Binomische Formeln

Was du wissen musst

• Warum braucht man binomische Formeln?

  Die binomischen Formeln vereinfachen viele Rechnungen. Musst zu z. B. den Term \((3x+4)^2\) ausmultiplizieren, kannst du einfach die 1. binomische Formel anwenden:

  \((2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9\)

  Rechnest du das hingegen ohne binomische Formel, sieht diese Rechnung eher so aus:

  \((2x+3)^2=(2x+3)\cdot(2x+3)=2x\cdot2x+2x\cdot3+3\cdot2x+3\cdot3=4x^2+6x+6x+9=4x^2+12x+9\)

  Mit binomischen Formeln zu rechnen ist viel übersichtlicher. Außerdem kannst du die binomischen Formeln umgekehrt auch zum Ausklammern bestimmter Terme verwenden.

• Wie erkennt man, ob man binomische Formeln anwenden kann?

  Du kannst die binomischen Formeln immer dann anwenden, wenn du einen Term vor dir hast, der so aussieht wie die linke oder wie die rechte Seite einer binomischen Formel. Du musst lediglich erkennen, welche Ausdrücke dem \(a\) und dem \(b\) in den Formeln entsprechen.

  Hast du einen Term, der wie die linke Seite einer binomischen Formel aussieht, kannst du den Term damit ausmultiplizieren. Hast du hingegen einen Term, der wie die rechte Seite einer binomischen Formel aussieht, kannst du den Term damit ausklammern.

  Wie du in der Tabelle siehst, macht es keinen Unterschied, ob du binomische Formeln bei Brüchen oder bei ganzen Zahlen anwendest.

  Binomische Formel	Beispiel	Entsprechung
  \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)	\((3x+2y)^2=9x^2+12xy+2y^2\)	\(a=3x\) und \(b=2y\)
  \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)	\(\left( \frac13-\frac1y\right)^2=\frac19-\frac2{3y}+\frac1{y^2}\)	\(a=\frac12x\) und \(b=\frac1y\)
  \((a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\)	\((0{,}4x+0{,}3)\cdot(0{,}4x-0{,}3)=0{,}16x^2-0{,}09\)	\(a=0{,}4x\) und \(b=0{,}3\)

• Wie viele binomische Formeln gibt es?

  Wie oben aufgezählt, gibt es 3 binomische Formeln. Was passiert aber, wenn du in der 1. oder 2. Formel anstatt hoch \(2\) eine andere Zahl als Exponenten hast?

  In diesem Fall schaust du dir am besten das pascalsche Dreieck an. In drei Schritten kannst du damit Formeln für andere Exponenten bestimmen. Für \((a+b)^3\) geht das so:

  1. Welchem Term der binomischen Formeln ähnelt dein Term? In den Klammern steht in unserem Beispiel \(a+b\). Dieser Term ähnelt also der linken Seite der 1. binomischen Formel. Das heißt, dass auf die rechte Seite nur Pluszeichen kommen werden.
  2. Finde heraus, welche Potenz an der Klammer steht. In diesem Fall ist es ​​​​​​\(3\). Schau in die entsprechende Zeile des pascalschen Dreiecks und notiere dir daraus die Vorfaktoren:
     \(1\quad3\quad3\quad1\)
  3. Bestimme die Variablen \(a\) und \(b\) der einzelnen Summanden. Welche Potenz jeweils an \(a\) und \(b\) gehört, kannst du ganz einfach feststellen. Du nimmst als ersten Summanden ein \(a\) mit der Potenz, die an der Klammer steht: In unserem Beispiel hast du also \(a^3\). Mit \(a^3\) multiplizierst du als Hilfestellung \(b^0\). Nun verringerst du bei dem jeweils nächsten Term die Potenz von \(a\) um \(1\), während du die Potenz von \(b\) um \(1\) erhöhst:
     \(1a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+1a^0b^3\)
     Für den Exponenten \(0\) gilt:
     \(a^0=b^0=1\)
     Und \(1\) als Vorfaktor schreibst du nicht mit. Deshalb kannst du diesen Term vereinfachen:
     \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

  Damit erhältst du die folgende Gleichung:

  \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

  ​

  

  ​

  Die Gleichung im Beispiel ähnelt der 1. binomischen Gleichung. Hast du einen Term mit einem Minus vor dir, musst du auf die Vorzeichen der einzelnen Summanden achtgeben. Immer wenn \(b\) einen ungeraden Exponenten hat, wird der entsprechende Term negativ:

  \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

• Wie kann man die binomischen Formeln herleiten?

  Zum Herleiten der binomischen Formeln gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten. Du kannst sie algebraisch oder geometrisch herleiten.

  Herleitung durch Ausmultiplizieren

  Du kannst die Terme auf der jeweils linken Seite der Formeln ausmultiplizieren. Bei der 2. binomischen Formel sieht die Herleitung beispielsweise so aus:

  \((a-b)^2=(a-b)\cdot(a-b)=a\cdot a+a\cdot(-b)+(-b)\cdot a+(-b)^2=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\)

  Die 1. und die 3. binomische Formel kannst du genauso herleiten.

  Herleitung durch das Zeichnen eines Quadrats

  Alternativ dazu kannst du auch ein Quadrat zeichnen. Im nebenstehenden Bild siehst du ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a+b\). Die Formel für die Fläche eines Quadrats kennst du aus der Geometrie. Sie ist genau das Quadrat der Seitenlänge. In diesem Fall ist die Fläche also:

  \((a+b)^2\)

  Aus der Zeichnung kannst du nun ablesen, aus welchen Rechtecken sich diese Fläche zusammensetzt.

  • Es gibt ein Quadrat mit der Fläche ​​​​\(a^2\),
  • ein Quadrat mit der Fläche ​​​​​​\(b^2\) sowie
  • zwei Rechtecke mit der Fläche \(ab\).

  Die Gesamtfläche ist also:

  \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  Das ist wieder die 1. binomische Formel.

  

  Die 2. und die 3. binomische Formel kannst du ebenfalls durch Zeichnungen herleiten. Allerdings sind diese Herleitungen etwas aufwendiger.