Mathematik Schülerlexikon

In der beschreibenden Statistik kann man Merkmalsausprägungen in Datenklassen (oder Kategorien ) zusammenfassen, um die Darstellung übersichtlicher oder besser handhabbar zu machen. Dies bietet sich z. B. dann an, wenn quantitative Messdaten sehr viele verschiedene Zahlenwerte aufweisen oder wenn qualitiative Daten durch das Zusammenfassen eine Ordinalskala bekommen. Ein Beispiel für den zweiten Fall wären Automarken, die nach ihrem Kraftstoffverbrauch in die Klassen „sparsames Ökoauto“, „Familienkutsche“ und „überdimensionierter Spezialschlitten“ eingeteilt werden.

Wenn eine Funktion für einen einzelnen x -Wert nicht definiert ist, bezeichnet man ihn als Definitionslücke . Meist handelt es sich dabei um eine Polstelle , es kann sich aber auch um eine sog. hebbare Lücke handeln (letztere werden ebenfalls bei den Polstellen behandelt).

Die Definitionsmenge bzw. der Definitionsbereich einer Funktion oder Gleichung enthält alle Zahlen, die – setzt man sie für eine Variable im Funktionsterm ein –, zu einem mathematisch definierten Ausdruck führen. Dies lässt sich leichter verstehen, wenn man sagt, welche Zahlen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein dürfen: Alles was dazu führt, dass durch null geteilt würde oder die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde. Man darf, aus welchen Gründen auch immer, die Definitionsmenge einer Funktion auch noch weiter als „mathematisch notwendig“ einschränken , etwa wenn man sich nur...

Die Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix auf zunächst etwas willkürlich scheinende, aber eindeutige Weise eine Zahl zuordnet. Das Besondere daran ist, dass man mithilfe der Determinante wichtige Informationen über die Matrix und ihre Spalten- bzw. Zeilenvektoren gewinnt. In zwei Dimensionen , also für die „ zweireihige “ Determinante einer 2×2-Matrix A , lautet die Definition: \(\det A = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \) In...

Dezimalbrüche sind Brüche , in deren Nenner eine Zehnerpotenz steht. Jeder Dezimalbruch durch eine abbrechende Dezimalzahl dargestellt. Beispiel: \(\dfrac 7 {10} = 0,7; \ \dfrac {394} {10.000} = 0,0394\) Kürzt man einen Dezimalbruch vollständig, dann hat der Bruch im Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5. Umgekehrt kann man jeden Bruch, in dessen Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, durch Erweitern in einen Dezimalbruch umwandeln und dann die Darstellung als Dezimalzahl direkt ablesen. Beispiel: \(\dfrac 3 8 = \dfrac {375} {1000} = 0,375\)

Dezimalzahlen sind grundsätzlich alle Zahlen, die im Stellensystem mit der Basis \(10\) (Dezimalsystem) aufgeschrieben werden. Das ist für die meisten in der Schule und im Alltag verwendeten Zahlen der Fall. Das heißt, im weiteren Sinne ist die Zahl \(-1{,}5\) ebenso eine Dezimalzahl wie \(2\) oder \(3{,}141.592.653.589.793\dots\) In vielen Schulbüchern werden Dezimalzahlen aber in einem engeren Sinne verwendet. Dort werden häufig nur Kommazahlen gemeint. Genau genommen werden Dezimalzahlen gemeint, die in Zifferndarstellung mindestens eine Stelle hinter dem Komma haben, die nicht \(0\) i...

Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Punkte in einem Viereck . oder einem Polygon ( Vieleck ). Im Viereck heißt die Diagonale zwischen den Punkten A und C gewöhnlich e , die zwischen B und D nennt man f . Punkte, in denen sich Diagonalen schneiden, nennt man Diagonalenschnittpunkte. In einem Polygon mit mehr als vier Ecken kann es mehrere Diagonalenschnitpunkte geben. In einem Rechteck oder Quadrat (das natürlich auch ein Rechteck ist) sind beide Diagonalen gleich lang und man kann ihre Länge mit dem Satz des Pythagoras ausrechenen: \(d = (e = f =) \sqrt{ a^2 + b^2}\) . Im Quadrat...

Wenn alle Einträge einer Matrix außer für i = j null sind, also wenn \(i \ne j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) , dann nennt man die Matrix eine Diagonalmatrix . Der Name kommt daher, dass nur in der von oben links nach unten rechts verlaufenden Diagonalen der Matrix von null verschiedene Einträge stehen. Beispiel: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) Wenn die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems (LGS) Diagonalform hat, kann man die Lösungen direkt ablesen, deswegen spielt das Diagonalisieren von Matrix in der Linearen Algebra eine große Rolle.

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_0 \in Df\) kann man sich bildlich als den Grenzwert der Sekantensteigungen vorstellen, wenn man den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten von Funktionsgraph und Sekante gegen null gehen lässt. Die Sekantensteigung m s ist definiert als \(m_\text s = \dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac {\Delta f(x)}{\Delta x}\) und wird als Differenzenquotient bezeichnet. Lässt man x gegen x 0 gehen, wird die Sekantensteigung zur Tangentensteigung m t , also zur Steigung der Tangente an G f im Punkt P 0 ( x 0 | f ( x 0 ) ) und der Differenzenquotient wird...

Man kann Funktionen f ( x ) und g ( x ) addieren, subtrahieren, multiplizieren oder (mit Einschränkungen) durcheinander teilen, indem man jeweils die Rechenoperation für jedes x einzeln ausführt – in diesem Sinne ist die Differenzfunktion von f ( x ) und g ( x ) die Funktion d ( x ) = f ( x ) – g ( x ). d ( x ) ist definiert, wenn f ( x ) und g ( x ) den gleichen Definitionsbereich haben oder wenn D f und D g zumindest eine Schnittmenge haben, die man dann als D d wählen kann. Die Differenzfunktion braucht man, wenn man die Fläche F zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen will. Diese ist...

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl eine Funktion als auch ihre Ableitung(en) vorkommen. Sie stellt also nicht eine Anforderung an eine bestimmte Zahl dar, welche die Lösung einer „normalen“ Gleichung ist, sondern an eine Funktion , für die eine bestimmte Beziehung zwischen ihr und ihrer Ableitung gelten soll. Deshalb sind die Lösungen von Differenzialgleichung immer Funktionen. Der allgemeine Fall einer Differenzialgleichung ist normalerweise kein Schulstoff (und wirklich kompliziert!). Es gibt aber, vor allem in der Physik, einfache Beispiele, an denen man zumindest...

Die Differenzialrechnung ist, einfach ausgedrückt, der Teil der Analysis , der sich mit Ableitungen von Funktionen beschäftigt. Die Bezeichnung kommt daher, dass die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion bei einem gegebenen x -Wert definiert ist. Die Differenzialrechnung ist ein mächtiges Instrument bei der Untersuchung von gegebenen Funktionen oder bei der mathematischen Modellierung von realen Sachverhalten durch Funktionen. Typische Aufgaben sind die Untersuchung von Funktionsgraphen im Achsenkreuz, die sog. Kurvendiskussion , das Aufstellen einer Polynomfunktion...

Eine Funktion ist an einer Stelle x 0 differenzierbar , wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existieren und übereinstimmen: \(\displaystyle \lim_{x \to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\) Beispiele: f ( x ) = x 2 ist an jeder Stelle x 0 differenzierbar, weil \(\displaystyle \lim_{x \to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0 = f'(x_0)\) f ( x ) = | x | ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar, weil \(\displaystyle...

Als Differenzvektor oder Verbindungsvektor zweier Punkte X und Y bezeichnet man die Differenz der Ortsvektoren , also den Vektor \(\vec z = \vec x - \vec y\) . Der Betrag des Differenzvektors ist der Abstand zwischen den Punkten X und Y . Anders als Ortsvektoren sind Differenzvektoren unabhängig von der Wahl des Koordinatenursprungs. Würde man den Ursprung z. B. um einen Vektor \(\vec d\) verschieben, würde für die Ortsvektoren von X und Y zwar \(\vec x' = \vec x + \vec d\) und \(\vec y' = \vec y + \vec d\) gelten, der Differenzvektor bliebe aber gleich: \(\vec z' = \vec x' - \vec y' = \vec...

In der Mitternachtsformel für die Lösung von quadratischen Gleichungen , \(\displaystyle x_{1; \ 2} =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , nennt man den Radikanden des Wurzelterms , D = b 2 – 4 ac , die Diskriminante (lat. „die Entscheidende“) der Gleichung. Dies liegt daran, dass dieser Term darüber bestimmt, ob die Gleichung zwei Lösungen, eine oder keine Lösung besitzt.

Bei der „Diskussion“ einer Funktion werden elementare Eigenschaften vor allem des Funktionsgraphen aus der Untersuchung der Terme der Funktion und der Ableitungen ermittelt. Beispiel \(f (x) = \frac{2x^2-4x+2}{x^2}=2+\frac{-4x+2}{x^2}=2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\) 1. Definitionsbereich \(D_f\) \(f (x) = \frac{2x^2-4x+2}{x^2} = \frac{u(x)}{v(x)}\) . \(f\) ist an der Nullstelle \(x = 0\) des Nenners \(v (x)\) nicht definiert: Also gilt: \(D_f =\) \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\) . 2. Symmetrieeigenschaften des Graphen \(G_f\) Es liegt keine ausgezeichnete Symmetrie vor. 3. Nullstellen von \...

Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Verbindung von Addition und Multiplikation gilt. Es bildet die Grundlage der wichtigen Termumformungen Ausmultiplizieren und Ausklammern . Es lautet : \(\begin{matrix} a · (b + c) &=& a · b + a · c &\text{bzw.}& a · (b\ –\ c) &=& a · b\ –\ a · c \\ (a + b) · c &=& a · c + b · c &\text{bzw.} & (a\ –\ b) · c &=& a · c\ –\ b · c \end{matrix} \) Beispiele: \(\begin{matrix} 3 · (4 + 5) &=& 3 · 4 + 3 · 5 &=& 12 + 15 &=& \bf{27} &=& 3 · 9 &=& 3 · (4 + 5) \\ 5 · (4\ –\ 3) &=& 5 · 4\ –\ 5 · 3 &=& 20\ –\ 15 &=&...

Die Division bzw. das Teilen ist die Umkehroperation zur Multiplikation ( Malnehmen ): \(\displaystyle a \cdot b = c \ \ \Leftrightarrow \ \ a = c : b\) bzw. \(\displaystyle 5 \cdot 6 = 30 \ \ \Rightarrow \ \ 5 = 30 : 6\) Ein Rechenausdruck, in dem eine Zahl durch eine andere Zahl (oder ein Term durch einen anderen) dividiert wird, ist ein Quotient (manchmal auch „ Verhältnis “). Die Zahl links vom Doppelpunkt heißt Dividend (lateinisch: „das zu Teilende“), die rechts davon Divisor (lateiner: „das, was teilt“ bzw. der Teiler). Das Ergebnis einer Division heißt Wert des Quotienten oder auch...

Ein Dodekaeder (griech., wörtlich „Zwölfflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder und ein platonischer Körper mit 20 Ecken und zwölf Seitenflächen. Die Seitenflächen sind kongruente regelmäßige Fünfecke . Das Volumen eines Dodekaeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{15+7\sqrt 5}{4}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = 3 \sqrt{25+10\sqrt 5}\cdot a^2\) . Wenn man die Seitenmitten eines Dodekaeders verbindet, erhält man ein Ikosaeder (und umgekehrt). Das Dodekaeder hat zahlreiche Dreh- und Spiegelsymmetrien und ist punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts...

Wenn im Zähler und/oder Nenner eines Bruchs selbst Brüche stehen, spricht man von einem Doppelbruch. Man löst ihn auf, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert : \(\displaystyle \frac {\frac a b}{\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac {ad}{bc}\)

Ein Drachenviereck ist ein Viereck , bei dem jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang sind – etwa so wie bei einem Papierdrachen, den man im Herbst steigen lässt. Ein Drachenviereck hat die folgenden weiteren Eigenschaften: Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Eine Diagonale ist Symmetrieachse . Die Symmetrieachse halbiert die Winkel an den Ecken, die sie verbindet. Die beiden anderen Winkel sind gleich groß. Das Drachenviereck hat sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis , ist also sowohl Tangenten - als auch Sehnenviereck . Der Flächeninhalt ist das halbe...

Eine Figur oder ein Körper ist drehsymmetrisch, wenn sie bzw. er bei einer Drehung unverändert bleibt (auf sich selbst abgebildet wird). Dies kann immer der Fall sein – bei einem Kreis bzw. einer Kugel – oder nur bei bestimmten Drehwinkeln. Beispielsweise hat ein Seestern fünf (annähernd) gleich aussehende Körpersegmente und Arme. Deshalb ist er drehsymmetrisch bei Drehung um den Drehwinkel \(\alpha = 360^\circ : 5 = 72^\circ\) . Man sagt auch, der Seestern habe eine fünfzählige Drehsymmetrie. Ein gleichseitiges Dreieck hat eine dreizählige Drehsymmetrie ( \(\alpha = 120^\circ\) ), ein Quadrat...

Eine Drehung ( Rotation ) ist eine der grundlegenden Abbildungen zwischen geometrischen Objekten, sie gehört zu den sog. Bewegungen ( Kongruenzabbildungen ) sowie zu den Ähnlichkeitsabbildungen . Wird eine Figur bzw. ein Körper um einen gewissen Drehwinkel rotiert, dann ändern sich die inneren Abstände und Winkel nicht. Jede Drehung hat in zwei Dimensionen einen sog. Fixpunkt , also einen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird. In drei Dimensionen, also der Raumsymmetrie, bleibt eine ganze Gerade unverändert, die Drehachse oder Rotationsachse . Eine formale Definition für Drehungen ist die...

Ein Dreieck ist bestimmt durch drei Punkte A , B und C , die nicht auf einer Geraden liegen. Sie heißen Eckpunkte oder Ecken . Dabei werden die Ecken wie bei allen Polygonen ( Vielecken ) immer gegen den Uhrzeigersinn (im mathematisch positiven Drehsinn) nummeriert! Die Seiten sind die Strecken zwischen jeweils zwei Ecken Die Seiten werden durch je zwei Eckpunkte bestimmt. Sie werden jeweils mit dem Kleinbuchstaben bezeichnet, der dem gegenüberliegenden Eckpunkt entspricht, d. h. a , b bzw. c (siehe Bild oben). Die Innenwinkel liegen im Innern des Dreiecks und werden von je zwei Seiten...

Wenn alle Einträge a ij einer Matrix A = ( a ij ) unterhalb der von oben links nach unten rechts verlaufenden Diagonalen null sind, nennt man die Matrix eine obere Dreiecksmatrix . Es gilt also in diesem Fall \(i > j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) Beispiel: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) Bei einer unteren Dreiecksmatrix gilt entsprechend \(i < j \ \Rightarrow \ a_{ij} = 0\) . Wenn man es schafft, die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems (LGS) in obere Dreiecksform zu bringen, hat man sozusagen gewonnen, denn dann kann man durch sukzessives...

Die Dreiecksungleichung macht zunächst einmal nur die wenig spektakuläre Aussage, dass bei einem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen immer mindestens so groß ist wie die dritte Seitenlänge: \(a \le b+c\) ; \(b \le a+c\) ; \(c \le a+b\) Dies gilt auch für allgemeinere Abstände von geometrischen Objekten wie Vektoren und Beträge von Zahlen, tatsächlich spielt die Dreiecksungleichung in der höheren Mathematik eine bedeutende Rolle. Für die Summe zweier reellen Zahlen lautet die Dreiecksungleichung \(|a + b| \le |a|+|b|\) und für Vektoren \(|\vec a + \vec b| \le |\vec a|+|\vec b|\)

Eine Ebenengleichung in Dreipunkteform ist ein Spezialfall der Parameterform mit drei Aufpunkten , von denen zwei benutzt werden, um die Spannvektoren zu ermitteln. Diese Form bietet sich an, wenn man bereits drei Punkte A , B und C kennt, welche sicher in der Ebene E , aber nicht alle auf derselben Geraden liegen. Die Ortsvektoren \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind dann also linear unabhängig . Es sei jetzt X sei ein beliebiger Punkt von E . Dann erhält man die Ebenengleichung von E in Parameterform, indem man z. B. \(\overrightarrow{a}\) als...

Der Dreisatz ist ein mathematisches Lösungsverfahren zur Bestimmung eines unbekannten vierten Wertes aus drei gegebenen Werten und wird als Lösungsverfahren für Aufgaben mit proportionalen oder anti proportionalen Zuordnungen angewendet. Anderen Namen sind Schlussrechnen , Regeldetri (lateinisch „Dreierregel“) oder bürgerliches Rechnen , wobei zu letzterem auch noch andere einfache Rechenverfahren gezählt werden. Das Verfahren gliedert sich, nicht überraschend, in drei Sätze : 1.Satz: Bedingung 2.Satz: Schluss von der Vielheit auf die Einheit 3.Satz: Schluss von der Einheit auf die gesuchte...

In der beschreibenden Statistik ist der Durschnitt ein Synonym für das arithmetische Mittel . Bei Mengen dagegen verwendet man diesen Ausdruck manchmal für die Schnittmenge zweier Mengen.