Ungleichungen

Was du wissen musst

• Wie löst man Ungleichungen?

  Ungleichungen kannst du im Grunde genommen wie Gleichungen lösen, wenn du eine zusätzliche Regel beachtest: Wenn du beide Seiten der Ungleichung durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer negativen Zahl multiplizierst, dann musst du das Vergleichszeichen umdrehen. 

  Das bedeutet, wenn du bei einem Umformungsschritt durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer negativen Zahl multiplizierst, wird aus \(<\) ein \(>\) und umgekehrt. Und aus \(\leq\) wird \(\geq\) und umgekehrt. Ansonsten funktioniert es genauso wie das Lösen von Gleichungen. 

  Bei Gleichungen enthält die Lösungsmenge oft nur einen bestimmten Wert. Bei Ungleichungen ist die Lösungsmenge oft viel größer, da die Lösungsmenge häufig einen bestimmten Bereich abdeckt. Das kannst du erkennen, wenn du eine Gleichung und eine Ungleichung grafisch löst. Bei Gleichungen kann die Lösung nur direkt auf der Funktion liegen. Bei Ungleichungen ist eine ganze Fläche die Lösungsmenge. 

• Wie löst man Ungleichungen grafisch?

  Ungleichungen kannst du wie Gleichungen nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch lösen. Dazu bringst du sie in die gewohnte Form, indem du sie nach \(y\) umstellst. Durch das Erstellen einer Wertetabelle kannst du sie dann in ein Koordinatensystem einzeichnen.

  Das Vergleichszeichen zeigt dir dann, ob die Fläche über oder unter deiner Funktion die Lösungsmenge ist. Wenn \(y \) kleiner als die andere Seite der Ungleichung sein soll, dann ist die Fläche unter der Funktion die Lösung. Wenn \(y\) größer als die andere Seite der Ungleichung sein soll, dann ist die Fläche über der Funktion die Lösung.

  Achte darauf, dass bei einem \(\leq\) oder \(\geq\) auch die Punkte auf der Funktion zur Lösungsmenge gehören, während bei einem \(<\) oder \(>\) nur die Fläche unter oder über der Funktion zur Lösungsmenge gehört. 

• Was muss man beim Umstellen von Ungleichungen beachten?

  Im Gegensatz zum Umstellen von Gleichungen musst du beim Umstellen von Ungleichungen nur eine weitere Regel beachten: Wenn du beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder oder durch sie dividierst, musst du \(<\) gegen \(>\) und \(\leq\) gegen \(\geq\) austauschen. 

  Das kann zum Beispiel so aussehen:

  \(\begin{align} 4-4x&<8&&|-4 \\-4x&<4&&|:(-4) \\x&>-1 \end{align}\)

  Bei einigen Rechenoperationen musst du an eine Fallunterscheidung denken – zum Beispiel beim Rechnen mit Betragsungleichungen. 

• Wann muss man mit Fallunterscheidungen rechnen?

  Um manche Ungleichungen zu lösen, musst du eine Fallunterscheidung machen. Grundsätzlich treten unterschiedliche Fälle an denselben Stellen wie bei normalen Gleichungen auf. Der große Unterschied findet sich erst in der Lösungsmenge.

  Beispielsweise musst du bei Betragsungleichungen eine Fallunterscheidung für den Betragsterm machen. Die Lösungsmenge bei Ungleichungen beschreibt oft einen bestimmten Bereich, in dem die Lösung liegen kann. Auch bei quadratischen Ungleichungen kann es zu Fallunterscheidungen kommen. Schließlich entstehen dabei häufig zwei Lösungen. 

• Wie stellt man lineare Ungleichungen auf?

  Eine lineare Ungleichung stellst du fast genauso wie eine lineare Gleichung auf – mit dem Unterschied, dass du eine Ober- oder Untergrenze festlegst. Das bedeutet, dass du das Gleichheitszeichen durch ein anderes Vergleichszeichen ersetzt. 

  Beispiel

  Eine Tafel Schokolade kostet \(0{,}50\,€\). Um zum Schokoladenladen zu kommen, musst du dir eine Fahrkarte für \(1{,}50\,€\) kaufen. Wie viele Tafeln Schokolade kannst du dir kaufen, wenn du insgesamt nicht mehr als \(10\,€\) ausgeben möchtest?

  Zuerst stellst du wie gewohnt eine lineare Gleichung auf, die die Kosten für die Schokolade \(y\) in Abhängigkeit von der Menge der Tafeln \(x\) beschreibt: 

  \(y=0{,}5x+1{,}5\)

  Dann überlegst du dir, wie du die Obergrenze für die Kosten der Schokolade beschreiben kannst. Da du nicht mehr als \(10\,€\) ausgeben möchtest, müssen die Kosten für die Schokolade kleiner oder gleich \(10\,€\) sein. Damit erhältst du folgende Ungleichung: 

  \(10\geq0{,}5x+1{,}5\)

  Und schon hast du eine lineare Ungleichung aufgestellt, mit der du berechnen kannst, wie viele Tafeln Schokolade du dir kaufen kannst.