Was du wissen musst
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Wie multipliziert man einen Term aus?
Wenn ein Term zum Beispiel aus zwei Faktoren besteht und der eine Faktor eine Summe ist, dann könnte dieser Term zum Beispiel so aussehen:
\((\)\(-3x\)\(+\)\(2\)\()\,\cdot \,4x\)
Um ihn auszumultiplizieren, musst du die Summanden einzeln mit dem Faktor multiplizieren. Das besagt das Distributivgesetz. Achte dabei gut auf die Vorzeichen. Es entstehen folgende Nebenrechnungen:
\(-3x\cdot4x=-12x^2 \)
\(2\cdot4x=8x \)Daraus ergibt sich das gesamte Ergebnis:
\((-3x+2)\cdot 4x = \)\(-12x^2\)\(+\)\(8x\)
Es können auch mehr als zwei Summanden in der Klammer stehen. Aber auch dann musst du sie alle einzeln mit dem Faktor multiplizieren.
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Wie multipliziert man zwei Summen in einem Produkt aus?
Zwei Summen in einem Produkt auszumultiplizieren funktioniert ähnlich wie das Ausmultiplizieren von einer Summe in einem Produkt. Der Unterschied besteht darin, dass der Faktor durch eine weitere Summe ersetzt wurde. Trotzdem gilt das Distributivgesetz. Du multiplizierst also jeden Summanden aus der einen Klammer mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer. Deine Aufgabe könnte lauten:
\((-3x+2)\cdot(4x-5)\)
Die Nebenrechnungen, die du zum Ausmultiplizieren der Klammer durchführen musst, sind:
\(\begin{align} -3x\cdot4x&=-12x^2 \\-3x\cdot(-5)&=15x \\2\cdot4x&=8x \\2\cdot(-5)&=-10 \end{align}\)
Daraus ergibt sich das gesamte Ergebnis:
\(\begin{align} (-3x+2)\cdot(4x-5)&=-12x^2+15x+8x-10 \\&=-12x^2+23x-10 \end{align}\)
Sei bei solchen Aufgaben immer besonders aufmerksam, damit du die Fälle erkennst, bei denen du die binomischen Formeln anwenden musst. Wenn du beispielsweise einen Term der Form \((a+b)\cdot(a+b)\) siehst, dann kannst du ihn ausklammern, indem du die binomischen Formeln anwendest und den Term \(a^2+2ab+b^2\) bildest.
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Wie multipliziert man mehrere Terme mit Klammern aus?
Um mehrere Terme mit Klammern auszumultiplizieren, multiplizierst du zuerst immer zwei Klammern miteinander. Das Ergebnis schreibst du in eine neue Klammer, die du dann mit der nächsten Klammer multiplizierst, und so weiter. Deine Aufgabe könnte zum Beispiel lauten:
\((3-x)\cdot(x+1)\cdot(x+2)\)
Um sie zu lösen, multiplizierst du die ersten beiden Klammern wie gewohnt miteinander und schreibst das Ergebnis in eine neue Klammer. Die letzte Klammer (also die dritte) lässt du erst einmal stehen:
\(\begin{align} (3-x)\cdot(x+1)\cdot(x+2)&=(3x+3-x^2-x)(x+2) \\&=(2x+3-x^2)(x+2) \end{align}\)
Im nächsten Schritt multiplizierst du die neu entstandene Klammer wie gewohnt mit der letzten Klammer:
\(\begin{align} (2x+3-x^2)(x+2)&=2x^2+4+3x+6-x^3-2x^2 \\(2x+3-x^2)(x+2)&=10+3x-x^3 \end{align}\)
Somit ist das Ergebnis:
\((3-x)\cdot(x+1)\cdot(x+2)=10+3x-x^3\)
Du kannst auch mehr als drei Klammern ausmultiplizieren. Wichtig ist nur, dass du wirklich immer nur zwei Klammern direkt miteinander multiplizierst. Außerdem solltest du deine Teilergebnisse immer gut zusammenfassen, damit die Aufgabe übersichtlicher und somit auch einfacher bleibt.