Direkt zum Inhalt
  • Faktorisieren

    Faktorisieren bedeutet ganz allgemein „in ein Produkt umwandeln“. Je nachdem, was als Produkt von Faktoren geschrieben werden soll, unterscheidet man Faktorsierung von Zahlen, hier ist vor allem die Primfaktorzerlegung von Bedeutung. Faktorisierung von Termen. Im einfachsten Fall geht es dabei um das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors aus einer Summe. In der Analysis spielt das Faktorisieren z. B. bei der Suche nach Nullstellen von Funktionen eine Rolle, denn nach der Faktorregel wird ein faktorisierter Funktionsterm genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Mit anderen Worten...

  • Faktorregel

    Die Faktorregel (Produktregel) ist die Ableitungsregel für das Produkt zweier Funktionen f, g: \((f \cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\)

  • Fakultät

    Der Ausdruck n! (sprich „n Fakultät“) bezeichnet das Produkt der ersten n Zahlen, also z. B. \(6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720\) Fakultäten werden vor allem in der Kombinatorik und bei der Berechnung von Binomialkoeffizienten benötigt.

  • Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

    Bei einem Hypothesentest eine falsche Entscheidung für oder gegen die Nullhypothese H0 bzw. die Alternativhypothese H1. Grundsätzlich gibt es zwei Ausgänge des Tests – das Testergebnis liegt im Annahmebereich oder es liegt im Ablehnungsbereich. Andererseits kann die Nullhypothese entweder zutreffen oder nicht. Dies ergibt die folgenden vier Möglichkeiten: H0 trifft zu, H1 nicht H0 trifft nicht zu, sondern H1 Ergebnis im Annahmebereich Entscheidung für H0 (gegen H1) ist richtig fälschliche Annahme von H0, Fehler 2. Art, Wahrscheinlichkeit \(\beta\) Ergebnis im Ablehnungsbereich fälschliche...

  • Figur (Geometrie)

    Unter einer geometrischen Figur versteht man ein zweidimensionales Objekt, abstrakt gesprochen eine Teilmenge der Ebene. Normalerweise ist dies dann eine endliche und zusammenhängende, d. h. von einer geschlossenen Linie, dem Umfang U, begrenzte Punktmenge. Darüber hinaus besteht die Begrenzung in der Regel aus geraden Linien und/oder Kreisabschnitten, wie bei einem Dreieck, Viereck, Polygon der Kreis. Oft werden auch aus solchen einfachen Elementen zusammengesetzte Figuren betrachtet. Anders als sonst in der Mathematik gibt es aber keine allgemein verbindliche Definition des Begriffs Figur...

  • Fixpunkt

    Ein Fixpunkt ist ein Punkt im Raum (oder auch in der Ebene), der bei einer geometrischen Abbildung auf sich selbst abgebildet wird, also unverändert bleibt. Beispiele dafür sind das Spiegelzentrum einer Punktspiegelung oder der Drehpunkt bei einer Rotation (Drehung). In der Analytischen Geometrie beschreibt man lineare Abbildung zwischen Vektoren mithilfe von Abbildungsmatrizen, dort ist ein Fixpunkt ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

  • Fläche

    Der Begriff „Fläche“ wird in der Geometrie in mehreren Bedeutungen verwendet: er kann eine (zweidimensionale) Figur in der Ebene bezeichnen (selten auch die Ebene selbst) oder deren Größe, wobei man dann besser vom Flächeninhalt sprechen sollte. In der Raumgeometrie, also bei dreidimensionalen Problemen, lautet der passende Ausdruck Oberfläche.

  • Flächenbestimmung durch Integration

    Allgemein ist der Flächeninhalt A der Figur, die von einem Funktionsgraphen Gf, der x-Achse und den senkrechten Verbindungslinien zwischen ihnen (an den Grenzen des Intervalls []) begrenzt wird, das bestimmte Integral \(\displaystyle A = \left| \int\limits_{a}^{b} | f (x)|\, \text dx \right|\) . Für \(a \leq b\) fallen die äußeren Betragsstriche weg. Ist \(f (x) \geq 0\) für alle \(x \in [a; b]\), fallen die inneren Betragsstriche weg. Wenn die Funktion im Intervall das Vorzeichen wechselt, muss man die sich ergebenden Teilflächen jeweils separat berechnen. Beispiel: \(\displaystyle A = \int...

  • Flächendiagonale

    Andere Bezeichnung für die Diagonale einer Fläche im Raum, wenn man sie von der Raumdiagonalen eines Körpers abgrenzen will.

  • Flächeneinheiten

    Einen Flächeninhalt bestimmt man im Prinzip immer, indem man zwei geeignete Längen miteinander multipliziert (Länge mal Breite, Grundseite mal Höhe usw.). Darum sind Flächeneinheiten immer das Quadrat von Längeneinheiten, meistens sieht man das auch schon an ihrem Namen und ihrem Einheitensymbol. Eine Ausnahme bilden die Abkürzungen Ar (a) für 100 Quadratmeter und Hektar (ha) für 100 a. Eine Flächeneinheit bekommt, genau wie eine Volumeneinheit, keinen Einheitenvorsatz, sondern man setzt den Vorsatz vor die zugrundeliegende Längeneinheit: 1000 Quadratmeter sind also kein „Kiloquadratmeter (kqm...

  • Flächeninhalt

    Der Flächeninhalt in ein Maß für die Größe eines zweidimensionalen Objekts bzw. einer Figur, etwa eines Quadrats, eines Fußballfelds oder der Bundesrepublik Deutschland. Man sagt oft auch einfach nur „Fläche“, das ist aber missverständlich, weil damit sowohl das Objekt selbst („diese Fläche malen wir grün an“) als auch seine Größe („die Fläche des Ackers beträgt einen halben Hektar.“) Bei Flächen im dreidimensionalen Raum spricht man meist von der „Oberfläche“, noch präziser vom „Oberflächeninhalt“ eines Körpers. Die Basiseinheit des Flächeninhalts ist der Quadratmeter (m2), im Prinzip kann...

  • Folgen

    „Folge“ ist eine häufig benutzte Kurzbezeichnung für eine Zahlenfolge. Um Verwechslungen auszuschließen, ist in diesem Lexikon in der Regel von Zahlenfolgen die Rede.

  • Form- und Lageänderungen von Funktionsgraphen

    Bei der Kurvendiskussion beschäftigt man sich nicht nur mit den Symmetrien von Funktionsgraphen, sondern auch mit einfachen geometrischen Abbildungen, durch die Graphen z. B. verschoben, gespiegelt, gestreckt oder gestaucht werden können. Solche Form- und Lageänderungen kann man oft direkt an einem Parameter im Funktionsterm ablesen. Durch Variation des Paramters erhält man eine Funktionenschar bzw. Kurvenschar und spricht daher auch von Parameterfunktionen – ganz ähnlich wie bei einer Geradenschar bzw. Ebenenschar in der Analytischen Geometrie. Eine vertikale Verschiebung des Funktionsgraphen...

  • Fünfeck

    Ein Fünfeck oder Pentagon ist ein Polygon (Vieleck) mit fünf Ecken und fünf Seiten. Die Winkelsumme (Summe der fünf Innenwinkel) beträgt \(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \epsilon = 540^\circ\). Von besonderer Bedeutung ist das regelmäßige Fünfeck, bei dem alle Seiten gleich lang sind und die und Innenwinkel alle 540° : 5 = 108° betragen. Es lässt sich in fünf kongruente gleichschenklige Dreiecke mit den Basiswinkeln 54° und dem Spitzenwinkel 360° : 5 = 72° zerlegen.

  • Funktionen

    Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung bzw. Abbildung zwischen einer Ausgangsmenge X, die man hier in der Regel die Definitionsmenge Df der Funktion nennt, und einer Zielmenge oder Bildmenge Y, die man bei Funktionen als die Wertemenge Wf bezeichnet. Statt Definitionsmenge und Wertemenge sagt man oft auch Definitions- bzw. Wertebereich. Jedes Element \(x \in D_f\) heißt Argument von \(f\). Das dem Argument x zugeordneten Element \(y \in W_f\) heißt Funktionswert. Man schreibt: „y = f(x)“ und liest dies: „y gleich f von x“. Der Term \(f(x)\) heißt Funktionsterm, die Gleichung y = f(x)...

  • Funktionenschar

    Unter einer Funktionenschar bzw. Kurvenschar versteht man in der Analysis im Prinzip dasselbe wie in der Analytischen Geomtrie unter einer Geradenschar bzw. Ebenenschar: Eine Menge von Funktionen, die sich nur im Wert eines Parameters im Funktionsterm unterscheiden. Man nennt solche Funktionen daher auch Parameterfunktionen.

  • Funktionsgraph

    Mit einem Funktionsgraphen kann man die Eigenschaften einer Funktion bildlich darstellen. Dazu werden jeder x-Wert und der dazugehörende Funktionswert (y-Wert, f(x)) als Koordinaten eines Punkts in der Ebene aufgefasst und mithilfe eines rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystems aufgezeichnet. Bei der Darstellung von Funktionsgraphen nennt man das Koordinatensystem meist „Achsenkreuz“. In der Schule sind die meisten behandelten Funktionen auf Intervallen von reellen Zahlen oder sogar auf ganz \(\mathbb R\) definiert. In diesem Fall ist der Graph eine „glatte“, d. h. stetige Kurve oder...

  • Funktionsterm

    Der Funktionsterm ist der Term bzw. die „Rechenvorschrift“, nach der man zu einem gegebenen Wert der Variablen x (oder t oder welche Bezeichnung die unabhängige Variable im vorliegenden Fall auch immer hat) den Wert einer Funktion (den Funktionswert) f(x) berechnet. Man kann auch sagen, dass die Funktionsgleichung „f(x) gleich Funktionsterm“ lautet. Beispielsweise könnte der Funktionsterm einer quadratischen Funktion lauten „\(\displaystyle -\frac 2 3x^2 + 3\)“. Man muss also x quadrieren, mit \(\displaystyle -\frac 2 3\) multiplizieren und dann 3 addieren, um den Funktionswert f(x) zu...