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  • Parabel (Mathematik)

    Die Parabel tritt in der Schulmathematik am häufigsten als Funktionsgraph der quadratischen Funktion y = ax2 + bx + c auf. Mit a = 1 und b = c = 0, also bei der Funktion y = x2, heißt der Graph Normalparabel oder Einheitsparabel. Diese letztere Bezeichnung erfolgt in Analogie zu den Begriffen Einheitskreis (Kreis mit Radius r = 1) oder Einheitsquadrat (Quadrat mit Seitenlänge a = 1). So wie es „nur eine'“ Kreisform oder Quadratform gibt, gibt es auch '„nur eine“ Parabelform. Ein typischer Aufgabentyp ist die Bestimmung von Parabeln bei vorgegebenen Parameterwerten, etwa wenn die Parabel durch...

  • Parallelepiped

    Ein Parallelepiped, Parallelflach oder Spat ist ein (im Allgemeinen schiefes) Prisma, dessen Grund- und Deckfläche Parallelogramme sind. Wenn alle sechs Seitenfläche kongruent sind, heißt der Körper Rhomboeder. In der Analytischen Geometrie ist ein Parallelepiped der von drei linear unabhängigen Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\) aufgespannte Körper. Sein Volumen lässt sich nach der Prismen-Formel „Grundfläche mal Höhe“ berechnen, V = G · hG. In der Analytischen Geometrie berechnet man dieses Volumen als den Betrag des Spatprodukts der drei Vektoren: \(V = \left| \left( \vec a...

  • Parallelität

    Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie entweder keinen gemeinsamen Punkt haben oder aber identisch sind. Zwei Strecken oder Halbgeraden sind parallel, wenn die Geraden, zu denen sie gehören, parallel sind. Man schreibt, wenn die Geraden g und h parallel sind, \(g \parallel h\). Dies gilt allerdings nur auf nicht gekrümmten Flächen: Auf einer Kugeloberfläche wie etwa der Erdoberfläche schneiden sich alle Geraden! In der Analytischen Geometrie kann man Geraden durch Vektorgleichungen darstellen. Bei parallelen Geraden ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ihrer Richtungsvektoren gleich 0. Man...

  • Parallelogramm

    Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem sich gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind (daher der Name). Dies ist nur möglich, wenn die parallelen Seitenpaare auch jeweils gleich lang sind. Ein Parallelogramm hat die folgenden weiteren Eigenschaften: Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°. Die Diagonalen halbieren sich. Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch bezüglich des Diagonalenschnittpunkts, es hat aber keine Achsensymmetrie. ​Schneidet man ein Parallelogramm entlang der Höhe über einer Seite in zwei Teile, so lassen sich...

  • Parameterform

    Die Parameterform ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Dabei ist in der Regel ein Punkt bekannt, der Aufpunkt, sowie ein Richtungsvektor der gesuchten Geraden bzw. zwei Spannvektoren der gesuchten Ebene. Man sagt daher manchmal auch „Punkt-Richtungs-Form“ zu dieser Darstellung. Man kann eine Ebenengleichung in Parameterform relativ einfach in die Koordinatenform umwandeln (für Geraden funktioniert das ganz ähnlich, nur mit einer Komponente weniger). Beispiel: Eine Gerade g wird beschrieben durch den Aufpunkt A, zu dessen Ortsvektor \(\vec a\), zu...

  • Parameterfunktionen

    Unter Parameterfunktionen versteht man in der Analysis Funktionen, in deren Funktionsterm außer der unabhängigen Variablen noch ein oder mehrere konstante Parameter auftreten. Variiert man solch einen Parameter, erhält man eine Menge von miteinander verwandten Funktionen, die man als Funktionenschar bezeichnet, ihre Graphen heißen zusammengenommen auch Kurvenschar. Wenn alle Scharfunktionen lineare Funktionen sind, nennt man die Menge ihrer Graphen auch eine Geradenschar (die sich auch mit den Mitteln der Analytischen Geometrie untersuchen ließe). Beispiel: Die Funktionenschar y = x2 + c...

  • Partialbruchzerlegung

    Die Partialbruchzerlegung ermöglicht es, das Integrieren von gebrochenrationale Funktionen auf Integrale von Standardfunktionen zurückzuführen. Man formt dabei den Funktionsterm so um, dass aus dem beliebig komplizierten Quotienten zweier Polynomfunktionen eine Summe aus möglicherweise vielen, aber dafür einfachen Summanden wird. (Im allgemeinen Fall sieht das zunächst etwas unübersichtlich aus, das anschließende Beispiel ist dann aber wieder ganz gut überschaubar!) \(\displaystyle f(x) = \frac{ Z(x) }{N(x)} = P(x) + \sum \text{Polstellen-Terme} + \sum \text{Quadratfaktor-Terme}\) \(...

  • Partielle Integration

    Die partielle Integration ist als Integrationsverfahren die „Umkehrung“ der Produktregel beim Ableiten. Sie beruht auf folgender Überlegung: Sind die Funktionen u und \(v\) im Intervall [a; b] differenzierbar, so ist auch die zusammengesetzte Funktion \(f = u \cdot v\) in [a; b] differenzierbar, und es gilt nach der Produktregel für alle \(x \in [a; b]\): \(\displaystyle f' (x) = [u (x) \cdot v (x)]' = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)\). \(\Rightarrow \ \ \displaystyle \int_a^b\! f'(x)\, \text dx = \int_a^b\! u' (x) \cdot v (x)\,\text dx + \int_a^b\! u (x) \cdot v' (x)\,\text dx\) \(...

  • Pascalsches Dreieck

    Das Pascalsche Dreieck (nach Blaise Pascal, 1623–1663) ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) (k = 0, 1, …, n) einer binomischen Formel (a + b)n der Ordnung n. \(\large\begin{matrix}n=0\\\\1\\\\2\\\\3\\\\4\\\\5\\\\\small\text{usw.}\end{matrix}\) \(\large\begin{matrix} 1\\\\ 1\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;2\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;3\;\;\;\;3\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;4\;\;\;\;6\;\;\;\;4\;\;\;\;1\\\\\ 1\;\;\;\;5\;\;\;\;10\;\;\;\;10\;\;\;\;5\;\;\;\;1\\\\\small\text{usw.}\end{matrix}\) Es gibt eine einfache Konstruktionsregel: Ganz links und ganz rechts...

  • Passante

    Eine Passante ist eine Gerade, die mit einem gegebenen Kreis keinen gemeinsamen Punkt hat (ihn also „passiert“, ohne ihn zu berühren). In der Skizze ist die Gerade p eine Passante. t ist eine Tangente (genau ein Berührpunkt), s ist eine Sekante (zwei Schnittpunkte).

  • Periode (Dezimalzahlen)

    Periodische Dezimalzahlen sind rationale Zahlen, in deren Nenner nicht nur die Primfaktoren 2 und 5 stehen, also keine Dezimalbrüche sind. Bei ihnen wiederholt sich ab einer bestimmten Stelle hinter dem Komma eine Ziffer oder Ziffernfolge immer weiter bis ins Unendliche. Diese wird dann mit einem Überstrich notiert. Beispiele: \(\dfrac1 3 = 0,333.333.333\ldots = 0,\bar 3\) (lies: „0 Komma Periode 3“) \(\dfrac9 7 = 1,285.714.285714.285.714\ldots = 1,\overline{285714}\) (lies: „1 Komma Periode 285714“) Achtung: Im zweiten Beispiel sollte man auf keinen Fall „1 Komma 285714 Periode“, wie es ab...

  • Periodische Funktionen

    Eine Funktion \(f\!: x \mapsto f(x) \ \ (x\in D_f)\) heißt periodisch, wenn es eine von 0 verschiedene Zahl p gibt, sodass für alle \(x\in D_f\) gilt: Mit x ist auch x + p in Df und es ist f(x + p) = f(x). p ist dann die Periode dieser Funktion. Beachte: Wenn es eine Periode p gibt, dann hat die entsprechende Funktion gleich unendliche viele Perioden, denn jede Zahl k · p mit \(k \in \mathbb{Z}\) erfüllt die Periodizitätsbedingung genauso. Jede periodische Funktion besitzt somit unendlich viele Perioden. Meist gibt man zu einer Funktion ihre kleinste positive Periode an. Beispiel: \(f:x...

  • Permutationen

    Unter einer Permutation versteht man allgemein das Vertauschen von in einer bestimmten Reihenfolge angeordneten Zahlen, Elementen oder Ähnlichem. So sind z. B. die geordneten Tripel (1; 3; 5), (3; 1; 5) und (5; 3; 1) jeweils Permutationen voneinander. (Man kann übrigens Permutationen auch als Variationen für den Fall k = n ansehen.) In der Kombinatorik möchte man wissen, wie viele Permutationen es für n Elemente einer Menge gibt. Dabei unterscheidet man, ob alle n Elemente verschieden und unterscheidbar sind oder ob es identische, ununterscheidbare Elemente gibt. Man sagt im ersten Fall auch...

  • Pfadregeln

    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung zwei hilfreiche Regeln, um in einem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen: Die Produktregel (der Multiplikations- oder Produktsatz) besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten auf dem Pfad zu diesem Ergebnis ist. Die Additionsregel (der Additions- oder Summensatz) sagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe aller einzelnen Ergebniswahrscheinlichkeiten auf dieser Stufe des Baumdiagramm ist. Beispiel: Aus einer Urne...

  • Platonische Körper

    Platonische Körper (nach dem Philosophen Plato) sind, mit Ausnahme der Kugel, die Körper mit den meisten Symmetrien. Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, bei denen alle Seitenflächen kongruent sind. Es gibt insgesamt fünf platonische Körper: Tetraeder: vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen Hexaeder bzw. Würfel: sechs Quadrate als Seitenflächen Oktaeder: acht gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen Dodekaeder: zwölf regelmäßige Fünfecke als Seitenflächen Ikosaeder: zwanzig gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen

  • Polarkoordinaten

    Statt durch kartesische Koordinaten kann die Lage eines Punkts im Koordinatensystem auch durch Polarkoordinaten angegeben werden. Deren Komponenten sind der Abstand r vom Ursprung und der Winkel \(\varphi\), den sein Ortsvektor mit der waagerechten Koordinatenachse (x-Achse bzw. x1-Achse) bildet. Dabei ist r eine nicht negative reelle Zahl und \(\varphi\) ein Winkel zwischen 0° und 360°, im Bogenmaß zwischen 0 und \(2\pi\). Für die kartesischen Koordinaten des Punkts P(P1|P2) gilt: \(P_1 = r \cdot \cos \varphi\) \(P_2 = r \cdot \sin \varphi\) Das dreidimensionale Gegenstück zu den...

  • Polstellen

    Eine Polstelle (auch: ein Pol, eine Unendlichkeitsstelle) ist ein x-Wert, bei dem der Graph einer Funktion eine senkrechte (vertikale) Asymptote hat, also der Funktionswert gegen\(\pm\infty\) divergiert. An dieser Stelle ist die Funktion daher nicht definiert, weswegen man auch von einer Definitionslücke spricht. Allerdings gibt es auch sog. hebbare Definitionslücken, die sich stetig schließen lassen (siehe unten). Polstellen können vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen von der Form \(\displaystyle f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}\) auftreten, und zwar dann, wenn für ein bestimmtes x = x0 das...

  • Polyeder

    Ein Polyeder (griech., wörtlich „Vielflächner“) ist ein Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Flächen besteht. Normalerweise geht man davon aus, dass alle Kanten gerade Linien sind, in diesem Fall setzt sich die Oberfläche aus Polygonen (Vielecken) zusammen. Bekannte Beispiele für Polyeder sind Pyramiden, Prismen oder der Würfel und die anderen vier platonischen Körper. Man unterteilt Polyeder in konkave (mit „Einstülpungen“ und möglicherweise auch Löchern) und konvexe Polyeder (ohne „Einstülpungen“ und Löcher, wie bei Würfel oder Pyramide). Interessanterweise gilt für alle konvexen Polyeder...

  • Polygon (Vieleck)

    Ein Polygon (andere Namen: Vieleck oder n-Eck) ist eine ebene, geschlossene, gradlinig begrenzte Figur. Dabei werden die Ecken mit Großbuchstaben bezeichnet, und zwar immer gegen den Uhrzeigersinn (im mathematisch positiven Drehsinn)! Setzt man für n verschiedene Zahlen ein, erhält man die Polygone Dreieck (n = 3), Viereck (n = 4), Fünfeck (Pentagon, n = 5), Sechseck (Hexagon, n = 6), Achteck (Oktagon, n = 8) usw. Man unterscheidet konvexe und konkave Polygone, je nachdem, ob alle Verbindungslinien von zwei Punkten des Polygons innerhalb der Figur liegen oder nicht. Polygone können...

  • Polynomdivision

    Die Polynomdivision ist ein Rechenverfahren bzw. eine Termumformung, bei der ein Bruchterm, genauer gesagt der Quotient aus zwei Polynomen in eine Summe aus zwei Termen umgeformt wird, und zwar einem einfacheren Polynom und ggf. einem einfacheren Bruchterm: \(\dfrac{Z(x)}{N(x)} = Z(x) : N(x) = Q(x) \ \left[+ \dfrac{r(x)}{N(x)} \right]\) Dabei sind Z(x) das Zähler und N(x) das Nennerpolynom bzw. Dividend und Divisor, Q(x) das „Ergebnis“ (der Quotient) und r(x) das Restpolynom. Diese Bezeichnung kommt daher, dass man auch schreiben kann: \(Z(x) = Q(x) \cdot N(x) \ \left[+ r(x)\right]\) Man geht...

  • Polynome

    Einen Term der Form \(P_n (x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{1}x + a_0\) mit \(n \in \mathbb N\), \(a_0, \ a_1, \ldots, \ a_{n-1} \in \mathbb R\) und \(a_n \in \mathbb R\!\setminus\! \{0\}\) nennt man ein Polynom vom Grad n (n-ten Grades). Eine Funktion, deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion. Eine gebrochenrationale Funktion hat als Funktionsterm einen Bruch mit je einem Polynom in Zähler und Nenner. Setzt man ein Polynom gleich null, erhält man eine Polynomgleichung der Form Pn(x) = 0. Man kann Polynome miteinander...

  • Polynomfunktionen

    Der Ausdruck Polynomfunktion ist eine andere Bezeichnung für ganzrationale Funktionen. Der Name kommt daher, dass der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ein Polynom in der unabhängigen Variablen (meistens x) ist.

  • Polynomfunktionen zu vorgegebenen Bedingungen

    Sind über den Verlauf einer Polynomfunktion (ganzrationalen Funktion) eine Anzahl von Bedingungen z. B. über Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen vorgegeben, so lässt sich damit ein Satz von Gleichungen aufstellen, aus denen der Term der Polynomfunktion ermittelt werden kann. Es gilt dabei: Zur Bestimmung der n + 1 Koeffizienten des Terms einer Polynomfunktion n-ten Grades sind n + 1 Bedingungen nötig. Allgemeines Vorgehen: Setze den Funktionsterm mit variablen Koeffizienten an. Als Koeffizientenvariablen verwendet man dabei aus Gründen der Vereinfachung \(a, b, c, ...\) anstelle von \...

  • Polynomgleichungen

    Eine Gleichung, die sich als ein Polynom, also in der Form \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\) mit \(a_0,\, a_1\,a_2,\, a_3,\,\ldots,\,a_{n-1}\in \mathbb R\) und \(a_n \in \mathbb R\!\setminus\!\{0\}\) schreiben lässt, nennt man eine Polynomgleichung. Wie bei Polynomen und Polynomfunktionen nennt man die Zahl n den Grad der Gleichung. Das Lösen einer Polynomgleichung ist gleichbedeutend mit dem Bestimmen der Nullstelle(n) einer Polynomfunktion. Jede Polynomgleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen. Für Polynomgleichungen kleinen Grades gibt es spezielle Bezeichnungen...

  • Potenzen

    Ein Produkt aus n gleichen reellen Faktoren a heißt Potenz an (sprich: „a hoch n“). Man sagt: a wird mit n potenziert. Die Zahl a wiederum heißt auch Basis oder Grundzahl, die Zahl n ist der Exponent bzw. die Hochzahl. Weiter wird festgelegt: a1 = a (\(a \in \mathbb{R}\)) und a0 = a (\(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\)) Achtung: Der Ausdruck „00“ ist mathematisch nicht sinnvoll zu definieren und sollte deshalb unbedingt vermieden werden! Beispiele: \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) \(\left ( \dfrac{3}{5} \right )^4=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\cdot3...

  • Potenzfunktionen

    Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, deren Funktionsterm ein Potenzausdruck ist: \(f\!: x \mapsto x^r \ \ (r \in \mathbb R)\) Die Eigenschaften der Potenzfunktionen hängen davon ab, ob der Exponent tatsächlich aus ganz r gewählt wird, oder ob man sich auf natürliche, ganzzahlig negative oder rationale Exponenten beschränkt (und werden deshalb in den jeweiligen Lexikoneinträgen behandelt). Potenzfunktionen mit einem Stammbruch im Exponenten sind die Wurzelfunktionen: \(f(x) = x^{1/n} \equiv \sqrt[n]{x}\) Die Funktionsgraphen der Potenzfunktionen sind entweder verallgemeinerte Parabeln...

  • Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

    Eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten hat die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^n \ \ (n \in \mathbb N)\) Ihr Funktionsgraph ist eine Parabel n-ter Ordnung, für n = 2 die Normalparabel. Die (maximale) Definitionsmenge ist \(D_f = \mathbb R\), der Wertebereich hängt von n ab: Bei geradem n ist \(W_f = \mathbb R_0^+\), bei ungeradem n ist \(W_f = \mathbb R\). Die Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist ein Spezialfall einer ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion), bei der alle Koeffizienten außer einem null sind und dieser eine Koeffizient an = 1 ist. Weitere Eigenschaften Der...

  • Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

    Eine Potenzfunktion mit ganzzahlig negativem Exponenten ist definiert als \(\displaystyle f\!: \mathbb R \setminus {0} \rightarrow \mathbb R \setminus {0}, \ \ x\mapsto x^{-n} \equiv \frac 1 {x^n} \ \ (n \in \mathbb N)\) Manchmal sagt man auch „Hyperbelfunktion“ zu diesen Funktionen, dies ist aber missverständlich, da dies die Bezeichnung für die Funktionen Sinus hyperbolikus, Kosinus hyperbolikus und Tangens hyperbolikus ist (die allerdings in der Schule nur selten drankommen). Diese Sprechweise ist allerdings insofern verständlich, als dass für n = 1 der Funktionsgraph eine Hyperbel ist. Bei...

  • Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

    Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten hat die Form \(f\!: x \mapsto f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \ \ (m \in \mathbb Z, \ n \in \mathbb N)\) Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen wesentlich davon ab, ob der Exponent insgesamt positiv oder negativ ist: \(\dfrac m n >0\) \(\dfrac m n < 0\) (maximale) Definitionsmenge \(D_f = \mathbb R_0^+\) \(D_f = \mathbb R^+\) Wertemenge \(W_f = \mathbb R_0^+\) \(W_f = \mathbb R^+\) Funktionsgraph Parabel \(\dfrac m n\)-ter Ordnung Hyperbel \(\dfrac m n\)-ter Ordnung Nullstelle x = 0 (im Urpsrung) keine Monotonie in ganz Df streng monoton...

  • Potenzgesetze

    Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechengesetze: Vorrangregel: Potenzen werden zuerst berechnet („Potenz vor Punkt vor Strich“): Beispiel: \(4+5^3\cdot6=4+125\cdot6=4+750=754\) Achtung: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind: Beispiele: \(5\cdot2^6+4\cdot2^6=9\cdot2^6=9\cdot64=576\) Der Ausdruck \(6\cdot5^2+2\cdot3^4\) kann nicht zusammengefasst werden! Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und die Exponenten beibehält: an · bn = (a · b)n für alle \(a, b \in \mathbb R, \ n...

  • Potenzgleichungen

    Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung, bei welcher die Variable als Basis einer Potenz auftritt. Im weiteren Sinn fallen darunter auch Gleichungen, in denen verschiedene Potenzen derselben Variablen auftauchen (z. B. Polynomgleichungen) oder auch Gleichungen mit mehreren Variablen in mehreren Potenzen. Im eigentlich Sinn hat eine Potenzgleichung aber die Form: \(x^r = c \ \ (c \in \mathbb R)\) mit einer additiven Konstante c. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, kann man die folgenden Fälle unterscheiden: r ist 0: dies bedeutet 1 = c und ist gar keine Gleichung in x mehr, diesen langweiligen...

  • Potenzregel (Analysis)

    Die Potenzregel ist zum einen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen: \(f(x) = x^r \ \ \Rightarrow \ \ f'(r) = r \cdot x^{r-1}\) Dabei sind nicht nur natürliche Exponenten, sondern auch rationale und reelle erlaubt, also \(r \in \mathbb R\). Zum anderen gilt eine entsprechende Regel für das Integrieren, also das Auffinden einer Stammfunktion für Potenzfunktionen: \(\displaystyle \int x^r \text dx = \frac 1 {r+1} x^{r+1} + C\) (C ist die Integrationskonstante).

  • pq-Formel

    Die pq-Formel ist eine Alternative zur Mitternachtsformel, wenn die zu lösende quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, d. h. als 0 = x2 + px + q. Man kommt auf die Formel, indem man die Gleichung mithilfe einer sog. quadratischen Ergänzung umformt. 1. „Null addieren": \(\displaystyle \Leftrightarrow \left (x^2+ px+ \left (\frac{p}{2} \right )^2- \left (\frac{p}{2} \right )^2 + q = 0 \right )\) 2. Erste binomische Formel rückwärts anwenden und zusammenfassen:\(\displaystyle \Leftrightarrow \left ( x+ \frac{p}{2} \right )^2- \left[ \left(\frac p 2\right)^2 - q \right] = 0\) 3...

  • Primfaktorzerlegung

    Man kann jede natürliche Zahl als ein Produkt aus Primzahlen (bzw. Potenzen von Primzahlen) zerlegen, diese Operation nennt man Primfaktorzerlegung. Beispiele: 6 = 2 · 3 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 22 · 3 · 7 111 = 3 · 37 2940 = 22 · 3 · 5 · 72 96.320.367.000 = 23 · 33 · 53 · 11 · 132 · 19 · 101 Es gibt, außer Ausprobieren, kein sicheres allgemeines Verfahren für eine Primfaktorzerlegung, und bei großen Zahlen dauert das Ausprobieren unvorstellbar lange.

  • Primzahlen

    Eine natürliche Zahl n > 1, die nur durch die 1 und sich selbst teilbar ist, nennt man eine Primzahl. Die ersten Primzahlen sind: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; 101; 103; 107; … Interessantes über Primzahlen: Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Man kann jede natürliche Zahl in ein Produkt aus Primzahlen (oder deren Potenzen) zerlegen. Diese sog. Primfaktorzerlegung ist eindeutig bestimmt. Man weiß nicht, ob sich jede gerade natürliche Zahl > 2 als Summe von zwei Primzahlen schreiben...

  • Prisma

    Ein Prisma (griech., wörtlich „das Zersägte“) ist ein Polyeder mit zwei kongruenten und parallelen Polygonen. Diese Polygone heißen Grund- und Deckfläche, das Prisma entsteht also, indem die beiden Polygone erst aufeinander gelegt und dann entlang einer Geraden auseinandergezogen werden. Beim geraden Prisma stehen alle Seitenflächen senkrecht auf Grund- und Deckfläche, die Seiten sind dann Rechtecke. Auch Quader sind gerade Prismen, bei ihnen sind auch Grund- und Deckfläche Rechtecke. Beim schiefen Prisma (Schiefprisma) sind die Seitenflächen Parallelogramme und stehen nicht alle senkrecht zur...

  • Probe

    Eine Probe oder Rechenprobe ist allgemein die Überprüfung eines mathematischen Ergebnisses auf einem anderen Rechenweg. Speziell bei Gleichungen bedeutet die Rechenprobe, dass man die gefundene(n) Lösung(en) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, um zu sehen, ob sie diese auch wirklich erfüllen. Achtung: Auch bei Ergebnissen, die man mit dem Taschenrechner oder sonstigen elektronischen Hilfsmitteln erhalten hat, empfiehlt eine zumindest überschlagsmäßige Probe – man kann sich immer vertippt haben!

  • Produktregel (Pfadregeln)

    Eine der beiden Pfadregeln für Baumdiagramme (meist wird die Produkt- bzw. Multiplikationsregel als die erste Pfadregel bezeichnet). Die Produktregel ist die „vertikale“ Pfadregel, denn sie betrifft einen Pfad von „oben“ (erste Verzweigung) bis nach „unten“ (Ergebnis auf einer unteren bzw. auf der untersten Stufe) im Baumdiagramm des untersuchten mehrstufigen Zufallsexperiments. Beispiel: In einer Lieferung befinden sich Fliesen, davon sind 80 % sind „1. Wahl“ und 20 % „2. Wahl“ (erste Stufe). Eine automatische Kontrolle soll Fliesen 2. Wahl aussortieren, dies geschieht bei 1.-Wahl-Fliesen...

  • Prognose

    In der beurteilenden Statistik ist eine Prognose die Schätzung eines Parameters aufgrund der bekannten Werte einer Stichprobe. Dabei ist es möglich, Maßzahlen für die Güte der Prognose zu erhalten, sodass man beurteilen kann, wie zuverlässig die gemachte Prognose ist. Auch in der Analysis spricht man manchmal von Prognosen, wenn eine Entwicklung, z. B. eine Bevölkerungszahl oder ein Kontostand, mit einer Zeitfunktion modelliert und auf diese Weise ein „zukünftiger“ Funktionswert berechnet wird.

  • Proportionale Zuordnung

    Bei einer proportionalen Zuordnung sind Ausgangsgröße x und zugeordnete Größe y (unabhängige und abhängige) quotientengleich. Das bedeutet, dass das Verhältnis bzw. der Quotient aus beiden Größen immer gleich groß ist, z. B. gleich einer Konstanten k: \(\displaystyle \frac x y = k\) bzw. \(\displaystyle \frac y x = k' = \frac 1 k\) Wenn also die eine Größe verdoppelt wird, wird die andere ebenfalls verdoppelt, halbiert sich die eine Größe, wird die andere auch halbiert usw. Die konstante Zahl k nennt man den Proportionalitätsfaktor. Beispiel: Ein einfaches Beispiel kommt vom Einkaufen – jede...

  • Prozentrechnung

    Die Prozentrechnung behandelt die Angabe von relativen Anteilen als Prozentsätze sowie mit der Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von solchen Anteilen. Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet: \(\dfrac W G = p\, \% \equiv \dfrac p {100} \ \ \Leftrightarrow \ \ W= p\, \% \cdot G \equiv \dfrac {p \cdot G}{100} \ \ \Leftrightarrow \ \ G = \dfrac W {p\, \%} \equiv 100 \cdot \dfrac W p\) Dabei sind G der Grundwert (die Bezugsgröße oder Gesamtmenge) und W der Prozentwert (die interessierende Menge in absoluten Zahlen). Beispiel: In der Klasse 6a fahren von G = 25...

  • Prozentsatz

    Ein Prozentsatz ist eine besondere Form, relative Anteile an irgendetwas darzustellen – nämlich als die Zahl der Hundertstel von diesem „irgendwas“, ergänzt um das Prozentzeichen %. Anmerkung: „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet wörtlich „von Hundert“, man findet in alten Texten auch noch die Abkürzung v. H. anstelle des Prozentzeichens). Beispiel: Genau die Hälfte einer Schulklasse besteht aus 12 Jahre alten Kindern. Ein Halbes sind \(\dfrac {50}{100}\), also sind 50 % der Kinder 12 Jahre alt. Der Prozentsatz p % taucht auch in der Grundgleichung der Prozentrechnung auf: \(...

  • Prozentwert

    In der Prozentrechnung ist der Prozentwert W der gerade betrachtete Anteil (in absoluten Zahlen) an einer Gesamtmenge, die man den Grundwert G nennt. Der relative Anteil bzw. der Bruchteil, den W von G darstellt, ist der Prozentsatz p %: \(\dfrac W G = p\, \%\) Beispiel: In einer Tüte sind G = 80 Gummibärchen. Davon hat der kleine Bruder W = 24 aufgegessen. Es ist also ein prozentualer Anteil von \(\dfrac W G = \dfrac {24}{80} = 0,3 = 30\, \%\) nicht dort gelandet, wo ich es haben wollte.

  • Punkt

    Ein Punkt ist in gewissen Weise etwas, das es gar nicht gibt: Ein unendlich kleines Objekt ohne Länge, Höhe, Breite, Gewicht oder irgendwelche anderen Eigenschaften. Genauer gesagt gibt es Punkte nur in der Mathematik bzw. der Geometrie. Ein Punkt ist dort ein Ort, den man durch die Zahlenwerte seiner Koordinaten eindeutig angeben kann. Im zweidimensionalen Koordinatensystem („Achsenkreuz“) reichen dafür zwei Zahlen aus, der x- und der y-Wert. In drei Dimensionen braucht man entsprechend drei Werte. Der Vektor, der vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt zeigt, ist der Ortsvektor dieses Punkts...

  • Punktdiagramm

    Statistische Diagramme, bei denen Wertepaare durch Punkte in einem Achsenkreuz dargestellt werden. Werden die Punkte durch eine Linie oder Kurve verbunden, erhält man ein Kurvendiagramm.

  • Punktprobe

    Eine Punktprobe klärt in der Analytischen Geometrie die Frage, ob ein bestimmter Punkt auf einer Geraden oder in einer Ebene liegt. Dies lässt sich relativ leicht beantworten, indem man die Koordinaten des Punkts in die Geraden- bzw. Ebenengleichung einsetzt. Beispiel: Ebenengleichung in Koordinatenform: P(3|–1,5|2), E: x + 2y = 0 Einsetzen: 3 – 2 · 1,5 = 3 – 3 = 0. Dies ist eine wahre Aussage, also liegt P in der Ebene E. In der Analysis spricht man manchmal auch von einer Punktprobe, wenn geprüft werden soll, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt.

  • Punktspiegelung

    Eine Punktspiegelung ist eine eineindeutige geometrische Abbildung in der Ebene oder im Raum. Man kann sie auf zwei Weisen betrachten: entweder als Spiegelung an einem Punkt Z, dem Spiegelzentrum. Für jeden abgebildeten Punkt P (z. B. jede Ecke eines Dreiecks) liegt das Spiegelbild, d. h. das Abbild unter dieser Punktspiegelung, auf einer Geraden durch P und Z, und zwar im selben Abstand, jedoch auf der anderen Seite (siehe Grafik). oder als eine Drehung um den Punkt Z, und zwar um den gestreckten Winkel 180° (im Bogenmaß: \(\pi\)). Formal kann man eine Punktspiegelung an Z so definieren, dass...

  • Punktsymmetrie

    Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie bei einer Punktspiegelung auf sich selbst abgebildet wird. Es gibt dann also einen besonderen Punkt, das Spiegelzentrum, in Bezug auf den sich immer zwei Punkte der Figur exakt gegenüber befinden. Da eine Punktspiegelung dasselbe wie eine Drehung um 180° bedeutet, sind punktsymmetrische Figuren auch (zweizählig) drehsymmetrisch. Auch in drei Dimensionen kann man Punktspiegelungen und Punktsymmetrie betrachten. Beispiele: Die Buchstaben N, X, S sind punktsymmetrisch, die Buchstaben A, C, R sind es nicht. In der Analysis interessiert oft die...

  • Pyramide

    Eine Pyramide ist im Allgemeinen ein Polyeder, das aus einem Polygon, der sog. Grundfläche, besteht, dessen Ecken alle mit einem gemeinsamen Endpunkt, der Spitze der Pyramide, verbunden sind. Diese Verbindungslinien werden manchmal Seitenkanten oder Mantelinien genannt. Das Lot von der Spitze auf die Grundfläche ist die Höhe h der Pyramide. Die Seitenflächen sind alle Dreiecke. Zusammengenommen bilden die Seitenflächen die Mantelfläche. Man kann eine Pyramide auch als „eckigen Kegel“ auffassen; das Volumen einer beliebigen Pyramide berechnet sich nach der gleichen Faustformel wie beim Kegel:...