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  • Ebenen

    Unter einer Ebene versteht man in der Geometrie zweierlei: Entweder das unendlich große „Weltall“ der zweidimensionalen, flachen (euklidischen) Geometrie, also die zweidimensionale Welt, in der man Dreiecke, Kreise und andere Figuren untersucht, oder eine zweidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raums. Ebenen im Raum sind durch drei Punkte festgelegt (1), deren Ortsvektoren linear unabhängig sind bzw. die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen (oder komplett identisch sind). Alternativ ist eine Ebene auch durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt (2), oder...

  • Ebenenschar

    Eine Ebenenschar Ea ist eine Menge von Ebenen, die sich alle durch eine gemeinsame Gleichung beschreiben lassen, die einen zusätzlichen freien Parameter a enthält. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung z = a: Alle Ebenen sind parallel zur z-Ebene und haben jeweils den z-Achsenabschnitt a. Wenn alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Schnittgerade (Trägergerade) g0 haben, spricht man auch von einem Ebenenbüschel. Ein Beispiel für ein Ebenenbüschel ist die vom freien Parameter a abhängige Koordinatengleichung Ea : (a + 1)x – 2ay + 2(a – 2)z – 1 = 0 Wenn man nach Termen mit und ohne a sortiert...

  • Ebenenspiegelung

    Eine Ebenenspiegelung ist das dreidimensionale Gegenstück zur Achsen- oder Geradenspiegelung. Zwei einander entsprechende Punkte P (Urbild) und \(P'\) (Abbild, „Spiegelbild“) haben den gleichen senkrechten Abstand von der Spiegelebene. Ebenenspiegelungen sind Bewegungen, d. h. bei der Spiegelung eines Körpers an einer Ebene ändern sich Abstände und Winkel nicht. In der Analytischen Geometrie beschreibt man eine Ebenenspiegelung folgendermaßen: Wenn die Normale durch P auf der Ebene E schneidet E im Lotfußpunkt F. Für den Spiegelpunkt \(P'\) gilt dann \(\displaystyle \overrightarrow{p'} =...

  • Echte Brüche

    Echte Brüche (einfache Brüche, gemeine Brüche) sind Brüche, bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner.

  • Eigenvektor

    Ein Eigenvektor ist ein Vektor, dessen Richtung sich bei einer linearen Abbildung, d. h. bei Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix, nicht ändert. Das bedeutet, dass der Vektor bei dieser Abbildung höchstens länger oder kürzer (also „skaliert“), aber nicht gedreht wird. Der Skalierungsfaktor heißt dann Eigenwert. Beispiel: Die Matrix A = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\) hat die Eigenvektoren \(\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0...

  • Eigenwert

    Ein Eigenwert ist der Faktor, um den sich der Betrag eines Eigenvektors einer linearen Abbildung ändert, wenn er mit der Abbildungsmatrix multipliziert wird. Die Aufgabe, die unbekannten Eigenwerte ei (und Eigenvektoren \(\vec v_i\)) zu einer gegebenen Matrix A zu finden, heißt Eigenwertproblem. Es soll dabei gelten: \(A\cdot \vec v_i = e_i \cdot \vec v_i \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( A - e_i \cdot \bf 1 \right) \cdot \vec v_i = 0\) (1 ist die Einheitsmatrix.) In Komponenten sieht dies (für dreidimensionale Vektoren) so aus: \(\begin{pmatrix} a_{11} - e_i& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}-...

  • eindeutig und eineindeutig

    Eine mathematische Zuordnung (Relation) oder Abbildung heißt eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge bzw. des Urbilds X höchstens ein Element der Wertemenge (Zielmenge) bzw. des Abbilds Y zugewiesen wird. Anders ausgedrückt: Kein \(x \in X\) wird zwei (oder mehr) verschiedenen Elementen aus Y zugeordnet. Eine eindeutige Zuordnung nennt man eine Funktion. Eine Funktion hat also nie zwei verschiedene Funktionswerte zum selben x – darum kann ein Vollkreis nicht der Graph einer Funktion sein, denn dort würden fast jedem x innerhalb des Definitionsbereichs ein oberer und ein unterer Wert...

  • Einheit (Mathematik)

    Bei einer Größenangabe, etwa nach einer Messung, bezeichnet die Einheit zum einen, was gemessen wurde (bei einer Längenmessung ist die Einheit Meter, bei einer Zeitmessung z. B. Sekunde). Zum anderen gibt die Einheit an, wie viel mehr (oder weniger) als ein allgemein anerkannter Vergleichswert das Messergebnis betragen hat. Die Aussagen: „Dieser Stock ist 4,5 m lang“ bedeutet eigentlich, dass er 4,5-mal länger als die Längeneinheit „1 m“ ist. Um bei Maßangaben keine riesigen Zahlen benutzen zu müssen, kann man Einheitenvorsätze wie „Kilo“ oder „Milli“ benutzen. In der Mathematik spielen vor...

  • Einheitenvorsätze

    Wenn bei einer Messung von Längen, Flächen, Volumina, Zeiten oder Gewichten die Maßzahl vor der Einheit einen sehr kleinen oder sehr großen Zahlenwert hat, benutzt man Einheitenvorsätze, um handlichere Zahlen zu bekommen. Dabei deckt in der Regel ein Einheitenvorsatz einen Bereich von drei Zehnerpotenzen ab, eine Ausnahme bildet der Bereich zwischen 1/1000 (10–3) und 1000 (103). Name Abkürzung (Symbol) Zehnerpotenz Nano n 10–9 (Milliardstel) Mikro \(\mu\) 10–6 (Millionstel) Milli m 10–3 (Tausendstel) Zenti c 10–2 (Hundertstel) Dezi d 10–1 (Zehntel) Deka da 101 (Zehn) Hekto h 102 (Hundert) Kilo...

  • Einseitiger Hypothesentest

    Ein Hypothesentest bzw. Signifikanztest heißt einseitig, wenn die Veränderung der untersuchten Wahrscheinlichkeit lediglich in einer Richtung interessiert („ist p größer geworden oder nicht?“). Allgemeine Vorgehensweise beim Signifikanztest: Beispiel Ein Würfel zeigt beim Werfen auffällig oft eine Sechs. Es soll geprüft werden, ob er trotzdem ein Laplace-Würfel ist. 1. Nullhypothese – H0: Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist nicht erhöht, sondern höchstens so groß wie bei einem Laplace-Würfel \(p = p_0 = \frac{1}{6}\), die Alternativhypothese ist dann entsprechend H1: \(p > \frac{1}{6}\)...

  • Einsetzungsverfahren

    Das Einsetzungsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Man löst dabei eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt dann den sich ergebenden Term in die anderen Gleichungen ein, in denen diese Variable dann nicht mehr auftaucht. Wenn man das bei n Gleichungen (n – 1)-mal macht, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen. Beispiel: \(\begin{matrix} &(\text I)& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II})& 2 x_1 &-...

  • Element (Mengenlehre)

    In der Mengenlehre ist ein Element irgendetwas, das zu einer Menge gehört. Beispiele: 1; 13 und 152.936.749.370 sind Elemente der Menge \(\mathbb N\) der natürlichen Zahlen. 1 und \(-\dfrac 1 \pi\) sind Elemente der Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen. Niedersachsen ist ein Element der Menge der deutschen Bundesländer. Die leere Menge ist die einzige Menge, die kein Element enthält. In einem Körper (z. B. der Menge \(\mathbb R\)) besitzen die Rechenoperationen Addition und Multiplikation je ein neutrales Element, nämlich die 0 bzw. die 1. Außerdem gibt es zu jeder reellen Zahl x ein genau...

  • Ellipse (Geometrie)

    Eine Ellipse ist eine geometrische Figur, die man als einen verallgemeinerten (einfacher gesagt: mehr oder weniger platt gedrückten) Kreis auffassen kann. Wie der Kreis ist die Ellipse ein Kegelschnitt, also eine mögliche Planeten- oder Kometenbahn (die Erdbahn ist beispielsweise eine Ellipse, deswegen ist der Erde der Sonne im Januar etwas näher als im Juli). Den längsten bzw. kürzesten Abstand zwischen Mittelpunkt und Umfang der Ellipse nennt man große und kleine Halbachse der Ellipse, a und b. Bei einem Kreis sind die beiden Halbachsen gleich lang und entsprechen dem Radius, also a = b = r...

  • Endstellenregeln

    Endstellenregeln nennt man die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 2, 4, 8 (und generell alle Zweierpotenzen), da die letzten n Ziffern einer Zahl bestimmen, ob sie durch 2n teilbar ist.

  • Entscheidungsregel

    Bei einem Hypothesentest das Kriterium, anhand dessen man sich für die Nullhypothese H0 oder die Alternativhypothese H1 entscheidet. Meistens besteht der Test im Ziehen einer Stichprobe. Liegt dabei der Wert der Zufallsvariablen X im Annahmebereich (Akzeptanzbereich), wird H0 akzeptiert, liegt der Wert von X im Ablehnungsbereich, entscheidet man sich für H1. Die Wahl der Entscheidungsregel und damit die Größe von Annahme- und Ablehnungsbereich hängt davon ab, welches Signifikanzniveau, also welche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. bzw. 2. Art akzeptiert wird.

  • Ereignis

    Bei einem Zufallsexperiment ist ein Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\), also eine Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen (Elementarereignissen) zu einem „kombinierten“ Ausfall des Experiments. Die Verknüpfung von Ereignissen lässt sich daher besonders gut mithilfe der Regeln der Mengenlehre beschreiben. Beispiel: Beim Roulette gibt es 37 verschiedene Ergebnisse, nämlich die natürlichen Zahlen von 0 bis 37, also ist die Ergebnismenge \(\Omega = (0, 1, 2, ... 35, 36)\). Man kann aber nicht auf eines dieser jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle \frac{1}...

  • Erfolgswahrscheinlichkeit

    Bei einem Bernoulli-Experiment die Wahrscheinlichkeit p für das „erwünschte“ (oder aus anderen Gründen interessante) Ergebnis. Die Gegenwahrscheinlichkeit (für das andere Ergebnis „kein Erfolg“ bzw. „Niete“) hat keinen besonderen Namen.

  • Ergebnis

    Bei einem Zufallsexperiment sozusagen der Grundbaustein aller möglichen Ausgänge des Experiments. Statt „Ergebnis“ sagt man auch „Elementarereignis“ oder „Ausfall“. Alle Ergebnisse bilden zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\). Eine Teilmenge der Ergebnismenge heißt Ereignis. Es ist nicht ganz leicht, bei dieser Bezeichnungsweise den Überblick zu behalten, insbesondere, weil die Begriffe Ergebnis und Ereignis recht leicht verwechselt werden. Den Unterschied zwischen beiden macht das folgende Beispiel klar: Wurf mit einem fairen, sechseitigen Würfel Die Ergebnisse (Elementarereignisse, Ausfälle)...

  • Ergebnismenge

    Bei einem Zufallsexperiment ist die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum die Menge aller denkbaren Ergebnisse (auch: Elementarereignisse oder Ausfälle) des Experiments. Das Symbol für diese Menge ist der griechische Buchstabe \(\Omega\) („Omega“). Jedes Ereignis ist eine Teilmenge von \(\Omega\). Es ist je nach Fragestellung möglich, unterschiedliche Ergebnismengen zu definieren. Wenn man z. B. beim Würfeln nur wissen möchte, ob eine 6 kommt oder nicht, kann man anstelle der Ergebnismenge \(\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\) auch nur die zweielementige Ergebnismenge \(\Omega^\ast = \{6,\overline{6...

  • Erwartungswert

    Der Erwartungswert \(E(X) = \mu\) ist die wichtigste Größe, mit der sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F(X) charakterisieren lässt. Wenn die Zufallsvariable X in einem Zufallsexperiment gemessen („realisiert“) wird, wird sich der arithmetische Mittelwert bei unendlich vielen Wiederholungen beliebig dicht an den Erwartungswert annähern. Anders gesagt: E(X) ist das Ergebnis, das man „auf die Dauer erwarten kann“. Bei nur einmaliger Ausführung des Zufallsexperiments hat E(X) die höchste Wahrscheinlichkeit, je nach Breite der Verteilung kann es aber auch gut möglich sein, etwas deutlich...

  • Euler’sche Zahl

    Die irrationale Euler’sche Zahl e = 2,718.281.284.590.45… ist die Basis des natürlichen Logarithmus ln x = logex bzw. der natürlichen Exponentialfunktion ex. Sie ist nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler benannt. Sie ist auch der Grenzwert der Zahlenfolge \(\displaystyle \left( \left[1 + \frac{1}{n} \right]^n \right)\), also \(\displaystyle \text e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\), sowie der unendlichen Reihe der inversen Fakultäten: \(\displaystyle \text e = \sum_{n =0}^\infty \frac{1}{n!} \).

  • Exponentialfunktionen

    Eine Funktion, bei der die unabhängige Variable (das „x“) im Exponenten einer Potenz steht, heißt Exponentialfunktion. Die Basis ist dagegen eine Konstante bzw. ein Parameter, der nicht variiert wird. Formal definiert man eine Exponentialfunktion folgendermaßen: \(f\!: x \mapsto f(x) = a^x\) mit \(a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}\). Man schließt negative Basen aus, weil dies bei nicht ganzzahligem Exponent auf das Wurzelziehen aus einer negativen Zahl hinauslaufen würde, was verboten (genauer gesagt: mathematisch nicht definierbar) ist. Die Basen 0 und 1 würden zwar nicht zu undefinierten...

  • Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen

    Unter einer Exponentialgleichung versteht man einer Gleichung, in der eine Variable im Exponenten einer Potenz, d. h. als Argument einer Exponentialfunktion auftaucht, eine Logarithmusgleichung ist dementsprechend eine Gleichung mit einer Variablen in einem Logarithmusterm bzw. als Argument einer Logarithmusfunktion. Anmerkung: Natürlich kann man beliebig komplizierte Gleichung mit Exponential-, Logarithmus- und anderen noch seltsameren Termen aufstellen, meistens hat man es in der Schule aber „nur“ mit einer Sorte komplizierte Funktion pro Gleichung zu tun, also sozusagen mit „reinen“...

  • Exponentielles Wachstum

    Bei einem exponentiellen Wachstum wird eine Größe X in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor größer oder kleiner, also z. B. eine tägliche Verdopplung oder eine halbjährliche Drittelung. Nummeriert man die Zeitschritte mit 1, …, n, …, dann ist \(\displaystyle \frac{X_{n+1}}{X_n} = q = \text{konstant}\). Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Werten ist \(\displaystyle \Delta X = X_{n+1} - X_n = (q-1)X_n \sim X_n\) Die absolute Zunahme ist also proportional zum aktuell vorhandenen „Bestand“. Vergleicht man Xn mit dem Ausgangswert X0, dann ist \(X_n = X_0 \cdot q^n\) und man sieht...

  • Extremstellen und Extrempunkte

    An einer Extremstelle nimmt eine Funktion den größten bzw. kleinsten Wert in einer Umgebung U(x0) oder einem Intervall (lokales oder relatives Extremum) oder aber sogar auf dem gesamten Definitionsbereich Df (globales oder absolutes Extremum) an. (Statt Extremum kann man auch Extremwert sagen.) Im Einzeln gilt: Wenn für alle \(x \in U(x_0)\) gilt, dass \(f(x) \ge f(x_0)\), dann liegt an der Stelle x = x0 ein lokales (relatives) Minimum vor und der Punkt T(x0|f(x0)) ist ein lokaler (relativer) Tiefpunkt. Wenn für alle \(x \in U(x_0)\) gilt, dass \(f(x) \le f(x_0)\), dann liegt an der Stelle x =...

  • Extremwertaufgaben

    Bei Extremwertaufgaben sucht man mithilfe der Differenzialrechnung möglichst große oder kleine Werte von interessierenden Größen, z. B. das kleinstmögliche Volumen eines Paketstapels, die größte Weite eines Ballwurfs oder der schnellste Weg zu einem Nichtschwimmer, der in den Badesee gefallen ist. Man nennt so etwas auch ein Optimierungsproblem. ▶ Allgemeines Vorgehen „Mathematische“ Formulierung der Aufgabe: Alltagssprachliche Begriffe in mathematische übersetzen, beschriftete Skizze, gegebene Größen und Nebenbedingungen auflisten Funktionsgleichung für die optimierende Größe in Abhängigkeit...

  • Extremwertsatz

    Der Extremwertsatz ist ein Satz über stetige Funktionen. Er besagt: Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig ist, dann hat sie dort auch ein Maximum und ein Minimum. Wenn f dazu auch noch differenzierbar ist, gilt: Diese beiden Extrema liegen entweder an den Grenzen des Intervalls, also bei a oder b, oder sie sind Nullstellen der ersten Ableitung. Anmerkung: In den beiden Sätzen ist die Abgeschlossenheit des Intervalls [a; b] unverzichtbar. Beispiel: Die im offenen Intervall ]0; 3[ stetige Funktion \(f\! : x \mapsto \dfrac{1}{x}\) wächst für \(x \rightarrow 0\)...