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  • Waagerechte Tangente

    Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x = x0 eine waagerechte Tangente, wenn dort die erste Ableitung verschwindet, d. h. den Wert null hat: \(f'(x_0)=0\). Dies kann bedeuten, dass sich dort eine Extremstelle, also ein Maximum oder Minimum der Funktion befindet, es kann dort aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.

  • Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor (Prozentrechnung)

    In der Prozentrechnung benutzt man den Wachstumsfaktor q, um zwei aufeinanderfolgende Werte P0 und P1 einer Reihe zu vergleichen, oder auch, um bei der Zinsrechnung das Endkapital nach einer bestimmten Anzahl von Jahren mit dem ursprünglichen Grundkapital ins Verhältnis zu setzen. Der Wachstumsfaktor q berechnet sich wie folgt: \(\displaystyle q=\frac{P_1}{P_0}=1+\frac{p}{100} \) wobei p in % den Prozentsatz bezeichnet. Um im normalen Sinn von einem Wachstum sprechen zu können, muss p > 0 und dementsprechend q > 1 sein, nur dann ist P1 größer als der vorherige Wert P0. Ist dagegen p < 0 bzw. q...

  • Wahrscheinlichkeit

    „Wahrscheinlichkeit“ ist einer der am schwersten zu definierenden mathematischen Begriffe, grundsätzlich versteht man in der Stochastik unter einer Wahrscheinlichkeit einen zahlenmäßigen Ausdruck für die relative Gewissheit, die man vom Ausgang eines zufälligen Vorgangs bzw. Zufallsexperiments hat, wobei man traditionellerweise Zahlen zwischen 0 und 1 benutzt – die Wahrscheinlichkeit 0 bedeutet, dass der entsprechende Vorgang komplett unmöglich ist, ein Vorgang mit der Wahrscheinlichkeit 1 tritt mit absoluter Sicherheit ein. Man benutzt für die Wahrscheinlichkeit normalerweise ein großes oder...

  • Wahrscheinlichkeitsdichte

    Bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Integrand der Verteilungsfunktion, also die Funktion „im Integral“. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung ist die Gauß-Funktion \(\displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \text{e}^{-\frac 1 2 x^2}\).

  • Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist neben der Statistik das zweite große Teilgebeit der Stochastik. Während sich die Statistik mit dem Durchführen von statistischen Erhebungen sowie dem Beschreiben und Beurteilen der Ergebnisse beschäftigt, behandelt die Wahrscheinlichkeitsrechnung den Umgang mit den dabei benötigten mathematischen Begriffen wie Zufallsexperiment, Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilung. Typische Fragestellungen sind: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt? Wie verteilen sich die Wahrscheinlichkeiten der...

  • Wahrscheinlichkeitsrechnung - Regeln und Sätze für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

    Erklärung: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse (Zähler) ist immer kleiner oder gleich der Anzahl der möglichen Ergebnisse (Nenner). BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (\{1~ f\ddot{a}llt, 6 ~f\ddot{a}llt\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = P (\{1~ f\ddot{a}llt\}) + P (\{6 ~f\ddot{a}llt\}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (Augenzahl < 7) = \frac{6}{6} = 1\) BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (Augenzahl > 7) = \frac{0}{6} = 0\) BEISPIEL Werfen eines Würfels: \(P (keine~ 4~ oder~ 5):\) \(E = \{4; 5\}; P (E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(P...

  • Wahrscheinlichkeitsrechnung – zusammengesetzte Zufallsexperimente

    Zusammengesetzte Zufallsexperimente \(n\)-stufiges Experiment: Zusammenfassung von \(n\) Teilexperimenten zu einem Experiment. BEISPIELE Mehrmaliges Werfen eines Würfels. Mehrmaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit/ohne Zurücklegen. Unabhängige Ereignisse: Das Eintreten eines Ereignisses beeinflusst nicht das Eintreten eines anderen Ereignisses. BEISPIELE Mehrmaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit Zurücklegen vor jedem erneuten Zug. Geburt eines Kindes; Merkmal Geschlecht. Bedingte Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\): Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)...

  • Wahrscheinlichkeitsverteilung

    Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder kurz Verteilung) ist eine Funktion, die für alle möglichen Ergebnisse bzw. Ereignisse bei einem Zufallsexperiment angibt, wie wahrscheinlich sie sind. Dabei muss man zunächst einmal unterscheiden, ob es nur einzelne diskrete Ergebnisse gibt („Kopf“ und „Zahl“ oder „Augenzahl 1 bis 6“) oder man es mit einer stetigen bzw. kontinuierlichen Zufallsvariablen („Größe von 1,50 m bis 1,80 m“) zu tun hat. Dementsprechend spricht man auch von diskreten und stetigen Verteilungen. Weiterhin unterscheidet man zwischen einer Verteilung, welche die Wahrscheinlichkeit...

  • Wendestellen und Wendepunkte

    Ein Punkt P(x0|f(x0)) des Graphen Gf einer Funktion f heißt Wendepunkt (und die Stelle x0 dann eine Wendestelle), wenn sich dort die Krümmung des Graphen ändert. Die Tangente an diesem Punkt ist die Wendetangente. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt. Bedingungen für Wendepunkte Wenn eine zweimal differenzierbare Funktion f an der Stelle x0 einen Wendepunkt hat, dann ist ihre zweite Ableitung null (\(f'' ( x_0 ) = 0\)) und ihre Krümmung verschwindet dort. Umgekehrt muss die zweite Ableitung null sein, damit bei x0 ein Wendestelle sein kann – diese...

  • Wertemenge (Wertebereich)

    Die Wertemenge bzw. der Wertebereich W einer Funktion umfasst alle Zahlen, die man als Funktionswert erhalten kann, sofern man für die unabhängige Variable ein Element der Definitionsmenge einsetzt. Beispiele: Die quadratische Funktion y = x2 hat die Wertemenge \(W = \mathbb R_0^+\). Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus haben als Wertemenge das Intervall [–1; 1]. Fasst man die Funktion im allgemeineren Sinn als eine Abbildung auf, ist die Wertemenge also die Bildmenge (das Abbild) der Definitionsmenge. Wenn eine Funktion f eine Umkehrfunktion f–1 besitzt, tauschen Definitions- und Wertemenge...

  • Wertetabelle

    In einer Wertetabelle werden wichtige bzw. leicht zu berechnende Werte von Zuordnungen und Funktionen dargestellt. Dabei werden die Werte der unabhängigen Variablen (das „x“) in einer Spalte bzw. Zeile dargestellt und die zugeordneten Werte oder die zugehörigen Funktionswerte in einer zweiten. Beispiel: f(x) = 2x2 x –2 –1 0 1 5 f(x) 8 2 0 2 50

  • Wetten

    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine Wette ein Glücksspiel, bei dem man auf den Ausgang eines Zufallsexperiments einen gewissen Geldbetrag, den sog. Einsatz, setzt. Tritt das Ereignis ein, bekommt man den Einsatz sowie eine „Prämie“, meist ein Vielfaches des Einsatzes, ausbezahlt (Gewinn), andernfalls ist der Einsatz verloren (Verlust). In dieser Form ist eine Wette immer ein Bernoulli-Experiment und die Wahrscheinlichkeit, bei n Wiederholungen der Wette k-mal den Gewinn zu kassieren, lässt sich mit der Binomialverteilung ausrechnen. Einige bekannte Glücksspiele sind eigentlich Wetten...

  • Windschiefe Geraden

    Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben. Dies ist nur im dreidimensionalen Raum möglich, in der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer. Ein Kriterium dafür, dass zwei Geraden im Raum zueinander windschief stehen, ist, dass beide Richtungsvektoren und der Differenzvektor (Verbindungsvektor) eines beliebigen Punkts auf der einen Geraden und eines Punkts auf der anderen voneinander linear unabhängig sind. Beispiel: \(g\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot...

  • Winkel

    Zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S bilden einen Winkel. Der gemeinsame Anfangspunkt ist der Scheitelpunkt des Winkels. Die zwei Strahlen nennt man die Schenkel des Winkels. Meistens gibt man Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben an, z. B. \(\alpha\) (alpha), \(\beta\) (beta), \(\gamma\) (gamma), \(\delta\) (delta) oder \(\varphi\) (phi). Einen Winkel der Größe 1 Grad (1°) erhält man, indem man einen Kreis in 360 deckungsgleiche Teile (Kreisausschnitte) zerlegt. Außer im Gradmaß werden Winkel oft auch im Bogenmaß angegeben. Wird der eine Schenkel um den Scheitelpunkt S im...

  • Winkel am Kreis

    An einem Kreis kann man verschiedene Winkel betrachten: Ist \(\overline{AB}\) eine Sehne des Kreises mit dem Mittelpunkt \(M\), dann heißt \(\measuredangle\) \(AMB\) Mittelpunktswinkel. Ist \(\overline{AB}\) eine Kreissehne und \(S\) ein Punkt auf dem Kreisumfang, dann heißt\(\measuredangle\) \(ASB\) Umfangswinkel. Beachte: Zu einer gegebenen Sehne \(\overline{AB}\) gehören ein Mittelpunktswinkel, aber unendlich viele Umfangswinkel. Ist \(\overline{AB}\) eine Sehne und sind \(t_a, t_b\) Kreistangenten in \(A\) bzw. \(B,\) dann heißt der von der Sehne \(\overline{AB}\) und einer Tangente...

  • Winkel an Geradenkreuzungen

    An einer Geradenkreuzung, also dem Schnittpunkt zweier Geraden, gilt für die vier Winkel an der Kreuzung \(\alpha+\beta=\beta+\gamma=\gamma+\delta=\delta+\alpha=180^{\circ}\). Dies formuliert man auch in den beiden folgenden Sätzen: ScheitelwinkelsatzGegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Sie werden Scheitelwinkel genannt. NebenwinkelsatzNebeneinanderliegenden Winkel ergänzen sich zu 180°. Sie heißen Nebenwinkel.

  • Winkel an geschnittenen Parallelen

    Wenn zwei parallele Geraden an einer sog. Doppelkreuzung von einer dritten Geraden geschnitten werden, so gelten für die acht dabei auftretenden Winkel die folgenden Winkelsätze: Stufenwinkelsatz An geschnittenen Parallelen sind die an den beiden Kreuzungen einander entsprechenden Winkel (Stufenwinkel, F-Winkel) gleich groß. Wechselwinkelsatz An geschnittenen Parallelen sind die dem jeweiligen Scheitelwinkel an der anderen Kreuzung entsprechenden Winkel (Wechselwinkel, Z-Winkel) jeweils gleich groß. Nachbarwinkelsatz An geschnittenen Parallelen ergänzen sich die dem jeweiligen Nebenwinkel an...

  • Winkel zwischen Vektoren

    Für den Winkel \(\varphi\) zwischen Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gilt \(\displaystyle \cos \varphi = \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a | \cdot | \vec b|} \ \ \Leftrightarrow \ \ \varphi = \arccos \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a | \cdot | \vec b|} \) („\(\circ\)“ ist das Skalarprodukt und arccos der Arkuskosinus, also die Umkehrfunktion des Kosinus.) Beispiel: \(\overrightarrow{a} = \dbinom{-3}{4} , \ \ \overrightarrow{b} = \dbinom{12}{5}\) \(\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b} = \dbinom{-3}{4}\circ \dbinom{12}{5} = -3 \cdot 12 + 4 \cdot 5 = -16\) \(|\overrightarrow{a}| = \sqrt...

  • Winkelfunktionen

    Eine andere Bezeichnung für die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin x), Kosinus (cos x) und Tangens (tan x). Der Name kommt daher, dass sie ursprünglich für die Winkel im rechtwinkligen Dreieck definiert waren. Sie lassen sich aber ohne Probleme auf ganz \(\mathbb R\) definieren (mit wenigen Ausnahmen).

  • Winkelhalbierende

    Im Allgemeinen ist eine Winkelhalbierende eine Gerade durch den Scheitel eines Winkels, welche das Winkelfeld in zwei gleich große Hälften teilt. Die Aufgabe, zu einem gegebenen Winkel die Winkelhalbierende nur mit Zirkel und Lineal zu finden, ist eine der sog. geometrischen Grundkonstruktionen. In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem (Achsenkreuz) nennt man die Geraden y = x und y = –x die erste bzw. zweite Winkelhalbierende, da sie den Winkel zwischen x- und y-Achse halbieren. In einem Dreieck gehören die drei Winkelhalbierenden \(w_\alpha\), \(w_\beta\) und \(w_\gamma\) zu...

  • Winkelmaße

    Einheiten für die Angabe der Größe eines Winkels; in der Schule hat man es entweder mit dem Gradmaß (°) oder dem Bogenmaß (ohne Einheit oder Radiant) zu tun.

  • Winkelsummensätze

    Die Winkelsummensätze für Dreieck und Viereck sind Spezialfälle des allgemeine Winkelsummensatzes für ein Polygon (Vieleck) mit n Ecken: \(\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180°\) Beim Dreieck (n = 3) bedeutet das \(\displaystyle \sum_{i=1}^3 \alpha_i = \alpha + \beta + \gamma = (3-2)\cdot 180° = 180°\) beim Viereck gilt entsprechend \(\displaystyle \sum_{i=1}^4 \alpha_i = \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\)

  • Würfel

    Ein Würfel ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen sechs Seitenflächen kongruente Quadrate sind. Er besitzt (wie das Quadrat im Zweidimensionalen) besonders viele Symmetrien und zählt zu den platonischen Körpern (in diesem Zusammenhang sagt man auch Hexaeder zum Würfel). Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders (und daher auch ein Prisma): bei dem alle Kanten die gleiche Länge a haben. Wenn man die Seitenmitten eines Würfels verbindet, erhält man ein Oktaeder (und umgekehrt). Die Flächendiagonalen der Seitenflächen haben die Länge \(\sqrt 2 \cdot a\), die Raumdiagonale (Abbildung) hat die...

  • Würfeln

    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das Würfeln eines der beliebtesten Beispiele für ein Zufallsexperiment. Normalerweise wird ein geometrischer Würfel (ein platonischer Körper mit sechs kongruenten, entweder aufeinander senkrecht oder parallel stehenden Quadraten als Seitenflächen) geworfen. Jede Seite ist mit einer Zahl zwischen 1 und 6 bzw. mit 1, 2, …, 6 „Augen“ markiert. Die nach dem Wurf oben liegende Fläche gibt das Ergebnis des Zufallsexperiments an. Der Ergebnisraum ist also die Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Da bei einem fairen Würfel alle Seiten gleich wahrscheinlich drankommen, ist...

  • Wurzel (Mathematik)

    Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens, sofern man sich auf nichtnegative reelle Zahlen beschränkt: \(x = a^2 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) bzw. \(x = a^n \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt[n] x = a \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) \(\displaystyle \left( \sqrt[n] x \right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x \ \ (x \in \mathbb R_0^+)\) Die Zahl oder der Term „unter der Wurzel“ heißt Radikand, die Zahl n Wurzelexponent. Es gilt weiterhin: \(\sqrt{x^2} = |x|\) (eine Wurzel ist nie negativ) Achtung: Für negative Radikanden sind die obigen Terme nicht sinnvoll...

  • Wurzelfunktionen

    Wurzelfunktionen kann man auf zwei äuqivalente Weisen definieren: Sie sind Potenzfunktionen mit einem Stammbruch im Exponenten, haben also die Form\(f\!: x \mapsto f(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \ \ (x \in \mathbb R_0^+, \ n \in \mathbb N)\). Sie sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, sofern man diese auf den Definitionsbereich auf \(D_f = \mathbb R_0^+\) einschränkt:\(x = f(y) = y^n \ \ \Rightarrow \ \ y = g(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x} \ \ (x \in \mathbb R_0^+, \ n \in \mathbb N) \) bzw. g = f–1 und f = g–1 Außerdem kann man natürlich auch eine Wurzelfunktion...

  • Wurzelgleichungen

    Gleichungen, bei denen die Variable unter einer Wurzel auftritt, heißen Wurzelgleichungen. Achtung: Bei Wurzelgleichungen muss die Definitionsmenge D so gewählt werden, dass unter der Wurzel keine negativen Werte auftreten können! Beispiele: \(\sqrt{2x+1}=x+1; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge -0,5 \}\) \(1+\sqrt{5x-1}=x+3,5; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge 0,2 \}\) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x+2} ; \ \ D = \{x\in \mathbb R | x \ge \sqrt 6 \approx 2,45 \}\) Beim Lösen wird die Gleichung so umgestellt, dass der Wurzelterm auf einer Seite allein steht. Dann werden beide Seiten der Gleichung quadriert...