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  • Zahlen ordnen und vergleichen

    Eine wichtige Eigenschaft aller natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen (Zahlenbereiche) ist, dass man sie immer eindeutig anordnen und vergleichen kann – man weiß immer genau, wo man sie einzusortieren hat. Etwas formaler sagt man: Für zwei Zahlen x und y gilt immer genau eine der drei folgenden Aussagen: x ist größer als y: x > y x ist gleich y: x = y x ist kleiner als y: x < y Man kann sich dies so veranschaulichen: Zwei Zahlen liegen auf der Zahlengeraden entweder an exakter derselben Stelle (gleich), oder eine von ihnen ist rechts und die andere links (größer bzw. kleiner). Die...

  • Zahlenbereiche

    Unter den Zahlenbereichen versteht man die folgenden für die ganze Mathematik grundlegenden Mengen (man nennt sie auch Zahlenmengen, dies ist aber ziemlich missverständlich, weil fast alle Mengen, mit denen man in der Mathematik zu tun kriegt, Zahlen als Elemente haben …): Menge \(\mathbb{N}\) der natürlichen Zahlen: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...} Anmerkung: Es wurde lange darüber diskutiert, ob die Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, heute ist es aber üblich, sie dazu zu zählen. Man schreibt dann \(\mathbb N^* = \mathbb N\setminus \{0\}\). Früher wurde dagegen die Bezeichnung \(\mathbb N_0\...

  • Zahlenfolgen

    Eine Zahlenfolge oder kurz Folge ist eine „durchnummerierte“ Menge von Zahlen, d. h. jedes Element hat einen natürliche Zahl als Nummer bzw. Index, wodurch die Reihenfolge aller Elemente festgelegt ist. Es ist dabei nicht festgelegt, ob die Zahlenfolge endlich viele oder unendliche viele Folgenglieder hat (bei Folgen sagt man statt „Elemente“ meist „Glieder“). Es dürfen nur nicht mehr Glieder sein als es natürliche Zahlen gibt. (Für Feinschmecker: Der Index muss aus der „abzählbaren“ Menge der natürlichen Zahlen kommen, er darf nicht aus den „überabzählbaren“ reellen Zahlen gewählt werden.) In...

  • Zahlengerade

    Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Man kann sie auch als eine Art eindimensionales Koordinatensystem auffassen. Man wählt dabei einen beliebigen Punkt „0“ (die Gerade ist ja sowieso unendlich lang) auf der Gerade als Nullpunkt. Rechts davon liegen die positiven Zahlen, links die negativen. Der Abstand eines Punkts A auf der Zahlengeraden vom Nullpunkt (bzw. die Länge der Strecke \(\overline{0P}\)) entspricht dem Betrag der zu diesem Punkt gehörenden Zahl a. Wenn man es ganz exakt machen will, formuliert man das so: Der Abstand zwischen...

  • Zahlenstrahl

    Der Zahlenstrahl ist sozusagen die rechte Hälfte der Zahlengeraden, nämlich die Halbgerade, die bei der Zahl Null beginnt und bis ins (positiv) Unendliche läuft. Auf dem Zahlenstrahl werden vor allem Bruchzahlen, aber auch natürliche Zahlen dargestellt. Die Punkte auf ihm entsprechen allgemein den positiven reellen Zahlen und der Null.

  • Zehnerpotenz

    Potenzen mit der Basis 10 nennt man Zehnerpotenzen, z. B. Sie bilden die Grundlage des Dezimal- bzw. Zehnersystems, also des Stellenwertsystems, mit dem gewöhnlich Zahlen mit Ziffern geschrieben und berechnet werden. Die Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten braucht man für die Nachkommastellen von sog. Dezimalzahlen oder Kommazahlen. Zehnerpotenzen tauchen auch bei der technischen bzw. wissenschaftlichen Darstellung von Zahlen auf, z. B. „354,9 · 10–6“.

  • Zeilenvektor

    Die Bezeichnung Zeilenvektor wird in der Analytischen Geometrie auf zweierlei Weise gebraucht: Entweder ist damit einfach ein Vektor gemeint, dessen Komponenten nebeneinander notiert werden (also sozusagen in einer horizontalen Zeile), z. B. \(\vec v = \left( 3; -\!\frac 2 3; 0 \right)\) oder man nennt bezeichnet eine Zeile einer Matrix als Zeilenvektor, z. B. wenn man die Zeilen auf lineare Unabhängigkeit untersuchen will. Formal kann man einen Zeilenvektor durch eine Matrixtransposition in einen Spaltenvektor umwandeln: \( \left( 3; -\!\frac 2 3; 0 \right)^{\!\text T} = \begin{pmatrix} 3 \\...

  • Zeiteinheiten

    Die SI-Einheit der Zeit ist die Sekunde. Physikalische ist sie definiert als der Kehrwert des 9 192 631 770-Fachen derjenigen Frequenz, mit welcher ein Cäsium-133-Atom beim Übergang zwischen den beiden sog. Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands strahlt. Bei Zeitangaben benutzt man häufig – wie bei Winkelmessungen im Gradmaß – gesetzlich erlaubte Einheiten, die nicht ins normale System der Zehnerpotenzen passen: 1 Jahr (a) ≙ 365,24 Tage (d) 1 d ≙ 24 Stunden (h) 1 h ≙ 60 Minuten (min) 1 min ≙ 60 Sekunden (s) (Anmerkung: Die Umrechnung zwischen Jahr und Tag ist nicht ganz einheitlich...

  • Zentraler Grenzwertsatz

    Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung besagt, dass die Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen Xi für große n annähernd normalverteilt ist: Für \(X =\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i\) ist \(\displaystyle P(X \le x) \approx \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)\) mit dem Erwartungswert \(E(X) = \mu = \displaystyle \sum_{i=1}^n \mu_i\) und der Varianz \(Var(X) = \sigma^2 = \displaystyle \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\). Insbesondere ist auch der Mittelwert \(\bar X = \displaystyle \frac 1 n \sum_{i=1}^n \mu_i\) der Zufallsvariablen normalverteilt. Daher kann man davon ausgehen...

  • Zentrische Streckung

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der Winkel unverändert bleiben und Parallelen auf Parallelen abgebildet werden. Alle Längen werden im selben Verhältnis vergrößert oder verkleinert (eine „Stauchung“ ist in diesem Sinne auch eine Streckung!). Man bezeichnet die zentrische Streckung deshalb manchmal auch als maßstäbliche Vergrößerung bzw. Verkleinerung. Zentrische Streckungen sind geradentreu, d. h., die Bilder von Geraden sind wieder Geraden; winkeltreu, d. h., die Bilder von Winkeln sind Winkel gleicher Größe; parallelentreu, d. h., die Bilder von Parallelen sind...

  • Ziehen mit Zurücklegen

    Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass jede gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt wird. Dadurch liegen bei jedem Ziehen gleich viele Kugeln jeder Sorte in der Urne und die Einzelwahrscheinlichkeiten sind bei allen Ziehungen gleich groß. In diesem Fall ist es auch möglich, häufiger zu ziehen als Kugeln in der Urne sind, die Zahl der Ziehungen k kann also auch größer als N (im Prinzip sogar eine beliebige natürliche Zahl) sein. Beispiel: Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Da ich gerade Zahnschmerzen habe, esse ich die Bonbons nicht nach...

  • Ziehen ohne Zurücklegen

    Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass eine einmal gezogene Kugeln nicht mehr in die Urne zurückgelegt wird, sondern „draußen“ bleibt. Dadurch ändert sich mit jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Kugelsorte gezogen wird. Außerdem kann man in diesem Fall (logischerweise) höchstens N-mal ziehen (Zahl der Ziehungen \(k \le N\)). Beispiel: Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Wenn ich ein beliebiges Bonbon herausnehme und esse, betragen die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Ziehen P(„blau“) = 4/9, P(„rot“) = 3/9 und P(„gelb“) = 2...

  • Zinseszinsen

    Wenn bei der Zinsrechnung ausgezahlte Zinsen zum Kapital hinzugefügt und im nächsten Jahr mitverzinst werden, spricht man von Zinseszinsen. Geschieht dies über mehrere Jahre (oder sonstige gleiche Zeiträume), dann wird bei jeder Verzinsung das aktuelle Kapital mit dem Faktor \(\displaystyle \left(1+\frac{p}{100}\right)\) multipliziert. Dies führt auf die Zinseszinsformel \(\displaystyle K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\) mit dem Startkapital K0, dem nach n Jahren aufgehäuften Kapital Kn und der Prozentzahl p. Es handelt sich hierbei also um ein exponentielles Wachstum. Beispiel: Ein...

  • Zinsrechnung

    Bei der Zinsrechnung berechnet man, wie sich eine Kapital genannte Geldmenge verändert, wenn sie in regelmäßigen Zeitabständen um einen gewissen Prozentsatz, den Zinssatz, zu- oder abnimmt. Das Geld, das dazukommt (oder verschwindet), nennt man die Zinsen. Im Prinzip handelt es sich hierbei einfach um eine Anwendung der Prozentrechnung, die Grundbegriffe entsprechen einander nach folgendem Schema: \(\begin{matrix} \textbf{Kapital}\;K&\stackrel{\wedge}{=}&\text{Grundwert}\;G\\ \textbf{Zinssatz}\;p\,\%&\stackrel{\wedge}{=}&\text{Prozentsatz}\;p\,\%\\ \textbf{Zinsen}\;Z&\stackrel{\wedge}{=}&\text...

  • Zirkel

    Ein Zirkel ist ein geometrisches Hilfsmittel, das zum Zeichnen von Kreisen dient. Ein Zirkel hat zwei Metallarme, die an einem Ende mit einem Gelenk verbunden sind. Ein Arm hat am anderen Ende eine Metallspitze, der andere eine Bleistiftmine. Man kann unterschiedliche Abstände zwischen den beiden freien Enden einstellen und damit Kreise mit jeweils vorgegebenem Radius ziehen. Bei den geometrischen Grundkonstruktionen dient der Zirkel unter anderem auch zum Abtragen von Strecken.

  • Zufallsexperiment

    In der Stochastik ist ein Zufallsexperiment ein Vorgang, den man unter stets gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen kann, ohne die Ergebnisse exakt vorhersagen zu können. Dabei muss man genau zwischen Ergebnissen und Ereignissen unterscheiden, den Unterschied kann man am besten an einem Bespiel erläutern: Ein Würfel hat sechs Seiten, deshalb gibt es beim Würfeln die sechs „elementaren“ Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Zusammen bilden diese die Ergebnismenge \(\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6 \}\). Man könnte aber auch bloß daran interessiert sein, ob die Augenzahl größer als 2 ist oder nicht...

  • Zufallsstichprobe

    Eine Stichprobe, bei der die untersuchten Elemente der Grundgesamtheit zufällig ausgewählt werden. Nur aus Zufallsstichproben kann mit den Methoden der beurteilenden Statistik in sinnvoller Weise auf die Grundgesamtheit geschlossen werden. Keine Zufallsauswahl wäre es z. B., eine Meinungsumfrage zur Bundestagswahl nur auf einem Parteitag einer der antretenden Parteien durchzuführen, denn das daraus prognostizierte Wahlergebnis wird ein ganz anderes sein, als wenn die Stichprobe Anhänger aller Parteien (und überzeugte Nichtwähler) enthielte. Wenn eine Stichprobe eine Zufallsstichprobe ist, kann...

  • Zufallsvariable

    Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße ist eine Größe, die bei einem Zufallsexperiment nicht exakt vorhersagbare Werte annimmt. Wenn das Experiment die Ergebnismenge \(\Omega\) hat, man die Zufallsvariable als eine Abbildung \(X: \Omega \rightarrow \mathbb R\) auffassen, die jedem Ergebnis \(\omega \in \Omega\) des Experiments eine reelle Zahl zuordnet. Beispiel: Beim Würfeln mit zwei Würfeln ordnet die Zufallsvariable „Summe der Augenzahlen“ den Zahlenpaaren (1; 1), (1; 2), …, (6; 6) eine der Zahlen zwischen 2 und 12 zu. Man unterscheidet diskrete Zufallsvariablen, die nur ganz bestimmte...

  • Zufallsvektor

    Ein Zufallsvektor fasst mehrere vergleichbare Zufallsvariable zusammen. Beispielsweise kann in einem Wolfsrudel aus den Anzahlen von Welpen, Jungtieren und erwachsenen Tieren zu einem bestimmten Zeitpunkt den dreikomponentigen Zufallsvektor (W; J; E). Andere Bezeichnungen für Zufallsvektor sind Zustandsvektor und mehrdimensionale bzw. multivariate Zufallsvariable. Wie bei den aus der Analytischen Geometrie bekannten Vektoren beschreibt auch das Produkt aus einer Matrix und einem Vektor eine Abbildung von einem Vektor auf einen anderen. Bei Zufallsvektoren heißen diese Matrizen...

  • Zufallszahlen

    Grundsätzlich sind Zufallszahlen Zahlen, die man als Ergebnis eines Zufallsexperiments erhält (z. B. durch Würfeln). Zufallszahlen müssen immer voneinander stochastisch unabhängig sein. Meistens sind mit dem Begriff aber Zahlenfolgen gemeint, die mit einem sog. Zufallszahlengenerator von einem Taschenrechner oder Computer erzeugt werden und für statistische Berechnung und Tests benutzt werden. Diese Generatoren nutzen z. B. die Division mit Rest von großen Zahlen aus, um lange Folgen stochastisch unabhängiger Zahlen zu erzeugen. Allerdings erhält man bei exakt gleichen Ausgangswerten (die...

  • Zuordnung (Relation)

    Der Begriff Zuordnung (Relation) wird in der Mathematik und speziell in der Schule nicht ganz einheitlich gebraucht. Manchmal ist damit einfach ein anderes Wort für Funktion gemeint (siehe unten), meist aber geht es eine ganz allgemeine Abbildung zwischen den Elementen zweier Mengen X und Y. In der Regel hat man es dabei mit Zahlenmengen zu tun. Man kann drei Fälle unterscheiden: Mehrdeutige Zuordnung: Jedem Element x aus der Urbildmenge oder Ausgangsmenge X können beliebig viele Elemente der Bildmenge oder Zielmenge Y zugeordnet werden (in der Abbildung links). Eindeutige Zuordnung: Jedem...

  • Zusammenfassen von Termen

    Das Zusammenfassen von Termen ist eine Äquivalenzumformung, bei welcher Terme nach folgenden Regeln vereinfacht bzw. übersichtlicher gemacht werden: Klammern gehen vor. Vorrangregeln beachten sonst von links nach rechts rechnen Gleichartige Terme werden zusammengefasst, d. h. alle Ausdrücke ohne Variablen sowie alle Ausdrücke mit jeweils gleichen Variablen bzw. Variablen mit gleicher Potenz. wenn möglich, binomische Formeln anwenden und sinnvoll ausklammern oder ausmultiplizieren Beispiel: 3x + y + 2 · 7 – (14 – 13) · xy + x – 6 · (1,5 + 0,5) = (3 + 1)x + y + 1 · xy + 14 – 6 · 2 = 4x + y + xy...

  • Zusammengesetzte Figuren

    Unter einer zusammengesetzten Figur versteht man eine geometrische Figur, die sich in zwei oder mehr einfachere Figuren aufteilen lässt, wodurch sich Umfang und Flächeninhalt leichter berechnen lassen. Beispiel: Die linke Figur in der Abbildung kann man in ein gleichschenkliges Dreieck (grün), ein Rechteck (weiß) und einen Halbkreis (orange) zerlegen (Mitte). Die Fläche der rechten Figur erhält man, wenn man von der Summe aus Dreieck und Rechteck die Fläche des Halbkreises subtrahiert.

  • Zusammengesetzte Funktionen

    Mit dem Begriff zusammengesetzte Funktionen kann zweierlei gemeint sein: Ein Funktion hat auf verschiedenen Abschnitten des Definitionsbereichs unterschiedliche Funktionsterme, z. B. \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac 1 {\ln x} (x>0) \\ \ \ x \quad(x < 0)\end{matrix} \right.\) Typischerweise untersucht man bei der Kurvendiskussion solcher Funktionen Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Übergangsstelle zwischen den beiden Teilfunktionen. Im Beispiel ist die zusammengesetzte Funktion im Ursprung stetig (Grenzwerte von links und rechts stimmen mit dem Funktionswert überein), aber nicht...

  • Zusammengesetzte Körper

    Zusammengesetzte Körper kann man ähnlich wie zusammengesetzte Figuren in einfache Teilkörper zerlegen, deren Volumen und/oder Oberfläche man mit bekannten Formeln ausrechnen kann. Achtung: Bei der Oberflächenberechnung muss man zwischen der Oberfläche des Gesamtkörpers und den inneren Oberflächen an den „Klebefläche“ zwischen den Teilkörpern unterscheiden – letztere dürfen nicht zur Gesamtoberfläche gezählt werden.

  • Zweipunkteform

    Die Zweipunkteform ist eine andere Form einer Darstellung von Geraden in Parameterform, bei der anstelle von Aufpunkt und Richtungsvektor zwei Punkte der Geraden gegeben sind (daher der Name). Zur üblichen Punkt-Richtungs-Form gelangt man, indem man einen der beiden Punkte als Aufpunkt wählt und den Differenzvektor der beiden Punkte als Richtungsvektor.

  • Zweiseitiger Hypothesentest

    Ein Hypothesentest heißt zweiseitig, wenn die Alternativhypothese H1 Abweichungen von der Nullhypothese H0 nach beiden Seiten einschließt, also H0: \(p =p_0\); H1: \(p < p_0 \vee p > p_0 \Leftrightarrow p \ne p_0\). Die Entscheidungsregel hat also die Form „Annahme von H0, wenn \(c_1 \le X \le c_2\)“ mit Konstanten c1, c2. Beispiel: Beim Roulette gewinnt bei der Null meistens die Bank. Es soll mit 1000 Versuchen auf einem Signifikanzniveau von 1 % geprüft werden, ob die Null eine vom Sollwert abweichende Wahrscheinlichkeit besitzt (H0: \(p =p_0 = \frac{1}{37}\)). 1. Testparameter: \(\alpha \le...

  • Zwischenwertsatz und Nullstellensatz

    Der Zwischenwertsatz und sein Spezialfall, der Nullstellensatz, sind zwei Sätze über stetige Funktionen. Der Zwischenwertsatz besagt im Wesentlichen, dass eine Funktion keine Werte „auslässt“. Formal lautet er: Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig ist, dann gibt es für jeden Wert y0 zwischen den Funktionswerten der Intervallgrenzen, f(a) und f(b), mindestens ein \(x_0 \in [a; b]\), dessen Funktionswert genau y0 ist: f(x0) =y0. Das bedeutet: Die Zahl y0 ist ein Funktionswert von f. 2. Die horizontale Gerade y = y0 schneidet den Graphen Gf. Ein Sonderfall des...

  • Zylinder

    Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, den man auf zwei Weisen definieren kann: als Rotationskörper, der entsteht, wenn ein Rechteck um eine Seite rotiert wird oder als Prisma mit einem Kreis aus Grund- und Deckfläche (ebenso könnte man auch ein Prisma als Zylinder mit eckiger Grundfläche bezeichnen). Das Volumen des Zylinder berechnet sich nach der einfachen Formel „Grundfläche mal Höhe“, also \(V = G \cdot h = \pi r^2h\) Die Oberfläche O eines Zylinders ist die Summe aus Grund-, Deck- und Mantelfläche: O = 2G + M (Grund- und Deckfläche sind kongruent und damit gleich groß). Man kann die...