Quadratische Funktionsterme: Scheitelpunktsform

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe

1. Schreibe die Funktionsgleichung \(f(x)=3(x-4)^2-5\) in ihrer allgemeinen Form.

2. Wandle die Funktionsgleichung \(g(x) = 2x^2+ 8x + 14\) in die Scheitelpunktform um.

Das musst du wissen

Die Scheitelpunktform und die Normalform

Quadratische Funktionsgleichungen treten üblicherweise in einer von zwei Formen auf. Die allgemeine Form ist \(f(x)=ax^2+bx+c\). Ist der Leitkoeffizient \(a=1\), wird aus der allgemeinen Form die sogenannte Normalform: \(f(x)=x^2+px+q\).

Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=a(x-d)^2+e\).  Aus der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt des Funktionsgraphen direkt ablesen: \(S(d|e)\).

Die 1. und 2. binomische Formel

Um die Scheitelpunktform in die Normalform umzuwandeln, verwendest du die 1. oder 2. binomische Formel:

\(\begin{align} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{align}\)

Die quadratische Ergänzung

Möchtest du die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln, musst du eine quadratische Ergänzung ausführen. Wenn du z. B. den Term \(x^2+8x\) hast, möchtest du ihn in eine Form bringen, die du mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren kannst. Er muss also auf der rechten Seite einer binomischen Formel ähneln, d. h. den Vorfaktor \(2\) vor dem Term mit \(x\) haben.

\(\begin{align} x^2+8x&=x^2+\color{green}{2}\cdot4\cdot x\end{align}\)

Vergleiche diesen Term mit der ersten binomischen Formel:

\(\begin{align} &\color{blue}{x^2}+2\cdot\color{blue}{x}\cdot\color{orange}4\\&\color{blue}{a^2}+2\cdot\color{blue}a\cdot\color{orange}b+\color{orange}{b^2 }\end{align}\)

Es fehlt also der Term \(+\ 4^2\). Diesen ergänzt du quadratisch:

\(\begin{align} x^2+8x&=x^2+2\cdot4x+\color{green}{0} \\ &=x^2+2\cdot 4x\color{green}{+4^2-4^2}\\ &=\color{orange}{x^2+2\cdot4x+4^2}-16\\ &=\color{orange}{(x+4)^2}-4^2\end{align}\)

Lösungsschritte zu Teilaufgabe a

 Schreibe die Funktionsgleichung \(f(x)=3(x-4)^2-5\) in ihrer allgemeinen Form.

Schritt 1: Löse die binomische Formel auf

Löse zunächst die binomische Formel auf.

\(\begin{align} f(x)&= 3\color{green}{(x-4)^2}-5\\ &= 3\cdot\color{green}{(x^2-8x+16)}-5 \end{align}\)

Schritt 2: Löse die Klammer auf

Löse jetzt die Klammer auf und vereinfache so weit wie möglich.

\(\begin{align} f(x)&=3x^2-24x+48-5\\ &=3x^2-24x+43 \end{align}\)

Lösungsschritte zu Teilaufgabe b

Wandle die Funktionsgleichung \(g(x) = 2x^2+ 12x + 14\) in die Scheitelpunktform um.

Schritt 1: Klammere den Leitkoeffizienten aus

Zuerst klammerst du den Leitkoeffizienten aus den beiden Termen mit \(x\) aus.

\(\begin{align} g(x) &= \color{green}{2}x^2+ 12x + 14\\ &=\color{green}{2}\cdot(x^2+6x)+14 \end{align}\)

Schritt 2: Verwende die quadratische Ergänzung

Für die quadratische Ergänzung schaust du dir nur den Term \(x^2+6x\) an. Damit der rechte Summand (\(6x\)) wie der mittlere Teil einer binomischen Formel aussieht, muss in diesem der Faktor \(2\) stehen.

\(x^2+6x=x^2+2\cdot\color{green}{3}x\)

Das heißt, du ergänzt quadratisch mit \(\color{green}{3}^2-\color{green}{3}^2=9-9\):

\(\begin{align} g(x)&=2\cdot(x^2+6x\color{green}{+0})+14\\ &=2\cdot(x^2+6x\color{green}{+9-9})+14 \end{align}\)

Schritt 3: Schreibe die Funktion mit einer binomischen Formel

Der Term \(x^2+6x+9\) kann mithilfe der 1. binomischen Formel zu \((x+2)^2\) faktorisiert werden. Vereinfache den Funktionsterm und du erhältst die Scheitelpunktform:

\(\begin{align} g(x)&=2\cdot(\color{green}{x^2+6x+9}-9)+14\\ &=2\cdot (\color{green}{(x+3)^2}-9)+14\\ &=2(x+3)^2-18+14\\ &=2(x+3)^2-4\end{align}\)

Lösung

a) Die Normalform der Funktionsgleichung lautet:
\(f(x)=3x^2-24x+43\)

b) Die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung lautet:
\(g(x) = 2(x+3)^2-4\)