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  • Radius

    Bei einem Kreis ist der Radius r die konstante Entfernung zwischen dem Mittelpunkt und einem Punkt auf der Kreislinie. Der Radius einer Kugel ist analog dazu der konstante Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der Kugel. Oft spricht man auch bei nur annähernd kugelförmigen Körpern wie etwa der Erde vom Radius, der „Erdradius“ variiert zwischen 6357 km an den Polen und 6378 am Äquator. Flächeninhalt und Umfang eines Kreises bzw. und Volumen und Oberfläche einer Kugel sind direkte Funktionen des Radius. Kreis Flächeninhalt \(A = \pi \cdot r^2\) Umfang \(U...

  • Randwerte

    Die Randwerte eines betrachteten Intervalls können in verschiedenen Zusammenhängen von besonderer Bedeutung sein: An den Rändern des Definitionsbereichs einer Funktion kann diese divergieren. Auch kann das Maximum oder Minimum, also der größte oder kleinste Funktionswert im betrachteten Intervall, am Rand liegen, in diesem Fall (und nur in diesem) liegt ein Extremum ohne Nullstelle der ersten Ableitung vor. Wenn beim bestimmten Integral der Integrand an den Rändern des Integrationsbereichs divergiert, hat man es mit einem sog. uneigentlichen Integral zu tun, das sich allenfalls mit einer...

  • Rangmerkmal

    Ein statistisches Merkmal, dessen Ausprägungen mit einer Ordinalskala in einer eindeutige Reihenfolge (Rangfolge) angeordnet werden können.

  • Rationale Funktionen

    Rationale Funktionen sind der Oberbegriff für ganzrationale Funktionen und gebrochenrationale Funktionen, also für Funktionen, deren Funktionsterm entweder ein Polynom u(x) oder ein Bruch aus zwei Polynomen \(\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}\) ist. Ihre maximale Definitionsmenge ist \(\mathbb R\) mit Ausnahme von eventuellen Nullstellen des Nennerpoynoms v(x): \(D_f = \mathbb R \setminus \{x| v(x) = 0\}\).

  • Rationale Zahlen

    Die Menge \(\mathbb{Q}\) der rationalen Zahlen enthält alle Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen. Anders ausgedrückt sind die rationalen Zahlen die Brüche mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner: \(\mathbb{Q} = \left\{ x \left| x = \dfrac s t,\ s,t \in \mathbb Z \right. \right\}\) In der Menge \(\mathbb{Q}\) sind die Mengen \(\mathbb N\), \(\mathbb B\) und \(\mathbb Z\) der natürlichen, ganzen und Bruchenzahlen enthalten. Anmerkung: Da man einen Bruch erweitern oder kürzen kann, ohne dass sich ein Wert ändert, ist die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch nicht eindeutig. Um Eindeutigkeit zu...

  • Rationalmachen des Nenners

    Unter dem Rationalmachen des Nenners versteht man das Erweitern eines Bruchs mit Wurzeltermen, sodass anschließend nur noch im Zähler Wurzelausdrücke stehen, womit man meistens leichter weiterrechnen kann. Beispiel: \(\displaystyle \frac{5}{\sqrt[4]{15}} = \frac{5\cdot\sqrt[4]{15^3}}{\sqrt[4]{15}\cdot\sqrt[4]{15^3}} = \frac{5\cdot\sqrt[4]{15^3}}{\sqrt[4]{15^4}} = \frac{5\sqrt[4]{15^3}}{15} = \frac{1}{3}\sqrt[4]{15^3}\)

  • Raumdiagonale

    Eine Raumdiagonale ist eine Linie (Diagonale), welche in einem Körper, insbesondere einem Polyeder, zwei einander räumlich gegenüber liegende Punkte verbindet, also solche, die nicht zur gleichen Seitenfläche gehören bzw. die über drei und nicht zwei Kanten verbunden sind. Die Diagonalen der Seitenflächen nennt man zur besseren Unterscheidung Flächendiagonalen.

  • Raumgeometrie

    Die Raumgeometrie (Stereometrie) ist der Teil der Geometrie, der sich mit räumlichen, d. h. dreidimensionalen Objekten (Körpern) befasst sowie mit der Lage von zwei- und eindimensionalen Objekten (Figuren, Ebenen, Geraden und Strecken) im Raum. Bei der Untersuchung von Körpern interessieren zum einen ihr Volumen (Rauminhalt) und ihr Oberflächeninhalt. Bei einfachen Körpern wie Prismen, Polyedern, Zylindern, Pyramiden, Kegeln oder Kugeln lassen sich Volumen und Oberfläche mit Formeln berechnen, ebenso bei aus solchen Objekten zusammengesetzten Körpern. Volumen und Oberfläche von komplizierter...

  • Raute (Rhombus)

    Ein Raute bzw. ein Rhombus ist ein Viereck bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Die Raute kann man damit auch als Parallelogramm mit gleich langen Seiten oder als Drachenviereck mit zwei parallelen Seitenpaaren bezeichnen. Eine Raute hat die folgenden weiteren Eigenschaften: Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich jeweils. Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen und halbieren jeweils die Winkel an den Ecken, die sie verbinden. Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel ergänzen einander zu 180°. Die Raute ist punktsymmetrisch...

  • Rechnen mit Brüchen

    Beim Rechnen mit Brüchen sind einige Besonderheiten zu beachten, auch wenn sich im Prinzip jeder Bruch auch als normale Division schreiben und berechnen ließe: \(\displaystyle \frac 3 4 + \frac {17}{49} = 3 : 17 + 17 : 49\). Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält. Ungleichnamige Brüche müssen erst gleichnamig gemacht (auf ihren Hauptnenner gebracht) werden. \(\displaystyle \frac a c + \frac b c = \frac {a+b} c \ \ (c \ne 0)\) \(\displaystyle \frac 4 3 + \frac 5 7 = \frac {28+15} {21} = ​\frac {43}{21} = 2...

  • Rechteck

    Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln (daher der Name). Es hat die folgenden Eigenschaften: Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen sind gleich lang. Die Diagonalen halbieren sich. Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist das Produkt zweier benachbarter Seitenlängen: A = a · b. Der Umfang U eines Rechtecks ist die doppelte Summe der (unterschiedlichen) Seitenlängen: U = 2(a + b). Ein Rechteck ist...

  • Rechtskrümmung

    Ein Funktionsgraph hat Rechtskrümmung (bzw. ist konvex), wenn die zweite Ableitung der Funktion negativ ist. Das Krümmungsverhalten des Graphen bestimmt unter anderem über die Art seiner Extremstellen.

  • Rechtsseitiger Hypothesentest

    Ein einseitiger Hypothesentest heißt rechtsseitig, wenn die Alternativhypothese zur Nullhypothese p = p0 besagt, dass p größer als p0 ist, also „rechts davon“ liegt.

  • Rechtwinkliges Dreieck

    Dreiecke mit einem rechten Winkel heißen rechtwinklige Dreiecke. Die Gegenseite des rechten Winkels, sie ist die längste Dreiecksseite, heißt Hypotenuse. Üblicherweise nennt man diese Seite c und den rechten Winkel \(\gamma\). Die beiden anderen Dreiecksseiten a und b heißen Katheten, die zugehörigen Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind immer spitzwinklig und ergänzen sich wegen des Winkelsummensatzes zu 90°: \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Für rechtwinklige Dreiecke gelten die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras und der Satz des Thales. Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens wurden...

  • Reelle Zahlen

    Die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen ist der „größte“ Zahlenbereich, den man normalerweise in der Schule kennenlernt. Man kann sie folgendermaßen beschreiben: Die reellen Zahlen sind die Vereinigungsmenge aus der Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen, für dies keinen eigenen „Mengenbuchstaben“ gibt: \(\mathbb R = \mathbb Q \cup \{\text{irrationale Zahlen} \}\) Die reellen Zahlen sind alle Dezimalzahlen: die abbrechenden (endlichen), periodischen und die nichtabbrechenden nichtperiodischen. Diese beiden Beschreibungen sind natürlich äquivalent...

  • Reihen

    Die Summen über die ersten n Glieder einer endlichen oder unendlichen Zahlenfolge (an) kann man als Glieder einer endlichen bzw. unendlichen Summenfolge (sn) auffassen mit \(s_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_k= a_1 + a_2 + \ldots + a_n\). Diese Summenfolge nennt man eine endliche bzw. unendliche Reihe. Die Glieder vor allem von unendlichen Reihen heißen auch Partialsummen (Teilsummen). Beachte: Den Ausdruck mit dem „Summenzeichen“ \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\) liest man: „Summe (über) ak von k gleich eins bis n“. Es ist im Übrigen Vereinbarungssache, ob man die Summe bei 0 oder bei 1...

  • Relative Häufigkeit

    Die relative Häufigkeit gibt den Anteil der Elemente einer Menge wieder, bei denen eine bestimmte Merkmalsausprägung vorliegt. Sie wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung in einer Stichprobe durch den Umfang dieser Stichprobe geteilt wird. Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, mit der die betreffende Ausprägung auftritt. Die relative Häufigkeit ist also eine Bruchzahl und hat einen Wert zwischen 0 und 1. Die relative Häufigkeit wird statt als Bruch oder Dezimalzahl auch häufig in Prozent angegeben. Beispiel: Häufigkeitstabelle für...

  • Relatives Extremum

    Ein relatives (lokales) Extremum ist ein Funktionswert, der innerhalb einer Umgebung bzw. eines Intervalls entweder größer oder gleich (absolutes Maximum) oder kleiner oder gleich (absolutes Minimum) allen anderen Werten einer Funktion ist. Im Gegensatz dazu ist ein globales Extremum auf dem gesamten Definitionsbereich maximal bzw. minimal.

  • Restmenge

    Bei zwei Mengen A und B ist die Restmenge (Differenzmenge) \(A \setminus B\) (lies: „A ohne B“) die Menge aller Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind: \(A \setminus B = \{x|\ x\in A \land x\notin B\}\) Entspricht ist \(B \setminus A = \{x|\ x\in B \land x\notin A\}\). Im Allgemeinen ist \(A \setminus B \neq B \setminus A\) (bei Schnittmenge und Vereinigungsmenge kann man dagegen die beiden Mengen vertauschen: \(A \cap B = B \cap A\) und \(A \cup B = B \cup A\)). Wenn B eine Teilmenge von A ist (\(B \subseteq A\)), dann wird \(A \setminus B\) das Komplement von B genannt, man...

  • Richtungsvektor

    Bei der Darstellung einer Geraden in Punkt-Richungs-Form (Parameterform) \(g: \vec x = \vec p+\lambda \cdot \vec v\) ist der Vektor \(\vec v\) der Richtungsvektor, der (eventuell bis auf das Vorzeichen) in dieselbe räumliche Richtung zeigt wie die Gerade. Jeder Punkt \(\vec x\) auf der Geraden ist die Vektorsumme aus dem Aufpunkt oder Stützvektor \(\vec p\)und einem positiven oder negativen skalaren Vielfachen des Richtungsvektors. Bei der Darstellung einer Ebene gibt es zwei Richtungsvektoren, die man dann meistens Spannvektoren nennt. Es gibt noch eine andere Bedeutung des Wortes...

  • Risse und Schnittzeichnungen

    Risse bzw. Schnittzeichnungen dienen zur exakten und maßtreuen Darstellung von dreidimensionalen Körpern, etwa in Architektur oder Maschinenbau. Dabei wird gezielt nur die Ansicht in zwei der drei Dimensionen gewählt, man sieht das gesamte Objekt also nur, wenn man drei Risse bzw. Schnitte sieht. Dabei benutzt man die Bezeichnungen Grundriss für den Blick vertikal von oben (meistens die z-Richtung) Aufriss für den Blick von vorne (eine der beiden horizontalen Richtungen) Seitriss für den Blick von links bzw. rechts (die andere horizontale Richtung) Mathematisch gesehen ist ein Riss eine...

  • Rotation

    In der Geometrie eine andere Bezeichnung für die Drehung einer Figur oder eines Körpers.

  • Runden

    Runden bedeutet, bei einer Dezimalzahl die „hinteren“ Nachkommastellen wegzulassen bzw. auf null zu setzen. Manchmal werden auch große ganze Zahlen gerundet. Dabei gilt die folgende Regel: Liegt die erste wegfallende Ziffer zwischen 0 und 4, bleibt die letzte nicht wegfallende Ziffer unverändert (abrunden). Liegt die erste wegfallende Ziffer zwischen 5 und 8, wird die letzte nicht wegfallende Ziffer um eins erhöht (aufrunden). Achtung: Wenn die ersten beiden wegfallenden Ziffern „49“ lauten, wird abgerundet! Beispiele: \(4,5948 \approx 4,595\) \(-14,2112 \approx -14,2\) \(3,149 \approx 3,15\)...