Mathematik Schülerlexikon

Prüfungsteile Das schriftliche Abitur besteht aus zwei Teilen: 1. Pflichtteil Hier geht es um grundlegende mathematische Verfahren. Mit dieser Aufgabeneinteilung kann man im Pflichtteil rechnen: Aufgabe 1: Analysis/Differenzieren Aufgabe 2: Analysis/Integrieren Aufgabe 3: Analysis/Gleichungen lösen Aufgabe 4: Analysis/Kurvendiskussion Aufgabe 5: Analysis/Eigenschaften von Funktionen Aufgabe 6 und 7: Geometrie Aufgabe 8: Stochastik Aufgabe 9: Allgemeines Verständnis 2. Wahlteil Die Aufgaben im Wahlteil sind komplexer. Auch im Wahlteil lassen sich Schwerpunkte erkennen: Analysis Gebrochen...

Bei einer Potenz bzw. Exponentialfunktion ist die Basis a diejenige Zahl, die „hochgenommen“ wird; bei natürlichem Exponentem n also die Zahl, die n -mal mit sich selbst multipliziert wird: a n = a · a · a · … · a ( n -mal) Natürlich kann auch ein Term die Basis einer Potenz sein. Beim Logarithmus bzw. der Logarithmusfunktion ist die Basis a die Zahl, die mit dem Logarithmus r potenziert wird, um den Numerus x zu erhalten: \(\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x\)

In der Geometrie ist Basis allgemein ein anderes Wort für die „ Grundseite “, etwa bei der Flächenberechnung im Dreieck oder Parallelogramm nach der Faustformel „Grundseite mal Höhe (durch 2)“. Speziell nennt man im gleichschenkligen Dreieck die dritte Seite, an welcher die beiden gleich großen Basiswinkel anliegen, die Basis dieses Dreiecks.

Ein Baumdiagramm ist eine übersichtliche Darstellung der möglichen Ausgänge von mehrstufigen Zufallsexperimenten . Die Bezeichnung „Baumdiagramm“ ist insofern etwas ungeschickt, als meistens die „Wurzel“ oben gezeichnet wird und das Diagramm sich dann nach unten hin verzweigt. Im Baumdiagramm steht jede Verzweigung für eine Stufe des Experiments, also eines der zugehörigen Einzelexperimente. Am Verzweigungspunkt notiert man (wenn es nicht sowieso schon klar ist) die möglichen Ergebnisse des jeweiligen Experiments, am Ende eines Zweigs das zugehörige Ergebnis und seitlich am Zweig die...

Prüfungsteile Die Abiturprüfung im Fach Mathematik ist ab 2014 in zwei Teile gegliedert. Im Prüfungsteil A ist die Verwendung von Hilfsmitteln nicht zugelassen, im Prüfungsteil B dürfen die zugelassenen Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie ist jeweils eine Aufgabengruppe zu bearbeiten, die sich über beide Prüfungsteile erstreckt. Im Prüfunsgteil A besteht jede Aufgabengruppe aus mehreren kürzeren, nicht zusammenhängenden Aufgaben. Im Prüfunsgteil B besteht jede Aufgabengruppe aus umfangreicheren, zusammenhängenden Aufgaben. Die Aufgaben beider...

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt, vorausgetzt bzw. unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist bzw. sicher eintreten wird. Eine andere Schreibeweise setzt die Bedingung als kleinen Index: P B ( A ) = P ( A | B ). Man liest jeweils „ P von A unter der Bedingung B ". Beispiel: Aus einer Urne mit vier Kugeln (2 rote, 2 blaue) werden nacheinander 2 Kugeln gezogen (und nicht zurückgelegt). Die beiden Ereignisse sollen jetzt sein A : „Blau beim 2...

Bei Laplace-Experimenten (s. Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ) gilt: \(|A|\) und \(|\Omega |\) werden mit kombinatorischen Hilfsmitteln bestimmt. (s. Kombinatorik ) Beispiele \(A =\) „Genau fünf Richtige im Lotto“ Die Lotto-Ergebnisse (ohne Zusatzzahl) sind Kombinationen von \(6\) Zahlen ohne Wiederholung aus den \(49\) Zahlen \(1\) bis \(49\) . \(|\Omega | = K_{oW} (49; 6) = \dbinom{49}{6} = \frac{49!}{6!\cdot (49-6)!} = 13 983 816\) Es wurden fünf Zahlen der sechs gezogenen Zahlen richtig getippt und eine Zahl aus den \(43\) nicht gezogenen Zahlen. \(|A| = \dbinom{6}{5}...

Prüfungsteile Es sind drei voneinander unabhängige, komplexe Aufgabenstellungen zu bearbeiten. Eine Aufgabenstellung bezieht sich dabei jeweils auf eines der drei Themengebiete Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Zu allen drei Aufgabenstellungen werden dir jeweils zwei gleichwertige und voneinander unabhängige Aufgaben zur Wahl angeboten, von denen du jeweils genau eine bearbeiten musst. Jede Aufgabe ist als strukturierte, inhaltlich in sich zusammenhängende Aufgabe konstruiert, die in mehrere Teilaufgaben untergliedert ist. Die Aufgaben für das CAS-Abitur haben dieselben...

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen, z. B. der Wurf einer (unendlich dünnen) Münze oder das Funktionieren oder Nichtfunktionieren eines elektronischen Geräts. Meist gilt eines der beiden Ergebnisse als wünschenswerter (z. B. „Funktionieren“ oder „Gewinnen“), die entsprechende Wahrscheinlichkeit nennt man dann die Erfolgs - oder Trefferwahrscheinlichkeit p . Der andere Ausgang hat dann die Gegenwahrscheinlichkeit 1 – p . Wird ein Bernoulli-Experiment n -mal unter identischen Bedingungen wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette . Die...

Eine Bernoulli-Kette ist ein Zufallsversuch , der aus n unanbhängigen Wiederholungen des gleichen Bernoulli-Experiments besteht. Dieses hat nur zwei verschiedene Ausgänge, der eine hat die Erfolgs - oder Trefferwahrscheinlichkeit p und der andere die Wahrscheinlichkeit 1 – p . Beispiele für Bernoulli-Experimente: Wenn man die Ergebnismenge eines einzelnen Bernoulli-Experiments abstrakt mit \(\Omega = \{0; 1\}\) angibt, besteht die Ergebnismenge der Bernoulli-Kette aus allen n -Tupeln , die nur die Zahlen 0 und 1 enthalten. (Man kann natürlich die beiden Bernoulli-Ergebnisse auch anders...

Zwei Funktionsgraphen berühren sich, besitzen also einen Berührpunkt P B ( x B | y B ), wenn die zugehörigen Funktionen f und g an diesem Punkt sowohl gleiche Funktionswerte als auch gleiche Werte der ersten Ableitung haben: \(y_\text B = f(x_\text B ) = g(x_\text B )\) und \(f'(x_\text B ) = g'(x_\text B )\) Geometrisch bedeutet das, dass P B nicht nur ein gemeinsamer Punkt der beiden Funktionen ist, sondern dass f und g dort auch die gleiche Tangente besitzen. Beispiel: Die Normalparabel y = x 2 und die x -Achse ( y = 0) berühren sich im Ursprung, da \(f'(0) = 2\cdot 0 = 0\) ist. Achtung...

Eine Funktion , Zahlenfolge oder Reihe heißt beschränkt , wenn es einen Wert gibt, der größer oder kleiner als alle Funktionswerte bzw. Glieder der Folge oder Reihe ist (da man Folgen und Reihen auch als Funktionen mit Definitionsmenge \(D = \mathbb N\) auffassen kann, wird im Folgenden nur von Funktionen die Rede sein). Formaler sagt man: Eine Funktion \(f\!: D_f \rightarrow W_f, \ x \mapsto f(x)\) heißt nach unten beschränkt , wenn es eine Zahl \(s \in \mathbb R\) gibt, sodass \(f(x) \ge s\) für alle \(x \in D\) ist. s nennt man dann eine untere Schranke von f . Eine Funktion \(f\!: D_f...

Die beschreibende oder deskriptive Statistik ist ein Teilgebiet der Stochastik . Sie hat die Aufgabe, in einer statistischen Erhebung gewonnene Daten aufzubereiten. Eine solche Erhebung ermittelt für eine Teilmenge der eigentlich interessierenden Grundgesamtheit , die sogenannte Stichprobe , die Ausprägungen von statistischen Merkmalen , z. B. Körpergröße, bevorzugte politische Partei oder Energieverbrauch einer Familie. Ein erster Schritt ist das Ermitteln von Häufigkeiten , also etwa „wie viele Befragte präferieren Partei A, B oder C“. Weiterhin lassen sich statistische Datensätze mit...

Im Dreieck werden bestimmte Linien, die in einem besonderen Verhältnis zu den Seiten und/oder Winkeln stehen, als besondere Linien bezeichnet. Von jeder Art dieser besonderen Linien gibt es drei. Oft spielen auch die Schnittpunkte dieser jeweils drei Linien eine besondere Rolle. Im gleichschenkligen Dreieck sind jeweils zwei Linien zueinander spiegelsymmetrisch (nämlich die zu den gleich langen Schenkeln bzw. den Basiswinkeln gehörenden). Im gleichseitigen Dreieck fallen jeweils alle Arten von besonderen Linien zusammen. Im einzelnen betrachtet man: Die Höhen h a , h b und h c eines Dreiecks...

Die Winkelfunktionen Sinus (sin x ), Kosinus (cos x ) und Tangens (tan x ) haben im Allgemeinen irrationale Funktionswerte , die man nur mit dem Taschenrechner oder ähnlichen Hilfsmitteln ausrechnen kann. Bei bestimmten Winkeln erhält man aber leicht zu merkende, zum Teil sogar ganz einfache rationale Werte. Wenn man diese parat hat, kann man oft leichter den Überblick bei trigonometrischen Berechnungen (und Klausur- bzw. Abituraufgaben!) behalten. Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° Bogenmaß 0 \(\displaystyle \frac \pi 6\) \(\displaystyle \frac \pi 4\) \(\displaystyle \frac \pi 3\) \(\displaystyle...

Das bestimmte Integral ist historisch gesehen der „ursprünglichere“ Integralbegriff , der sich aus der Flächenberechnung von krummlinig begrenzten Figuren entwickelt hat. Für eine integrierbare Funktion f gibt das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_a^bf(x)\,\text dx\) die Fläche zwischen der x -Achse und dem Funktionsgraphen G f im Intervall [ a ; b ] an. Oft sagt man auch nur „die Fläche unter dem Funktionsgraphen“, ganz korrekt wäre: „die Fläche der Figur, die von x-Achse, G f und den senkrechten Verbindungslinien zwischen ihnen bei „ x = a “ und „ x = b “. Formal definiert wird das...

Der Betrag \(| \vec v |\) eines Vektors \(\vec v\) ist bildlich gesprochen die Länge des zugehörigen „Vektorpfeils“, weswegen man oft auch von der Länge des Vektors spricht. Wenn man die Komponenten eines zweidimensionalen Vektors kennt, kann man seinen Betrag einfach mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen: \(| \vec v| = \left| \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{v_1^2+ v_2^2}\) In drei Dimensionen gilt entsprechend \(| \vec v| = \left| \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\v_3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{v_1^2+ v_2^2+ v_3^2}\) Der Abstand zwischen zwei Punkten ist der Betrag...

Der Betrag (oder Absolutbetrag ) einer ganzen, rationalen oder reellen Zahl ist der positive „Wert“ dieser Zahl unabhängig von ihrem Vorzeichen . Formaler kann man sagen: Der Betrag | a | einer Zahl a (sprich: „Betrag von a") ist die Zahl selbst, falls sie positiv oder null ist, und ihre Gegenzahl (das Negative dieser Zahl), falls sie negativ ist. Beachte, dass das Negative von etwas Negativen in der Mathematik immer etwas Positives ist! Man schreibt kurz: \(|a| = \begin{cases} \ \ \ a, \text{ wenn } a \ge 0 \\ -a, \text{ wenn } a < 0 \end{cases}\) Beispiele: |6| = 6 |–3,5| = –(–3,5) = 3,5 |0...

In der beurteilenden Statistik wird von den Daten einer geeignet aufbereiteten Stichprobe ( beschreibende Statistik ) auf die Eigenschaften der zugrundeliegenden Grundgesamtheit geschlossen. Sie ist ein Teilgebiet der Stochastik . Ihre wichtigsten Aufgaben sind das Schätzen von Parametern wie dem Erwartungswert oder der Varianz und das Testen von Hypothesen . Der Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit, die zu groß ist, als dass man sie vollständig „durchmessen“ könnte, ist immer mit Unsicherheiten behaftet. Darum sind die Aussagen der beurteilenden Statistik immer...

Eine Bewegung ist, allgemein gesagt, eine eineindeutige bzw. bijektive ( affine ) Abbildung zwischen Figuren oder dreidimensionalen Körpern , bei der Abstände und Winkel erhalten bleiben. Da in der zweidimensionalen Ebene zwei Figuren genau dann kongruent sind, wenn man sie mit einer Bewegung ineinander überführen kann, heißen zweidimensionale Bewegungen auch Kongruenzabbildungen . Es gibt im Wesentlichen drei Arten von Bewegungen: Verschiebungen , Drehungen und Spiegelungen . Manchmal wird dabei zwischen eigentlichen und uneigentlichen Bewegungen unterschieden: Eigentliche Bewegungen...

Ein Binom ist ein Polynom aus nur zwei Gliedern (lateinisch „bi-“: zwei-), also einfach eine Summe oder Differenz aus zwei Termen: 1 + 1; a + b; x – y ; 5 ax + 13 z 2 . Große Bedeutung haben die binomischen Formeln für quadrierte Binome.

Die Koeffizienten, die sich beim Ausmultiplizieren eines potenzierten Binoms („Binom höherer Ordnung“) bzw. in den verallgemeinerten binomischen Formeln ergeben. Betrachtet man etwa den Ausdruck ( a + b ) n , so ergibt sich für n = 1, …, 4: \(\begin{alignat*}{1}(a+b)^0&=&1\\ (a+b)^1&=&a+b\\ (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a+b)^4&=&a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\&\ldots&\end{alignat*}\) Die vor den Potenzprodukten von a und b stehenden Zahlen, also die Koeffizienten, sind die Binomialkoeffizienten . Für den k -ten Koeffizienten in der n -ten Gleichung schreibt man das...

Die Binomialverteilung ist die wichtigste (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung . Sie gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, in einer Bernoulli-Kette eine bestimmte Anzahl von „Erfolgen“ zu erzielen. Wenn die beiden möglichen Ausgänge des Einzelexperiments die Wahrscheinlichkeit p („Erfolg“) und 1 – p („verloren“) haben, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei n Wiederholungen genau k -mal Erfolg zu haben, \(P(X=k) = B_{n; p}(k)= ​ \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) dabei sind \(n \in \mathbb{N}\) , \(0 \le p \le 1 \) , \(k \in \{0; 1; \ldots n\}\) und X ist...

Die drei binomischen Formeln sind Merksätze für die Quadrate von Binomen , also Termen mit zwei Summanden von der Form a + b oder a – b : 1. binomische Formel: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 2. binomische Formel: ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 3. binomische Formel: ( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 Man kann die drei Formeln relativ leicht durch Ausmultiplizieren nachrechnen, z. B. (a + b ) 2 = (a + b )( a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Beispiele: \((3x-y)^2=(3x)^2-2\cdot 3x\cdot y+y^2=9x^2-6xy+y^2\) \((-2a+4b)^2=(-2a)^2+2\cdot(-2a)\cdot 4b+(4b)^2=4a^2-16ab+16b^2\) \(36m^2-16n^2=...

In der Geometrie ist die Bogenlänge eines Abschnitts einer Kreislinie , also eines Kreisbogens . Am Kreis definiert man das Winkelmaß Bogenmaß als Verhältnis von Bogenlänge und Radius des zu einem gegebenen Winkel gehörenden Kreisabschnitts. Allgemein und insbesondere auch in der Analysis versteht unter der Bogenlänge die Länge einer gekrümmten Kurve. Wenn die Kurve der Graph einer ( differenzierbaren ) Funktion f ( x ) ist, kann man die Bogenlänge L über das folgende bestimmte Integral ausrechnen: \(\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \text dx\)

Das Bogenmaß ist ein Maß für die Größe eines Winkels . Und zwar ist das Bogenmaß eines Winkels das Verhältnis aus der Bogenlänge , also der Länge des Kreisbogens b , und dem Radius r des Kreises . Die Einheit ist m/m, also 1, man verwendet aber öfters die „Dummy-Einheit“ Radiant (rad), um deutlich zu machen, dass es gerade um einen Winkel geht: \(\alpha [\text{rad]} = \displaystyle \frac{b}{r}\) Man kann sich die Beziehung auch gut in der folgenden Form merken: \(\displaystyle \frac{\text{Kreisbogen}}{\text{Kreisumfang}} = \frac{\text{Mittelpunktswinkel}}{\text{Vollwinkel}}\) Der gesamte...

Definition Ein Boxplot ist ein Diagramm zur Darstellung von statistischen Daten. Beispiel In einer Hundeaufzucht haben 15 Hundedamen Welpen bekommen. Die Anzahl der Welpen wird in einer Liste vermerkt: 8, 1, 4, 2, 3, 5, 7, 9, 5, 2, 3, 1, 7, 1, 6. Vor jeder statistischen Betrachtung der Daten müssen sie der Größe nach geordnet werden, es folgt somit: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9 Allgemeine Darstellung Die wichtigsten Begriffe eines Boxplots sind das Minimum sowie Maximum , unteres und oberes Quartil sowie der Median . Das Minimum stellt den kleinsten, minimalsten Wert der Daten...

Der Begriff „Bruch“ wird in der Mathematik in mehreren, leicht verschiedenen Bedeutungen gebraucht: Ein Bruch ist zunächst einfach eine andere Schreibweise für eine Division , denn man kann statt „ a : b “ immer auch „ \(\dfrac a b\) “ schreiben. Dabei ist a jeweils der Dividend (das, was geteilt wird) und b der Divisor (das, wodurch geteilt wird). Die Zahl über dem Bruchstrich heißt In Bruchschreibweise Zähler , die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner . Das Ergebnis der Division (der Quotient oder das Verhältnis ) wird dann einfach „Bruch“ genannt. Anmerkung: Man kann auf sehr einfache...

Einen Bruch zu erweitern bedeutet, dass man Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich null!) bzw. demselben Term multipliziert. Dadurch ändert sich der Wert des Bruches nicht, man erhält einfach eine andere Schreibweise für dieselbe Bruchzahl . Beispiel : \(\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}\) Man kann auch Bruchterme mit Variablen erweitern. Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck manchmal sogar, oder man kann dadurch einen Nenner mit Wurzelterm rational machen . Beispiele: \(\displaystyle \frac{x-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2(x+1)} = \frac{x...

Einen Bruch zu kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (ungleich null!) bzw. denselben Term teilt. Dadurch ändert sich der Wert des Bruches nicht, man erhält einfach eine andere, meistens übersichtlichere Schreibweise für dieselbe Bruchzahl . Beispiel: \(\displaystyle \frac{12}{36} = \frac{12:4}{36:4}=\frac{3}{9}\) Ein Bruch ist vollständig gekürzt , wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Achtung: Man sollte Brüche immer so weit es geht kürzen und insbesondere im Ergebnis einer Rechnung (Klassenarbeit! Abitur!) nur vollständig gekürzte Brüche angeben!

Eine Gleichung heißt Bruchgleichung , wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält. Beim Lösen einer Bruchgleichung muss man einerseits darauf achten, dass kein Nenner 0 wird, und andererseits überprüfen, dass die am Ende gefundene Lösung Teil der ursprünglichen Definitionsmenge ist. Vorgehen: Definitionsmenge klären beide Seiten mit Hauptnenner bzw. Produkt der Nenner multiplizieren Gleichung ohne Bruchterme mit den üblichen Verfahren lösen Beispiel: \(\displaystyle \frac {3x - 5}{x+1} = \frac {2x + 6}{x+3}\) 1. Defintionsmenge: \(D = \mathbb R \setminus\{-1; -3\}\) 2. Hauptnenner: ( x + 1)(...

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn er zum einen einen Bruch enthält und zum anderen im Nenner des Bruchs mindestens eine Variable steht. Beispiele: \(\displaystyle \frac {2x + 5}{a - 3x} + 4\) ; \(\displaystyle \frac {17}{3 :5 - x}\)

Als Bruchzahlen bezeichnet man entweder einfach die rationalen Zahlen oder aber nur die nichtnegativen rationalen Zahlen, also alle Zahlen, die als Brüche mit natürlichen Zahlen in Zähler und Nenner (natürlich ohne 0 im Nenner!) geschrieben werden können. Im zweiten Fall fasst man die Bruchzahlen in der Menge \(\displaystyle \mathbb B = \left\{ \left.\frac m n \right| m \in \mathbb N, \ n \in \mathbb N \setminus\{0\}\right\} \equiv \mathbb Q_0^+\) zusammen. Anmerkung: Welche Variante gilt, hängt im Wesentlichen davon ab, ob in deinem Bundesland erst die Bruchrechnung oder erst die negativen...