch D“.

Bestimme die richtige Wahrscheinlichkeit und wähle diese aus.

$55\,\%$
.
$60\,\%$
.
$50\,\%$
.
$25\,\%$
.

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich Kugeln in fünf verschiedenen Farben: rot, blau, grün, gelb und weiß.

Die Wahrscheinlichkeiten, eine Kugel der jeweiligen Farbe zu ziehen, betragen:

$P(rot)=0,25$

$P(blau)=0,15$

$P(grün)=0,05$

$P(gelb)=0,05$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, bei vier Versuchen mindestens eine weiße Kugel zu ziehen.

Trage die Wahrscheinlichkeit auf ganze Prozente gerundet in die Lücke ein.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. %.

Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, beträgt

$30\,\%$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen schneit, beträgt

$15\,\%$ .

Wähle alle zutreffenden Aussagen zu den Wahrscheinlichkeiten aus.

Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet oder schneit, beträgt $p=45\,\%$ .
.
Die Wahrscheinlichkeit, dass morgen die Sonne scheint beträgt $p=55\,\%$ .
.
Das Gegenereignis zu „Morgen schneit oder regnet es.“ lautet: Morgen scheint die Sonne.
.

Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmen (schwer)

Aufgabe:

Bei einem Basketballspiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der beste Spieler deiner Mannschaft einen Korb wirft, genau

$68\,\%$ .

Für diese Aufgabe wird angenommen, dass sich diese Wahrscheinlichkeit nicht ändert und auch nicht von anderen Faktoren beeinflusst wird. Es soll nun die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass nicht genau dreimal nacheinander ein Korb von diesem Spieler geworfen wird.

Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses.

Trage die Wahrscheinlichkeit als Prozent auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.

Die Wahrscheinlichkeit ist %.

Aufgabe:

In der Schule wird eine Tombola veranstaltet. Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:

$20\,\%$ gewinnen einen kleinen Trostpreis.

$10\,\%$ gewinnen einen mittleren Trostpreis.

$67\,\%$ gewinnen nichts.

Der Rest gewinnt einen Hauptpreis.

Entscheide, ob diese Aussage richtig (wahr) oder falsch ist:

Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Losen den Hauptpreis zu gewinnen, beträgt ca.

$3\,\%$ .

Wahr

Falsch

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20. Es werden nun nacheinander und mit Zurücklegen drei Kugeln aus der Urne gezogen.

Wähle alle zutreffenden Aussagen zu diesem Experiment aus.

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gerade Zahl zu ziehen, beträgt $\frac12$ .
.
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden höchstens zwei gerade Zahlen gezogen.“ beträgt $\frac18$ .
.
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden höchstens zwei gerade Zahlen gezogen.“ beträgt $\frac78$ .
.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gerade Zahl zu ziehen, beträgt $\frac14$ .
.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gerade Zahl zu ziehen, beträgt $\frac78$ .
.

Aufgabe:

In Maries Klasse sind 25 Schülerinnen und Schüler. Die Klasse hat abgesprochen, dass, wenn jemand Geburtstag hat, dieser in der Woche einen Kuchen für alle backt.

Marie überlegt sich, dass ein Jahr 365 Tage hat und die Wahrscheinlichkeit, dass jemand z. B. heute Geburtstag hat

$\frac{25}{365}$ beträgt.

Eine Woche hat sieben Tage, also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jemand innerhalb einer Woche Geburtstag hat

$\frac{25}{365}\cdot7=\frac{175}{365}\approx48\,\%$ .

Das Gegenereignis dazu ist: Es hat niemand Geburtstag. (Und es gibt keinen Kuchen.)

Die Wahrscheinlichkeit davon beträgt

$100\,\%-48\,\%=52\,\%$ .

Es gibt also in etwa jede zweite Woche keinen Kuchen.

Entscheide, ob ihre Überlegungen richtig (wahr) oder falsch sind.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Vervollständige den Lückentext.

Ein Ereignis und sein

ergeben zusammen immer genau

.

Das bedeutet demnach, dass die Wahrscheinlichkeit eines

sinkt, wenn die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

.

Oder auch, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses steigt, wenn die Wahrscheinlichkeit des

.

Bei beispielsweise einem normalen Kartenspiel mit 32 Karten soll keine Karte der Farbe Herz gezogen werden. Das

dazu ist: Es wird eine Karte der Farbe Herz gezogen.

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt

.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

.

Werden nun zwei Herzkarten aus dem Kartenspiel entfernt,

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, da die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

.

steigt

Gegenereignisses

Ereignisses

Gegenereignis

steigt

sinkt

$\frac14$

$\frac34$

100 %

sinkt

Aufgabe:

Eine Münze wird viermal nacheinander geworfen. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass nicht viermal das gleiche Ergebnis vorliegt.

Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten und trage diese als vollständig gekürzte Brüche ein.

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist:

$P(\bar E)=$ /
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist somit:

$P(E)=$ /

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (einfach)

Aufgabe:

Vervollständige die Formel, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mithilfe des Gegenereignisses zu bestimmen.

Ziehe dazu die benötigten Formelbestandteile an die richtigen Stellen.

Greifbares Element 1 von 3.

Greifbares Element 2 von 3.

Greifbares Element 3 von 3.

Ablagezone 1 von 3.

Ablagezone 2 von 3.

Ablagezone 3 von 3.

Aufgabe:

Es wird dreimal nacheinander mit einem normalen Würfel gewürfelt.

Wähle das richtige Gegenereignis zu „Es wird mindestens eine Sechs gewürfelt“ aus.

Es wird keine Sechs gewürfelt.
.
$P(\bar{E})=\frac{125}{216}$
.
$P(\bar{E})=\frac{5}{6}$
.
$P(\bar{E})=\frac{12}{32}$
.
Es wird maximal eine Sechs gewürfelt.
.
$P(\bar{E})=\frac{25}{162}$
.
Es wird dreimal die Sechs gewürfelt.
.

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (mittel)

Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, beträgt

$20\,\%$ . Das Gegenereignis dazu lautet: „Morgen scheint die Sonne.“ Mit der Formel für das Gegenereignis ergibt sich dafür eine Wahrscheinlichkeit von

$80\,\%$ .

Entscheide, ob diese Aussage wahr oder falsch ist.

Wahr

Falsch

Aufgabe:

Aus einem Glas mit fünf roten und sieben grünen Murmeln werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Murmeln gezogen. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, mit zwei Zügen mindestens eine rote Murmel zu ziehen.

Markiere die richtigen Aussagen im folgenden Text.

Richtig!

Falsch!

Vergessen!

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (schwer)

Aufgabe:

In einem normalen Kartenspiel mit 32 Karten gibt es die Karten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass jeweils als Pik, Karo, Herz und Kreuz. Das Ereignis lautet: „Von drei nacheinander gezogenen Karten sind mindestens zwei Karten keine Zahl.“

Wähle alle Ereignisse aus, die Teil des Gegenereignisses sind.

Es werden zwei Achten gezogen.
.
Es werden nur Buben gezogen.
.
Alle gezogenen Karten haben die gleiche Farbe.
.
Es werden drei Karten mit Zahlen gezogen.
.

Aufgabe:

Tony hat die Geheimzahl für sein neues Handy vergessen. Er weiß nur noch, dass die Zahl vierstellig ist und mit

$1;\ 2;\ 3$ beginnt. Nun möchte Tony durch Ausprobieren die richtige Zahl herausfinden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er es mit drei Versuchen schafft, die richtige Nummer einzugeben. Trage den Wert in Prozent ein

Die Wahrscheinlichkeit beträgt: %

Aufgabe:

Ein Würfel wird fünfmal nacheinander geworfen. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass nicht fünfmal das gleiche Ergebnis vorliegt.

Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit und trage die auf vier Stellen nach dem Komma gerundete Dezimalzahl ein.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist:

$P(E)=$

Mathematik

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Wie du das Gegenereignis geschickt einsetzt

Gegenereignis geschickt einsetzen

Wie du Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmst

Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmen

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Wahrscheinlichkeit (1)

Wahrscheinlichkeit (2)

Wahrscheinlichkeitsrechnung (1)

Wahrscheinlichkeitsrechnung (2)

Lernjahr 1

Enthaltene Dienste

Enthaltene Dienste

Enthaltene Dienste

Lernjahr 1

Wie du das Gegenereignis geschickt einsetzt

Gegenereignis geschickt einsetzen

Wie du Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmst

Wahrscheinlichkeiten über das Gegenereignis bestimmen

Gegenereignis bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Zugehörige Klassenarbeiten

Lernjahr 1