Reelle Zahlen | Aufgaben und Übungen

Die Menge der reellen Zahlen ist der größte Zahlenbereich, den du in der Schule kennenlernst. Er umfasst sowohl alle rationalen Zahlen als auch alle irrationalen Zahlen. Bei Aufgaben und Übungen geht es neben dem Rechnen mit den reellen Zahlen auch darum, zwischen rationalen und irrationalen Zahlen zu unterscheiden.

Wie unterscheidet man zwischen rationalen und irrationalen Zahlen?

Um herauszufinden, ob eine gegebene Zahl in einer Aufgabe rational oder irrational ist, versuchst du die Zahl als einen Bruch mit ganzen Zahlen zu schreiben. Dann gilt:

• Wenn dir das gelingt, handelt es sich um eine rationale Zahl.
• Falls du die Zahl nicht in einen einfachen Bruch verwandeln kannst, ist die Zahl irrational.

Irrationale Zahlen kommen außerdem oft bei Aufgaben mit Wurzeln vor. Dafür ist es hilfreich, zu wissen, dass die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl darstellt, immer irrational ist!

Wie rechnet man mit rationalen Zahlen?

Sicher kennst du dich schon mit den Grundrechenarten aus und weißt, wie du sie beim Rechnen mit rationalen Zahlen anwenden kannst. Für diese Zahlenmenge gehört dazu vor allem das Bruchrechnen und der Umgang mit den Dezimalzahlen. In Anwendungsaufgaben geht es hier besonders oft um die Prozent- und Zinsrechnung oder das Umrechnen von Größen und Einheiten.

Komplizierter wird es erst, wenn Potenzen, Wurzeln und Logarithmen dazukommen. In Aufgaben und Übungen musst du zum Beispiel lange Terme mit Potenzen und Logarithmen vereinfachen, Wurzeln teilweise ziehen oder Definitionsmengen bestimmen. Dabei helfen dir vor allem diese Rechenregeln:

• Potenzgesetze
• Wurzelgesetze
• Logarithmensätze

Wenn du dich mit diesen Regeln gut auskennst, hast du ausgezeichnete Chancen bei Anwendungsaufgaben zum Rechnen mit den rationalen Zahlen!

Bei den ganz schwierigen Aufgaben kommt es zu einer Kombination von Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Dann geht es zum Beispiel um das Potenzieren von Wurzeln oder um logarithmierte Potenzen. Für solche Übungen musst du genau wissen, wie du die drei Arten von Rechengesetzen am besten nacheinander anwenden kannst, um die Terme zu vereinfachen. 

Wie rechnet man mit irrationalen Zahlen? 

Für das Rechnen mit irrationalen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für die rationalen Zahlen. Weil du die irrationalen Zahlen aber nicht als Brüche darstellen kannst, geht es für diese Zahlenmenge weniger um das Bruchrechnen.

Besonders häufig begegnest du irrationalen Zahlen beim Wurzelziehen, Logarithmieren und beim Rechnen mit den trigonometrischen Funktionen. Dein Taschenrechner zeigt dir dabei meistens das Ergebnis in der Dezimalschreibweise. Weil eine irrationale Zahl ja eine unendliche und nicht periodische Zahl ist, rundest du deshalb dein Ergebnis am besten auf eine oder zwei Nachkommastellen!