Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung, bei welcher die Variable als Basis einer Potenz auftritt. Im weiteren Sinn fallen darunter auch Gleichungen, in denen verschiedene Potenzen derselben Variablen auftauchen (z. B. Polynomgleichungen) oder auch Gleichungen mit mehreren Variablen in mehreren Potenzen. Im eigentlich Sinn hat eine Potenzgleichung aber die Form:
\(x^r = c \ \ (c \in \mathbb R)\)
mit einer additiven Konstante c. Je nachdem, was für eine Zahl r ist, kann man die folgenden Fälle unterscheiden:
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r ist 0: dies bedeutet 1 = c und ist gar keine Gleichung in x mehr, diesen langweiligen Fall kann man also ausschließen.
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r ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Gleichung hat genau eine Lösung (dies sieht man direkt, wenn man sich den Graphen der zugehörigen Potenzfunktion anschaut).
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r ist eine gerade natürliche Zahl. Die Gleichung hat keine oder genau zwei Lösungen (sieht man wieder am Graphen der zugehörigen Potenzfunktion).
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r ist eine negative ganze Zahl. Die Gleichung \(x^r = c \ \ (c \in \mathbb R)\) hat für ungerade r eine Lösung, es sein denn, c ist gleich 0, dann hat sie keine Lösung. Für gerade r gibt es wieder je nach Lage des Funktionsgraphen keine oder zwei Lösungen.
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r ist ein Stammbruch (\(\dfrac 1 2, \ \dfrac 1 3, \ \dfrac 1 4, \ \ldots\)). Die Gleichung ist eine Wurzelgleichung und für x < 0 nicht definiert.
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\(r = \dfrac s t \ \ (s,t \in \mathbb Z)\) ist eine rationale Zahl. Dann lässt sich die Gleichung umschreiben in \(\sqrt[t]{x^s} = \left(\sqrt[t]{x}\right)^s = c\). Auch in diesem Fall ist die Gleichung also für x < 0 nicht definiert.
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r ist eine irrationale Zahl. Potenzen mit irrationalen Exponenten sind Grenzwerte von Folgen aus Potenzen mit rationalen Exponenten, deshalb gilt im Prinzip das Gleiche wie im Fall zuvor.
In allen Fällen löst man eine Potenzgleichung durch Wurzelziehen, da die Wurzelfunktionen die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen sind:
\(x^r = c \ \ \Leftrightarrow \ \ x = c^{1/r} = \sqrt[r]{c} \ \ \text{bzw.} \ \ -\!|c|^{1/r} = -\sqrt[r]{|c|}\)
Achtung: Wurzelziehen ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Definitionsbereich so gewählt wurde, dass die entsprechende Wurzelfunktion definiert ist. Also im konkreten Einzelfall immer aufpassen und nachträglich kontrollieren, ob die augerechnete Lösung tatsächlich zur ursprünglichen Gleichung gehört!