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  • Näherungswerte und sinnvolle Genauigkeit

    Sowohl bei der Angabe von Messwerten als auch von Rechenergebnissen ist es wichtig, auf vernünftige Näherungen und eine sinnvolle Genauigkeit zu achten. Zum einen sollte man das Ergebnis niemals genauer angeben als die Messgenauigkeit und die Daten, die in die Rechnung eingegangen sind. Beispiele: Wenn man an einem Lineal eine Länge abliest, beträgt die Genauigkeit etwa 0,1–0,5 Millimeter. Deswegen darf man die Länge in Zentimetern höchstens zwei Nachkommastellen angeben. Wenn in eine Rechnung Zahlenwerte mit zwei bekannten Stellen eingehen, etwa „5,7 kg“ oder 18 Millionen €, darf das Ergebnis...

  • Natürliche Zahlen

    Die natürliche Zahlen sind der einfachste und grundlegendste Zahlenbereich, den man in der Schulmathematik behandelt. Beginnend mit der Null, die „nichts von irgendetwas“ bedeutet, fügt man jeweils genau ein „Element von irgendetwas“ hinzu: 0 + 1 = 1 1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 usw. Die natürlichen Zahlen sind also genau das, was dem Zählen zugrunde liegt. Da man im Prinzip immer weiter Zählen, also immer eine Zahl finden kann, die noch eins größer ist als die vorige, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen. Für die Menge \(\mathbb N\) der natürlichen Zahlen schreibt man auch \(\mathbb N = \{0; 1; 2...

  • Negative Zahlen

    Die negativen Zahlen sind die Gegenzahlen der positiven Zahlen. Alle negativen Zahlen sind kleiner als 0. Die negativen reellen Zahlen bilden die Menge \(\mathbb R^-\), die negativen rationalen Zahlen die Menge \(\mathbb Q^-\) und die negativen ganzen Zahlen die Menge \(\mathbb Z^-\). Jede negative ganze Zahl ist somit Gegenzahl einer natürlichen Zahl. Für den Betrag einer negativen Zahl z gilt |z| = –z. Aus negativen Zahlen darf weder eine Wurzel gezogen werden noch darf man den Logarithmus einer negativen Zahl bilden.

  • Netze

    Netze oder Körpernetze sind Darstellungen von geometrischen Körpern, bei denen diese gewissermaßen aufgefaltet werden, so dass alle Seitenflächen nebeneinander in einer Ebene liegen. Alle Polyeder lassen sich als Netze darstellen, ebenso Zylinder und Kegel. Eine Kugel dagegen lässt sich nicht in die Ebene ausfalten – gleichgültig, wie geschnitten wird. Beispiele: Netz eines Quaders Netz eines Hauses Das Netz eines Zylinders besteht aus einem Rechteck und zwei Kreisen:

  • Neugrad

    Ein unübliches Gradmaß für Winkel, bei dem ein Vollwinkel nicht wie gewöhnlich in 360° geteilt wird, sondern in 400 Neugrad bzw. Gon (g).

  • Neutrales Element

    Wenn es bei einer Rechenoperation eine Zahl (oder sonstige mathematische Sache) gibt, die jede andere Zahl (Sache) bei Anwendung der Operation unverändert lässt, nennt man sie das neutrale Element dieser Operation. Beispiele: Bei der Addition ist die 0 das neutrale Element, denn 0 + x = x (\(x \in \mathbb R\)). Bei der Multiplikation ist die 1 das neutrale Element, denn 1 · x = x (\(x \in \mathbb R\)). Bei der Vektoraddition ist der Nullvektor das neutrale Element, denn es ist \(\vec 0 + \vec x = \vec x\) für alle Vektoren \(\vec x\) im betrachteten Vektorraum. Wenn es zu einer Zahl (Sache)...

  • Newton-Verfahren

    Das Newton-Verfahren (nach Isaac Newton) ermöglicht die näherungsweise Berechnung von Nullstellen einer Funktion. Die Grundidee bei dieser Methode ist es, die gegebene Funktion in einem Intervall [a; b], in dem sicher eine Nullstelle liegt, durch ihre Tangente in einem „Startpunkt“ P1(x1|f(x1)) (mit a < x1 < b) anzunähern. Die Nullstelle x2 dieser Tangente ist eine erste Näherung für die gesuchte Nullstelle der Funktion. Der Trick ist dann einfach, den Punkt P2(x2|f(x2)) als Ausgangspunkt für den nächsten Berechnungsschritt zu verwenden usw. Das Newton-Verfahren ist damit ein iteratives...

  • Nominalskala

    Eine Einteilung von Messdaten oder Stichprobenwerten, bei der die einzelnen Merkmalsausprägungen nicht in einer Rangfolge angeordnet werden können. Man kann die Werte in solch einem Fall von qualitativen Messdaten lediglich in Kategorien bzw. Datenklassen zusammenfassen. Beispiel: Merkmal: Religionszugehörigkeit Ausprägungen: {evangelisch, katholisch, sunnitisch, schiitisch} Datenklassen: {christlich, muslimisch} Wenn ein Merkmal nominalskaliert ist, kann man relative und absolute Häufigkeiten sowie den Modalwert (Modus) bestimmen, aber weder Median noch kumulative Häufigkeiten oder...

  • Nordrhein-Westfalen: Ablauf der Abiturprüfung

    Prüfungsteile Die Prüfung besteht aus der Aufgabengruppe 1 und der Aufgabengruppe 2. Grundkurs Leistungskurs Inhaltliche Schwerpunkte Grundkurs Auf der Grundlage der Obligatorik des Lehrplans Mathematik werden in den Aufgaben der schriftlichen Abiturprüfung im Jahr 2015 die folgenden Unterrichtsinhalte vorausgesetzt: AnalysisFortführung der Differenzialrechnung: Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen, notwendige Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) Integralrechung: Untersuchung von Wirkungen (Integral...

  • Normalenvektor und Normale

    Ein Normalenvektor \(\vec n\) ist dadurch definiert, dass er auf einer gegebenen Ebene, Fläche oder Gerade senkrecht steht. Wenn der Normalenvektor den Betrag 1 hat (normiert ist), nennt man ihn Normaleneinheitsvektor und schreibt \(\vec n_0\) oder \(\hat n\). Eine Gerade in Richtung des Normalenvektors heißt Normale. Der senkrechte Abstand eines Punkts von einer Ebene oder Geraden ist die Distanz des Punkts auf der Normalen vom Schnittpunkt mit der Ebene bzw. Geraden, also dem Lotfußpunkt. Am einfachsten berechnet man einen Normalenvektor einer Ebene mit dem Kreuzprodukt der beiden...

  • Normalform

    Die Normalform (auch Normalenform) ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn bereits ein Normalenvektor bekannt ist. Hat eine Gerade oder Ebene den Normalenvektor \(\vec n\), dann gilt für alle Punkte der Gerade bzw. der Ebene \(\vec n \circ \vec x = k\) denn der Normalenvektor steht definitionsgemäß auf allen Punkten der Geraden bzw. Ebene gleichermaßen senkrecht, also ist das Skalarprodukt mit ihm für alle Punkte bzw. deren Ortsvektoren gleich groß. Eine alternative Form verwendet einen Aufpunkt (Stützvektor) \(\vec a\)...

  • Normalverteilung

    Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Im Fall der Standardnormalverteilung (siehe unten) wird Ihre Dichte durch die sog. Gauß-Funktion \(\displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \text{e}^{-\frac 1 2 x^2};\ x \in \mathbb R\) beschrieben, den glockenförmigen Funktionsgraph nennt man Gauß-Kurve (nach dem berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777–1855). Die Verteilungsfunktion (kumulierte Verteilung, Summenverteilung) ist das uneigentliche Integral \(\displaystyle \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^x...

  • Notwendige und hinreichende Kriterien

    Vor allem bei der Kurvendiskussion, aber auch in anderen mathematischen Bereichen unterscheidet man zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen (oder Kriterien) für einen Sachverhalt oder das Eintreten eines Ereignisses. Letztlich handelt es sich um ein rein logisches Problem. Eine notwendige Bedingung A muss eintreten, damit das Ereignis B geschieht, es ist aber nicht gesagt, dass das dann auch tatsächlich so ist. Beispielsweise muss ein Schüler in die Schule gehen, um dem Unterricht zu folgen. Er könnte aber auch hingehen und aus dem Fenster sehen … Formal kann man sagen: „ohne A kein...

  • Nullfolgen

    Eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert 0 nennt man eine Nullfolge. Beispiele: Rationale Terme, bei den das Nennerpolynom von höherem Grad ist als das Zählerpolynom: \(\displaystyle \left( \frac{1}{n^2} \right)\), \(\displaystyle \left( \frac{2-n}{n^3} \right)\) usw. Auch alternierende Folgen können Nullfolgen sein, z. B. \(\displaystyle \left( \frac{ (-1)^n}{n} \right)\). (e–n), vgl. die Exponentialfunktion. Wenn eine Folge (an) den Grenzwert g hat, dann ist die Folge (an – g) eine Nullfolge.

  • Nullhypothese

    Bei einem Hypothesentest ist die Nullhypothese H0 diejenige Annahme, die für das erwartete Ergebnis steht, z. B. „der Würfel ist fair“. Für diesen Fall ist in der Regel die Wahrscheinlichkeitsverteilung der untersuchten Zufallsvariable bekannt, meist ist es eine Binomial- oder eine Normalverteilung. Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art berechnen, also dafür, dass H0 abgelehnt wird, obwohl die Hypothese tatsächlich zutrifft. Es ist wichtig zu betonen, dass die Nichtablehnung von H0 aufgrund eines Testergebnisses keinen „Beweis“ für die Richtigkeit von H0 darstellt. Es...

  • Nullstellen

    Unter einer Nullstelle versteht man bei einer Funktion f einen x-Wert \(x_0 \in D_f\), dessen Funktionswert f(x0) = 0 ist. Der Punkt (0|x0) ist damit ein Schnitt- oder Berührpunkt des Funktionsgraphen von f mit der x-Achse. Man findet die Nullstellen einer Funktion durch Lösen der Gleichung f(x0) = 0. Dabei kann es, etwa bei rationalen oder Potenzfunktionen, dazu kommen, dass eine bestimmte Stelle mehrfach als Lösung ermittelt wird. Beispielsweise ist bei der Normalparabel y = x2 der Ursprung einer sog. doppelte Nullstelle. Allgemein gilt: Wenn ein x-Wert eine doppelte, vierfache, sechsfache...

  • Numerus (Algebra)

    Beim Logarithmus ist der Numerus x diejenige Zahl, die man erhält, wenn man die Basis a mit dem Logarithmus r potenziert: \(\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x\) Anders ausgedrückt ist der Numerus das Argument der Logarithmusfunktion. Natürlich braucht der Numerus nicht unbedingt eine Zahl zu sein, sondern kann auch ein im Prinzip beliebig komplizierter Term sein.