Was du wissen musst
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Wie berechnet man das kgV?
Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu berechnen, benötigst du die Primfaktorzerlegung.
Beispiel: Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von \(28\) und \(68\).
\(\begin{align} 24&= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\\ 68&=2 \cdot 2 \hspace{1.1cm} \cdot 17\\ \hline \text{kgV}(24,68) &=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 =408\end{align}\)
Für das kgV multiplizierst du alle Primzahlen, die in den Zerlegungen vorkommen, in ihrer häufigsten Anzahl. Allerdings nicht doppelt! Das heißt, du berücksichtigst nur \(2 \cdot 2 \cdot2\) aus der Zerlegung von \(24\) und nicht noch zusätzlich \(2 \cdot 2 \) aus der Zerlegung von \(68\).
Das kgV von \(24\) und \(68\) ist also \(476\), kurz:
\(\text{kgV}(24,68)=408\) -
Wie berechnet man den ggT?
Um den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen zu berechnen, benötigst du die Primfaktorzerlegung.
Beispiel: Berechne den größten gemeinsamen Teiler von \(28\) und \(68\).
\(\begin{align} 24&= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\\ 68&=2 \cdot 2 \hspace{1cm} \cdot 17\\ \hline \text{ggT}(24,68) &=2 \cdot 2=4\end{align}\)
Für den ggT multiplizierst du die Primzahlen, die in beiden Zerlegungen vorkommen, in ihrer minimalen Anzahl.
Der ggT von \(24\) und \(68\) ist also \(4\), kurz:
\(\text{ggT}(24,68)=4\) -
Wie berechnet man das kgV und den ggT für mehr als zwei Zahlen?
Du findest das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler von mehreren Zahlen genauso wie von zwei Zahlen. Um das kgV oder den ggT von mehreren Zahlen zu berechnen, zerlegst du alle Zahlen in ihre Primfaktoren und berechnest dann das kgV oder den ggT.
Beispiel: Berechne den ggT von \(128\), \(400\) und \(600\).
\(\begin{align} 128&= 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2\\ 400&=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \hspace{2cm} \cdot 5 \cdot 5\\ 600&= 2\cdot 2 \cdot 2 \hspace{2cm} \cdot3\cdot 5 \cdot 5\\ \hline \text{ggT}(128,400,600) &=2 \cdot 2\cdot 2 =8\end{align}\)
Der ggT von \(128\), \(400\) und \(600\) ist \(8\), kurz:
\(\text{ggT}(128,400,600)=8\)Beispiel: Berechne das kgV von \(128\), \(400\) und \(600\).
\(\begin{align} 128&= 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2\\ 400&=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \hspace{2.15cm} \cdot 5 \cdot 5\\ 600&= 2\cdot 2 \cdot 2 \hspace{2.15cm} \cdot3\cdot 5 \cdot 5\\ \hline \text{kgV}(128,400,600) &=2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot3\cdot 5 \cdot 5=9600\end{align}\)
Das kgV von \(128\), \(400\) und \(600\) ist \(9600\), kurz:
\(\text{kgV}(128,400,600)=9600\) -
Wozu braucht man kgV und ggT?
Das kgV hilft dir bei der Addition und Subtraktion von Brüchen. Du kannst mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen nämlich den kleinsten gemeinsamen Nenner von zwei oder mehreren Brüchen finden. Das erleichtert dir die Rechnung, da du mit möglichst kleinen Brüchen weiterrechnen kannst.
Der ggT hilft dir ebenfalls in der Bruchrechnung. Du kannst mit dem größten gemeinsamen Teiler Brüche kürzen oder erweitern und die weiteren Rechnungen übersichtlich halten.