Potenzen

Ein Produkt aus n gleichen reellen Faktoren a heißt Potenz aⁿ (sprich: „a hoch n“). Man sagt: a wird mit n potenziert. Die Zahl a wiederum heißt auch Basis oder Grundzahl, die Zahl n ist der Exponent bzw. die Hochzahl.

Weiter wird festgelegt: 

• a¹ = a  (\(a \in \mathbb{R}\)) und

• a⁰ = a (\(a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\))

Achtung: Der Ausdruck „0⁰“ ist mathematisch nicht sinnvoll zu definieren und sollte deshalb unbedingt vermieden werden!

Beispiele:

• \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)

• \(\left ( \dfrac{3}{5} \right )^4=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\cdot3\cdot3\cdot3}{5\cdot5\cdot5\cdot5}=\dfrac{81}{625}\)

• \((-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8\)

• \((-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16\)

Rechenregeln:

• Wegen der Vorzeichenregel bei der Multiplikation gilt:
  \((-a)^n=a^n\), falls n gerade, und
  \((-a)^n=-a^n\), falls n ungerade.

• Vorrangregel: „Potenz geht vor Punkt geht vor Strich“.

• Monotoniegesetz:
  1.   \(0<a<b \ \ \Rightarrow\ \ 0<a^n<b^n \ \ (a,b \in \mathbb R^+, \ n\in \mathbb N)\)
  2.   \(a > 1 \ \land \ m < n \ \ \Rightarrow\ \ a^m<a^n \ \ (a \in \mathbb R^+, \ m,n\in \mathbb N)\)
  3.   \(0 < a < 1 \ \land \ m < n \ \ \Rightarrow\ \ a^m>a^n \ \ (a \in \mathbb R^+, \ m,n\in \mathbb N)\)

Weiterhin gelten die Potenzgesetze für das Rechnen mit Potenzen.

Potenzen mit nichtnatürlichen Exponenten

Der Potenzbegriff hat in der Analysis, insbesondere bei der Untersuchung von Potenzfunktionen, eine Reihe von Erweiterungen erfahren bis hin zu reellen Exponenten:

• Potenzen mit negativem Exponenten sind als Kehrwert der Potenz mit der Gegenzahl im Exponenten definiert.
  Beispiel:
  \(2^{-3} = \dfrac 1 {2^3} = \dfrac 1 8 = 0,125\)
• Potenzen mit Stammbrüchen im Exponenten sind Wurzelterme.
  Beispiel:
  \(27^{\frac 1 3} = \sqrt[3]{27} = 3\)

• Steht unter der Wurzel eine Potenz, schreibt man dies als eine Potenz mit rationalem Exponenten.
  Beispiel:
  \(3^{\frac 4 3} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81}\)
  Man kann (und sollte) den Bruch im Exponenten wenn möglich kürzen: \(2^{\frac {10} 5} = \sqrt[5]{2^{10}} = \sqrt[5]{1024} = 2^2 = 4\)

• Durch Intervallschachtelung kann man schließlich rationale Exponenten auf beliebige reelle Exponenten erweitern. Auf diese lässt sich dann auch die auf ganz \(\mathbb R\) definierte Exponentialfunktion definieren, bei welcher die unabhängige Variable x im Exponenten eines Potenzterms steht: f(x) = a^x.