Mathematik Schülerlexikon

Ein Ikosaeder (griech., wörtlich „Zwanzigflächner“) ist ein regelmäßiges Polyeder und ein platonischer Körper mit zwölf Ecken und zwanzig Seitenflächen. Die Seitenflächen sind kongruente gleichseitige Dreiecke . Das Volumen eines Ikosaeders mit der Seitenlänge a beträgt \(\displaystyle V = \frac{5(3+\sqrt 5)}{12}a^3\) , der Oberflächeninhalt \(\displaystyle A = 5 \sqrt 3 \cdot a^2\) . Wenn man die Seitenmitten eines Ikosaeders verbindet, erhält man ein Dodekaeder (und umgekehrt). Das Ikosaeder hat zahlreiche Dreh- und Spiegelsymmetrien und ist punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts (...

Bei einer implizit gegeben Funktion ist der Funktionsterm nicht nach y aufgelöst, sondern auf mehr oder weniger komplizierte Weise mit x verknüpft. Um die üblichen Verfahren der Kurvendiskussion anzuwenden, muss man also erst einmal nach y auflösen. Möglicherweise werden dabei Fallunterscheidungen nötig, z. B. wenn man quadrieren muss oder durch eine Variable teilt, die 0 werden kann. Beispiel: Eine Gleichung der Form \(ax + by + c = 0\) mit \(a, b, c \in \mathbb{R}\) ist eine implizite Funktionsgleichung einer linearen Funktion , d ie Form \(y = mx + t\) heißt dementsprechend explizite...

In der Geometrie ist der Inkreis ein Kreis , der alle Seiten eines Polygons ( Vielecks ) genau einmal berührt. Eine Polygon hat immer dann einen Inkreis, wenn sich die Winkelhalbierenden aller Seiten in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt ist dann der Mittelpunkt des Inkreises. Vierecke , die einen Inkreis haben, nennt man Tangentenvierecke . Dreiecke haben immer einen Inkreis.

Bei der Kettenregel \((u \circ v)'(x_0) = u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)\) ist die innere Ableitung die Ableitung der als zuerst angewendeten Funktion \(v\) nach dem Argument x .

In der Oberstufen-Physik tauchen häufig Integrale auf (manchmal sogar bevor sie im Mathematikunterricht ausführlich besprochen wurden). Das Arbeitsintegral \(W = \displaystyle \int_a^b F(x)\, \text dx\) ist die von einer Kraft \(F\!: x \mapsto F (x),\ x \in [a; b]\) , in Wegrichtung längs des Weges von a nach b verrichtete Arbeit W . Beispiel: Eine elektrische Probeladung q wird der ortsfesten Ladung Q aus großer Entfernung (dem Unendlichen) bis auf den Abstand d angenähert. Dabei ist die erforderliche Kraft F ( x ) gleich dem Negativen der Coulombkraft \(F(x) = - F_\text{C} (x) = \dfrac{qQ}...

Wenn eine Funktion f im Intervall I = [ a ; b ] integrierbar ist, nennt man die auf I definierte Funktion \(\displaystyle x \mapsto F(x) = \int_a^x f(t)\,\text dt\) eine Integralfunktion von f . Jede Integralfunktion hat mindestens eine Nullstelle , nämlich die untere (linke) Integrationsgrenze a . Eine Integralfunktion ist immer eine Stammfunktion ihres Integranden. Der Zusammenhang zwischen Ableitung , Stammfunktion und Integralfunktion wird im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung formal beschrieben.

Die Integralrechnung ist neben der Differenzialrechnung das zweite Hauptteilgebiet der Analysis . Sie liefert zwei Antworten auf zwei grundsätzliche Fragen, die sich in gewisser Weise als dieselbe Antwort herausstellen. Diese beiden Fragen sind: Wie groß ist die Fläche unter einer geraden oder gekrümmten Kurve, die sich als Graph einer Funktion darstellen lässt? Antwort: Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral \(\displaystyle \int_a^b\!f(x)\,\text dx\) . Wie sieht die bzw. eine Funktion aus, deren Ableitung eine gegebene Funktion f ist? Antwort: Das unbestimmte Integral \(...

Eine Funktion f ist in einem Intervall I = [ a ; b ] integrierbar , wenn die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und übereinstimmen, also das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_a^bf(x)\,\text dx\) existiert. Dies ist dann der Fall, wenn f stetig oder monoton (oder beides!) ist. Damit ist die Integrierbarkeit eine schwächere Forderung als die Differenzierbarkeit . Achtung: Jede stetige Funktion ist integrierbar, die Umkehrung gilt dagegen nicht: es gibt auf einem Intervall integrierbare Funktionen, die dort nicht (überall) stetig sind! Beispielsweise ist die Signum-Funktion...

Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen , also eine Strecke auf der Zahlengeraden . Man unterscheidet abgeschlossene (Anfangs- und Endwert gehören dazu) und offene Intervalle. Halboffene Intervalle sind entsprechend auf einer Seite offen und auf einer abgeschlossen. Ein Intervall wird durch seine Grenzen sowie eckige (oder runde) Klammern angegeben: abgeschlossenes Intervall mit Grenzen a , b : \(\ \quad\) [ a ; b ] offenes Intervall mit Grenzen a , b : \(\quad\) ] a ; b [; \(\quad\) alternative Schreibweise: \(\quad\) ( a ; b ) halboffenes Intervall mit Grenzen a...

Intervallschachtelungen dienen zur exakten Definition von irrationalen Zahlen bzw. allgemein von reellen Zahlen . Eine Intervallschachtelung ist eine Folge ( I n ) von Intervallen , wobei das nächste Glied immer im vorigen Glied der Folge enthalten ist und nur eine Zahl in allen Folgengliedern enthalten ist. Diese Zahl ist die rationale oder irrationale Zahl, welche durch diese Intervallschachtelung eindeutig festgelegt ist. Die Intervallfolge wiederum wird definert durch die monoton steigende Zahlenfolge ( a n ) und die monoton fallende Zahlenfolge ( b n ), welche jeweils die Intervallgrenzen...

Wenn es bei einer Rechenoperation zu einer Zahl (oder sonstigen mathematischen Sache) eine andere Zahl (Sache) gibt, sodass bei der Rechenoperation das neutrale Element der Operation herauskommt, dann nennt man dieses Element das zum ersten Element inverse Element der Operation. Beispiele: Bei der Addition ist das inverse Element zur Zahl x ihre Gegenzahl – x , denn x + (–x) = 0 ( \(x \in \mathbb R\) ). Bei der Multiplikation ist das inverse Element zu x sein Kehrwert \(\dfrac 1 x\) , denn \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) . Bei der Vektoraddition ist das inverse Element zum...

Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich nicht als Quotient bzw. Verhältnis (lateinisch „ratio“) aus zwei ganzen Zahlen schreiben lassen, also nicht zur Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen gehören. Die irrationalen und die rationalen Zahlen bilden zusammen die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen . (Es gibt keinen speziellen „Mengenbuchstaben“ für die Menge der irrationalen Zahlen, man kann sie beispielsweise als \(\mathbb R \setminus \mathbb Q\) schreiben. Den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen erkennt man an ihrer Darstellung als Dezimalzahlen : Es...

Iteration bzw. iteratives Vorgehen bedeutet, beim Lösen einer Gleichung zunächst einen relativ groben Näherungswert zu bestimmen, und von diesem aus durch wiederholtes Anwenden desselben Ansatzes auf eine bessere Lösungswerte zu kommen. Ein bekanntes iteratives Verfahren ist das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen .