Die Partialbruchzerlegung ermöglicht es, das Integrieren von gebrochenrationale Funktionen auf Integrale von Standardfunktionen zurückzuführen. Man formt dabei den Funktionsterm so um, dass aus dem beliebig komplizierten Quotienten zweier Polynomfunktionen eine Summe aus möglicherweise vielen, aber dafür einfachen Summanden wird. (Im allgemeinen Fall sieht das zunächst etwas unübersichtlich aus, das anschließende Beispiel ist dann aber wieder ganz gut überschaubar!)
\(\displaystyle f(x) = \frac{ Z(x) }{N(x)} = P(x) + \sum \text{Polstellen-Terme} + \sum \text{Quadratfaktor-Terme}\)
\(\displaystyle \sum \text{Polstellen-Terme}\ =\ \sum_{i=1}^{m_1} \frac{A_1^{(i)} }{(x-x_1)^i } + \sum_{i=1}^{m_2} \frac{A_2^{(i)} }{(x-x_2)^i } + \ldots + \sum_{i=1}^{m_j} \frac{A_j^{(i)} }{(x-x_j)^i }\)
\(\displaystyle \displaystyle \text{Quadratfaktor-Summe: }\ \ \sum_{i=1}^{n_1}\frac{B_1^{(i) } x+C_1^{(i)} }{( x^2+a_1 x + b_1)^i} + \sum_{i=1}^{n_2}\frac{B_2^{(i) } x+C_2^{(i)} }{( x^2+a_2 x + b_2)^i} + \ldots + \sum_{i=1}^{n_k}\frac{B_k^{(i) } x+C_k^{(i)} }{( x^2+a_k x + b_k)^{i}}\)
Dabei sind Z(x) das Zähler- und N(x) das Nennerpolynom, P ist ein weiteres Polynom. Dieses Polynom taucht nur auf, wenn der Grad von Z(x) größer ist als der von N(x). In diesem Fall beginnt man nämlich mit einer Polynomdivision und zerlegt f(x) in die Summe P(x) + R(x), wobei der „Rest“ R(x) gerade den beiden Summen in der obigen Formel entspricht. Mit anderen Worten: Wenn der Grad von Z(x) kleiner als der von N(x) ist, besteht die Partialbruchzerlegung von f(x) nur aus den beiden Summen.
Das Nennerpolynom besitzt k Nullstellen xk, und zwar ist die erste eine m1-fache Nullstelle, die zweite eine m2-fache Nullstelle und die j-te eine mj-fache. Jede Nullstelle von N(x) ist natürlich eine Polstelle von f(x).
Die \(a_k x^2+b_k x + c_k\) sind quadratische Polynome ohne reelle Nullstellen, man nennt sie auch „reell unzerlegbare quadratische Faktoren“ des Nennerpolynoms N(x). Auch diese Quadratfaktoren haben jeweils eine „Vielfachheit“ (n1, n2, ..., nk). Mit anderen Worten: Das Nennerpolynom kann folgendermaßen faktorisiert werden (und das ist immer möglich!):
\(N(x) = (x - x_1)^{m_1} \cdot (x - x_2)^{m_2} \cdot \ldots \cdot (x - x_j)^{m_j} \cdot (x^2 + a_1x + b_1)^{n_1} \cdot (x^2 + a_2x + b_2)^{n_2} \cdot \ldots \cdot (x^2 + a_kx + b_k)^{n_k}\)
Achtung: Wenn das Nennerpolynom insgesamt den Grad n hat, gibt es zusammen n Unbekannte. Ist es also z. B. ein kubisches Polynom (n = 3), dann gibt es insgesamt nur drei verschiedene Konstanten \(A_r^{(i)}\), \(B_s^{(i)}\), \(C_s^{(i)}\) – es ist also in der Praxis meistens lange nicht so unübersichtlich, wie es im allgemeinen Fall aussieht!
Vorgehensweise bei der Partialbruchzerlegung:
- Wenn der Polynomgrad von Z(x) größer ist als der von N(x), spaltet man per Polynomdivision ein Polynom ab, der Restterm ist dann ein „echt“ gebrochenrationaler Term, mit dem man dann die eigentliche Partialbruchzerlegung durchführt. Andernfalls beginnt man gleich bei Schritt 2.
- Man faktorisiert das Nennerpolynom, bestimmt also dessen Nullstellen und Quadratfaktoren.
- Man bringt den obigen Summen-Ansatz durch geschicktes Erweitern auf den Hauptnenner, also das faktorisierte Nennerpolynom.
- Durch Koeffizientenvergleich bekommt man dann für jede Potenz von x eine Gleichung für die unbekannten Koeffizienten. Wenn man das Gleichungssystem löst, hat man die Koeffizienten gefunden.
Beispiel:
\(\displaystyle f (x) = \frac{2x+6}{x^2 - 1}\)
Der Zählergrad ist größer als der Nennergrad, aslo kann man gleich mit Schritt 2 beginnen. Das Nennerpolynom hat die Nullstellen x = ±1 (3. binomische Formel!), lässt sich also zu
N(x) = (x + 1)(x – 1) faktorisieren.
Schritt 3:
Ansatz; \(\displaystyle f(x) = \frac{2x + 6}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(A+B)x+(B-A)}{(x+1)(x-1)}\)
Schritt 4:
Koeffizientenvergleich der Zähler ganz links und ganz rechts ergibt die beiden Gleichungen
A + B = 2
B – A = 6
Die Lösungen sind A = 2 und B = 4, also hat man die Partialbruchzerlegung
\(\displaystyle f (x) = \frac{2x+6}{x^2 - 1} = \frac{-2}{x + 1} + \frac{4}{x - 1}\)