Mathematik Schülerlexikon

Die Tangensfunktion ist eine trigonometrische Funktion , welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Tangens eines Winkels („ \(\displaystyle \tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}\) “) durch Verwendung des Bogenmaßes zu einer auf (fast) ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Nur an den Polstellen (siehe unten), also an den Nullstellen der Kosinusfunktion , ist der Tangens nicht definiert. Die maximale Definitionsmenge ist somit \(\displaystyle D_f = \mathbb R \setminus \{x| \left( k + \frac 1 2\right) \cdot \pi , \ k \in \mathbb Z \}\) , der Wertebereich ist \(W_f...

Eine Tangente (lat., wörtl. „Berührende“) ist in der Geometrie eine Gerade , die eine Kurve berührt, also einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat, ohne dass sie die Kurve schneiden würde. Am Kreis unterscheidet man zwischen Tangente , Sekante und Passante : Eine Tangente hat genau einen gemeinsamen Punkt ( T ) mit der Kreislinie, eine Sekante zwei ( A und B ) und eine Passante überhaupt keinen. In der Analytischen Geometrie werden Tangenten wie alle Geraden durch Gleichungen angegeben. Für eine Tangente, die einen Kreis k mit Mittelpunkt M ( m 1 | m 2 ) und Radius r im Punkt B ( b 1 | b 2 )...

Eine Gerade ist eine Tangente an einen Funktionsgraphen G f im Punkt P ( x 0 | f ( x 0 )), wenn sie dort dieselbe Steigung wie die Funktion f hat. Die Tangente am P unkt P ( x 0 | f ( x 0 )) hat daher die Gleichung (vorausgesetzt, dass f differenzierbar ist): \(t_{x_0} \!: \ y = f'(x_0)\cdot x+b\) Da P auf der Tangente liegt, kann man dessen Koordinaten in die Geradengleichung einsetzen und erhält die Gleichung \(t_{x_0} \!: \ y = f'(x_0)\cdot (x-x_0) +f(x_0)\) Die Tangente hat also den y -Achsenabschnitt \(b = f(x_0) -x_0 \cdot f'(x_0)\) . Eine Normale an den Funktionsgraphen ist dadurch...

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck , in das man einen Inkreis zeichnen kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich die vier Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden, der dann automatisch der Inkreismittelpunkt ist. Der Name „Tangentenviereck“ kommt daher, dass alle vier Seiten Tangenten (bzw. Abschnitte von Tangenten) des Inkreises sind. Bei einem Tangentenviereck ist die Summe der Seitenlängen von einander gegenüber liegenden Seiten gleich groß: a + b = c + d Zu den Tangentenvierecken zählen das Drachenviereck , die Raute und das Quadrat , es gibt aber auch Tangentenvierecke, die...

Unter der technischen oder wissenschaftlichen Darstellung von Zahlen (auch: Zehnerpotenzschreibweise ) versteht man die Notation einer Zahl wie in den folgenden Beispielen : 3,14 · 10 3 67,4498 · 10 2 1,602 · 10 –19 In „normaler“ Notation entspricht dies: 3140 6744,98 0,000.000.000.000.000.000.160.2 Auf dem Taschenrechner oder in einer Tabellenkalkulation kann man zwischen den beiden Darstellungen je nach Bedarf hin- und herwechseln. Anmerkung: Manchmal werden die Bezeichnungen „ technische“ und „ wissenschaftliche“ Darstellung auch mit unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Dann bedeutet...

Eine ganze Zahl m ist durch eine andere ganze Zahl n teilbar , wenn die Division m : n ohne Rest aufgeht, in diesem Fall ist m ein Teiler von n und n ein Vielfaches von m : \(m : n = s \in \mathbb Z\) Es gibt eine Reihe von Teilbarkeitsregeln , die insbesondere beim Kürzen von Brüchen nützlich sind: Eine natürliche Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade (durch 2 teilbar) ist. Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (die Summe aller Ziffern der Zahl) durch 3 teilbar ist. Eine natürliche Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine...

Eine natürliche Zahl a heißt Teiler einer natürlichen Zahl b , wenn die Division b : a aufgeht, d. h., wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit a · n = b . Ist a ein Teiler von b , dann ist gleichzeitig b ein Vielfaches von a . b ist dann nämlich das „ n -Fache“ von a (siehe oben). Man schreibt: \(a \mid b\) (sprich: „a ist Teiler von b“ oder „a teilt b“), \(a \nmid b\) (sprich: „a ist kein Teiler von b“ oder „a teilt b nicht“). Beispiele : 2 ∣ 8 5 ∣ 25 7 ∤ 10 3 ∣ 21 31 ∤ 97 Weitere Eigenschaften von Teilern und Vielfachen: Äquivalent mit „ \(a \mid b\) “ ist die Aussage, dass die Division b...

Zwei Zahlen heißen teilerfremd , wenn sie keine gemeinsamen Teiler haben. Ob dies so ist, kann man mit einer Primfaktorzerlegung feststellen. Bei einem vollständig gekürzten Bruch sind Zähler und Nenner teilerfremd. Zwei Primzahlen sind immer teilerfremd.

Die Teilermenge T n einer natürlichen Zahl n enthält alle Zahlen, durch die n teilbar ist, d. h. alle Teiler von n : \(T_n = \{m\in \mathbb N\big| m \mid n \}\) Beispiele: T 30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} T 100 = {1; 2; 4; 5; 10; 25; 50} T 101 = {1; 101 } Die Teilermenge einer Primzahl enthält nur die 1 und die Zahl selbst. Die Teilermenge einer Zahl enthält immer eine gerade Anzahl von Elementen, die sich in Paare sortieren lassen, welche miteinander multipliziert die Zahl selbst ergeben. Beispiel: n = 30 (8 Elemente, 4 Paare): 1 · 30 = 30; 2 · 15 = 30; 3 · 10 = 30; 5 · 6 = 30

Eine Teilmenge ( Untermenge ) T einer Menge M ist dadurch definiert, dass alle Elemente von T in M liegen, aber nicht unbedingt alle Elemente von M in T . Beispiel: Die Menge {a; b; c} hat die Teilmengen \(\emptyset\) , {a} , {b}, {c}, {a; b} , {b; c}, {a; c} und {a; b; c}. Wenn die Teilmenge T nicht alle Elemente von M enthält, also wenn \(T \ne M\) , dann sagt mann, dass T eine echte Teilmenge von M ist und schreibt \(T \subset M\) . Eine unechte Teilmenge von M kann dagegen auch M selbst sein, in diesem Fall schreibt man \(T \subseteq M\) . Die leere Menge ist eine (echte) Teilmenge von...

Die reelle Zahl \(\tau\) , die für die drei verschiedenen Punkte A , B und T auf einer Geraden die Gleichung \(\overrightarrow{AT} = \tau \cdot \overrightarrow{TB}\) erfüllt, heißt das Teilverhältnis des Punkts T bezüglich der Strecke \(\overline{AB}\) . Für \(T \in \overline{A B}\) (innere Teilung) gilt \(\tau \geq 0\) , andernfalls (äußere Teilung) ist \(\tau < 0\) .

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen , Symbole und Klammern enthalten kann. Beispiele: \(5+13\\4a-3b\\x^2+3x-5\ \(x+y)(2-x)\) Bei dieser Schreibweise werden die Malpunkte zwischen Zahlen und Variablen weggelassen: „4 a “ bedeutet also „4 · a “. Weitere Beispiele: \(3b=3\cdot b\\ (x+y)(2-x)=(x+y)\cdot(2-x)\) Werden alle Variablen durch Zahlen ersetzt, erhält der Term einen bestimmten Wert . Für dieselbe Variable muss dabei in einem Term immer dieselbe Zahl eingesetzt werden. Die Menge der Zahlen, die zum Einsetzen vorgegeben ist, ist die Grundmenge G . Diejenigen...

Ein Tetraeder (griech., wörtlich „Vierflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder mit nur vier Ecken und der kleinste platonische Körper . Die vier Seitenflächen eines Tetraeders sind kongruente gleichseitige Dreiecke . Man kann ein Tetraeder also auch als eine dreiseitige Pyramide auffassen, bei der die Grundfläche gleich den Seitenflächen ist. Das Volumen eines Tetraeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{\sqrt 2}{12}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = \sqrt 3 a^2\) . Das Tetraeder hat mehrere Drehsymmetrien (unter anderem mit Drehachse durch eine Ecke und...

Ein Funktionsgraph hat im Punkt ( x 0 | f ( x 0 )) einen lokalen oder globalen Tiefpunkt , wenn x 0 ein Minimum (siehe Extremstellen und Extrempunkte ) der betreffenden Funktion ist.

Ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten heißt Trapez . Wenn (mindestens) zwei benachbarte Seiten zueinander senkrecht sind, ist es ein rechtwinkliges Trapez. Übrigens: Beim Trapez versteht man unter der Höhe h immer den Abstand der beiden parallelen Seiten. Wenn die anderen beiden Seiten gleich lang sind, heißt es gleichschenkliges Trapez. Ein gleichschenkliges Trapez hat einen Umkreis und ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten von a und c . Den Flächeninhalt berechnet man mit der folgenden Formel: \(\displaystyle A=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h\) , er ist also das Produkt aus der...

Bei einem Bernoulli-Experiment die Wahrscheinlichkeit p für das „erwünschte“ (oder aus anderen Gründen interessante) Ergebnis . Die Gegenwahrscheinlichkeit (für das andere Ergebnis „kein Treffer“ bzw. „Niete“) hat keinen besonderen Namen.

Die Trigonometrie (griech., wörtlich „Dreiecksvermessung“) beschäftigt sich, anders als der Name vermuten lässt, mit dem Ausrechnen von fehlenden Größen in einem Dreieck , also etwa Winkeln, Seitenlängen, Höhen usw. Wesentlich sind dabei die zunächst nur am rechtwinkligen Dreieck definierten trigonometrischen oder Winkelfunktionen . Es gelten dabei die Merksätze „ Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse“ ( \(\displaystyle \sin \alpha = \frac a c\) ), „ Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse“ ( \(\displaystyle \cos \alpha = \frac b c\) ) und „ Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete“ ( \(...

Unter den trigonometrischen oder Winkelfunktionen versteht man die Funktionen Sinus (sin x ), Kosinus (cos x ) und Tangens (tan x ) sowie den Kotangens , der als Kehrwert des Tangens definiert ist (cot x = 1/tan x ; Achtung: der Ausdruck „tan –1 x “ bezeichnet die Umkehrfunktion des Tangens, den Arkustangens , und nicht dessen Kehrwert!). Die Eigenschaften und Anwendungen dieser Funktionen sind Thema der Trigonometrie . Insbesondere kann man über den Sinus - und den Kosinussatz fehlende Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnen. Ursprünglich wurden die Winkelfunktionen anhand...

Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen , in denen die Variable als Argument einer der trigonometrischen Funktionen ( Winkelfunktionen ) Sinus , Kosinus oder Tangens auftritt. Man kann sie mithilfe der Arkusfunktionen lösen, also der Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen. Beispiel: (Berechnung im Bogenmaß ) \(\sin \left(x + \dfrac {\pi} 6\right) = 0,5 \ \ \Leftrightarrow \ \ x + \dfrac {\pi} 6 = \text{arcsin}\ 0,5 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \dfrac {\pi} 6 - \dfrac {\pi} 6 = 0\) Achtung: Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, gilt für jede Lösung x , dass \(x \pm 2n\pi \ \...

Eine Menge aus n Elementen, bei welcher die Reihenfolge der Elemente festgelegt ist, nennt man ein n -Tupel . Man schreibt ein Tupel meist mit runden Klammern, im Gegensatz zu Mengen, die mit geschweiften Klammern notiert werden. 2-Tupel heißen auch geordnete Paare , 3-Tupel Tripel , 4-Tupel Quadrupel usw. Beispiel: „{1; 2; 3}“ und „{3; 2; 1}“ bezeichnen dieselbe Menge , dagegen sind „(1; 2; 3)“ und „(3; 2; 1)“ zwei verschiedene Tripel . Der Unterschied zwischen Mengen und Tupeln spielt in der Kombinatorik eine besondere Rolle, da man dort unterscheidet, ob es in einer Stichprobe oder beim...