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  • Variablen

    Ein Variable x ist ein im Prinzip komplett beliebiges Symbol oder Zeichen, an dessen Platz man eine Zahl, einen Vektor, einen Term oder irgendetwas anderes einsetzen kann, was gerade dafür geeignet oder erlaubt ist. Man nennt Variablen daher auch Platzhalter. Anmerkung: Korrekterweise werden Variablen immer kursiv gedruckt, um sie sofort von Zahlen oder Funktionsnamen unterscheiden zu können. Wichtig sind bei der obigen Erklärung die Worte „geeignet oder erlaubt“. Für jede Variable gibt es eine Menge von Elementen, die für sie eingesetzt werden dürfen, die sog. Grundmenge G. Soll darüber...

  • Varianz

    Die Varianz ist ist eine Größe, mit der sich stochastische Verteilungen charakterisieren lassen. Man unterscheidet dabei zwei Fälle: Statistik: Die Varianz einer empirischen Stichprobe vom Umfang n, zur Verdeutlichung auch Stichprobenvarianz genannt, ist definiert als \(\displaystyle s^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i=1}^n ( x_i - \overline{x} )^2\) dabei ist \(\bar x\) der empirische Mittelwert der Stichprobenwerte. Die Stichprobenvarianz ist ein häufig verwendetes empirisches Streuungsmaß. Achtung: Diese Definition mit „n – 1“ im Nenner wird manchmal auch „korrigierte Stichprobenvarianz“...

  • Variationen

    Unter einer Variation versteht man in der Kombinatorik eine angeordnete Auswahl (ein Tupel) von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Hat man z. B. die Menge {a; b; c; d}, sind (a; b) und (b; a) zwei verschiedene 2er-Variationen, (c; a; b) ist eine 3er Variation (man sagt auch kürzer von 2- und 3-Varationen bzw. allgemein von einer k-Variation). Wenn k = n ist, spricht man von Permutation, daher nehmen wir ab jetzt k < n an. Einen wichtigen Unterschied macht die Frage, ob die k Elemente alle verschieden sein sollen („keine Wiederholungen“) oder ob sie beliebig ausgewählt werden (...

  • Vektoren

    Ein Vektor \(\vec v\) ist, bildlich gesprochen, so etwas wie ein (ideal gerader) Pfeil: ein geometrisches Objekt, das eine Länge hat und außerdem in eine bestimmte Richtung zeigt. Die Länge des Vektors nennt man seinen Betrag \(|\vec v |\), die Richtung kann man z. B. durch einen Anfangs- und einen Endpunkt angeben. Der Vektor \(\overrightarrow{PQ}\) ist also die Strecke zwischen den Punkten P und Q, wenn man sie von P aus in Richtung Q abgeht. Man kann Vektoren aber auch unabhängig von einem konkreten Anfangs- und einen Endpunkt betrachten, dann bedeutet ein Vektor \(\vec v\) einfach, dass...

  • Vektorprodukt

    Eine anderer Name für das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren. Die Bezeichnung „Vektorprodukt“ deutet dabei darauf hin, dass das Ergebnis – im Gegensatz zum Skalarprodukt – selbst ein Vektor ist.

  • Verallgemeinerter Satz des Pythagoras

    Der verallgemeinerte Pythagoras-Satz gilt für rechtwinklige Dreiecke und behandelt den Fall, dass nicht Quadrate, sondern allgemein ähnliche Figuren über Katheten und Hypotenuse betrachtet werden. In diesem lautet die Formulierung: Wenn man über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks zwei zueinander ähnliche Figuren zeichnet, dann ist die Summe ihrer Flächen so groß wie eine zu ihnen ähnliche Fläche über (bzw. unter) der Hypotenuse. Beispiele: Die Halbkreisflächen über den Seiten a, b und c bestimmen sich zu \(\displaystyle F_a= \frac{1}{2} \left(\frac{a}{2}\right)^2 \pi , \ F_b= \frac{1}...

  • Vereinigungsmenge

    Bei zwei Mengen A und B die Menge aller Elemente, die mindestens in einer der beiden Mengen enthalten sind: \(A \cup B = \{x|\ x\in A \vee x\in B\}\) Es gilt dabei immer \(A \cup B = B \cup A\).

  • Verkettung von Funktionen

    Ähnlich wie lineare Abbildungen (z. B. Drehungen, Spiegelungen) in der Analytischen Geometrie kann man in der Analysis Funktionen hintereinanderausführen. Dies nennt man dann die Verkettung oder Verknüpfung f zweier Funktionen u und v und notiert dies formal so: \(f = u\circ v \!: x \mapsto f(x)=u(v(x)) \ \ \ (x\in D_v)\) Den Ausdruck „\(u\circ v\)“ liest man: „u Kuller v“. Achtung: Verkettete Funktionen muss man „von rechts nach links“ abarbeiten: Wenn man \(f = u\circ v\) auf ein \(x\in D_v\) anwendet, wirkt zuerst die rechts stehende Funktion \(v\) auf x und dann die links stehende Funktion...

  • Verknüpfung von Ereignissen

    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Ereignisse Teilmengen der Ergebnismenge bzw. dem Ergebnisraum \(\Omega\), daher lassen sich für Verknüpfungen von Ereignissen die Regeln der Mengenlehre ausnutzen: Rechengesetze Für \(A, B, C \in \mathcal P (\Omega )\) gilt: \(A \cap B = B \cap A; A \cup B = B \cup A;\) Kommutativgesetze \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C); (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C);\) Assoziativgesetze \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C); A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C);\) Distributivgesetze \(A \cup \big\{ \big\} = A; A \cap \Omega = A;\)...

  • Verknüpfung von Funktionen

    Der Begriff „verknüpfte Funktionen“ wird in der Analysis auf zweierlei Weise benutzt: entweder als Synonym (also als ein anderes Wort für) verkettete Funktionen oder als Synonym für zusammengesetzte Funktionen.

  • Verschiebung

    Unter einer Verschiebung (auch: Parallelverschiebung oder Translation) versteht man in der Geometrie eine eineindeutige Abbildung, die alle Punkte der Ebene oder des Raums gleich weit und in die gleiche Richtung verschiebt (daher der Name). Wenn man zehn Äpfel alle um genau einen Meter nach Norden verrückt, ist das eine Verschiebung. Würde man einen Apfel nur um 90 cm verrücken oder die Hälfte der Äpfel einen Meter nach Norden, die andere Hälfte aber einen Meter nach Nordwest, wären das keine geometrischen Verschiebungen. Offensichtlich verändern sich die Abstände zwischen Punkten, Figuren...

  • Verteilung

    In der Stochastik Kurzbezeichnung für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, z. B. die Binomialverteilung oder die Normalverteilung.

  • Vieleck

    Ein Vieleck oder n-Eck (mit n = 3, 4, 5, …) ist eine andere Bezeichnung für ein Polygon, also eine Figur, deren Umrandung aus gerade Strecken besteht.

  • Viereck

    Ein Viereck ist ein Polygon (Vieleck) mit vier Ecken und vier Seiten. Die Ecken werden normalerweise mit A, B, C und D bezeichnet, und zwar immer gegen den Uhrzeigersinn (im mathematisch positiven Drehsinn)! Die Seiten bekommen die entsprechenden Kleinbuchstaben. Während beim Dreieck die Seite a der Ecke A gegenüberliegt, ist beim Viereck a „rechts“ von A, genauer gesagt gegen den Uhrzeigersinn vorausgehend (siehe Grafik). Die Diagonale von A nach C heißt e, die Diagonale von B nach D nennt man f. Die Winkel werden mit passenden griechischen Buchstaben bezeichnet. Die Winkelsumme im Viereck...

  • Vierfeldertafel

    Eine Vierfeldertafel oder Kreuztabelle ist ein Verfahren aus der beschreibenden Statistik, um die Zusammenhänge zwischen zwei statistischen Merkmalen darzustellen. Dazu schreibt man die jeweiligen relativen oder absoluten Häufigkeiten für die vier Fälle „beide Merkmale liegen vor“, „beide Merkmale liegen nicht vor“ und je eines liegt vor und das andere nicht. Wenn man die beobachteten Häufigkeiten als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse und Gegenereignisse auffasst, kann man Aussagen über bedingte Wahrscheinlichkeiten. und die stochastische Unabhängigkeit der...

  • Volumen

    Das Volumen V gibt an, wie „groß“ der Inhalt eines Körpers ist, eine andere Bezeichnung hierfür ist Rauminhalt. Das Volumen ist das Produkt der Ausdehnung in allen drei Raumrichtungen (Dimensionen) – ein sehr langer, aber dünner Körper kann ein wesentlich kleineres Volumen haben als ein kompakter, der sich in alle drei Dimensionen erstreckt. Eine Möglichkeit, das Volumen zu messen, ist es, den Körper komplett auszuhöhlen und mit Wasser auszugießen. Die Menge des eingefüllten Wassers könnte man z. B. mit einer Waage bestimmen. Ein mathematischerer Ansatz, das Volumen zu messen, ist das Abzählen...

  • Volumenberechnung bei Rotationskörpern

    Wenn man ein Kurvenstück einmal um eine Rotationsachse dreht, erhält man die Oberfläche eines Rotationskörpers. Beispielsweise bekommt man einen Zylinder, wenn man eine gerade Strecke um eine dazu parallele Achse dreht, und eine Kugel, wenn das Kurvenstück ein Halbkreis ist die Achse durch dessen Enden läuft (siehe unten). Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich durch Integration berechnen, wenn das Kurvenstück der Graph Gf einer integrierbaren Funktion f ist und als Rotationsachse die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems gewählt wird. Man betrachtet dabei f bzw. Gf im Intervall...

  • Volumeneinheiten

    Die Grundeinheit für das Volumen (Rauminhalt) ist 1 Kubikmeter (1 m3). Das liegt daran, dass man zum Messen eines Volumens im Prinzip immer drei Längen miteinander multipliziert, z. B. Länge mal Breite mal Höhe. Der Ausdruck „Kubik“ kommt von lateinische „cubus“ = Würfel. Eine Volumeneinheit bekommt, genau wie eine Flächeneinheit, keinen Einheitenvorsatz, sondern man setzt den Vorsatz vor die zugrundeliegende Längeneinheit: 1000 Kubimeter sind also kein „Kilokubikmeter“, sondern ein Kubikdezimeter. Eine Ausnahme bildet die Einheit Liter, siehe unten. Umrechnung von gebräuchlichen...

  • Vorrangregeln

    Die Vorrangregeln beim Rechnen geben an, welche Rechenoperation zuerst auszuführen ist. Klammern haben immer Vorrang, werden also zuerst ausgewertet! Erst wenn es keine Ausdrücke in Klammern mehr gibt, kommen die weiteren Vorrangregeln ins Spiel. Beim mehreren „Klammernebenen“ geht man von außen nach innen vor. Beispiele: 3 – (2 + 7) = 3 – 9 = –63 + (6 · (5 – 1)) = 3 + (6 · 4) = 3 + 24 = 2 Potenzen und Wurzeln haben Vorrang vor den vier Grundrechenarten. Beispiele:4 · 23 = 4 · 8 = 32 52 – 33 = 25 – 27 = –2 Am bekanntesten ist vermutlich der Merkspruch „Punkt- vor Strich-Rechnung“ –...

  • Vorzeichenregeln

    Vorzeichenregeln sind Rechenregeln für Zahlen mit Vorzeichen, sie müssen beim Rechnen mit ganzen, rationalen und reellen Zahlen berücksichtigt werden, nicht aber bei den natürlichen und den Bruchzahlen (Zahlenmengen). Das negative Vorzeichen „–“ bzw. „Minus“ (lateinisch „weniger“) wandelt eine Zahl in ihre Gegenzahl um, macht also aus einer positiven Zahl eine negative (\(a \mapsto -a\)) und aus einer negativen eine positive \(-a \mapsto -(-a) = +a\). Das positive Vorzeichen „+“ oder „Plus“ (lateinisch „mehr“) verändert eine Zahl gar nicht und wird daher oft weggelassen bzw. nur dann...

  • Vorzeichenwechsel der Ableitung

    Bei der Kurvendiskussion ist ein Vorzeichenwechsel der Ableitung ein wichtiges Kriterium zur Beurteilung von Extremstellen: Wenn der Graph der untersuchten Funktion links von einer Extremstelle ansteigt und rechts davon fällt, muss – sofern die Ableitungsfunktion stetig ist –, dazwischen ein Wert liegen, der größer als alle Werte links und rechts davon und damit ein Maximum ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn das Vorzeichen der Ableitungsfunktion von Minus nach Plus wechselt. Wenn umgekehrt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion von Plus nach Minus wechselt, wird der Funktions links von...