Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten hat die Form
\(f\!: x \mapsto f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \ \ (m \in \mathbb Z, \ n \in \mathbb N)\)
Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen wesentlich davon ab, ob der Exponent insgesamt positiv oder negativ ist:
| \(\dfrac m n >0\) | \(\dfrac m n < 0\) | |
|---|---|---|
| (maximale) Definitionsmenge | \(D_f = \mathbb R_0^+\) | \(D_f = \mathbb R^+\) |
| Wertemenge | \(W_f = \mathbb R_0^+\) | \(W_f = \mathbb R^+\) |
| Funktionsgraph | Parabel \(\dfrac m n\)-ter Ordnung | Hyperbel \(\dfrac m n\)-ter Ordnung |
| Nullstelle | x = 0 (im Urpsrung) | keine |
| Monotonie | in ganz Df streng monoton steigend | in ganz Df streng monoton fallend |
| Extremstelle | x = 0 (globales Minimum) | keine |
| gemeinsame Punkte | (0|0) und (1|1) | (1|1) |
| Asymptoten | keine | x- Achse und y-Achse |
Generell sind die Funktionen \(\displaystyle f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\) und \(\displaystyle g(x) = x^{n/m} = \sqrt[m]{x^n}\) jeweils Umkehrfunktionen voneinander. Ihre Funktionsgraphen gehen durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden (Gerade y = x) ineinander über.
Beispiele:
Die Graphen verlaufen jeweils in den nicht schraffierten Bereichen.
- \(y = x^{\frac{5}{2}}\) und \(y = x^{\frac{2}{5}}\)
- \(y = x^6\) und \(y = x^{\frac{1}{6}}\)
- \(y = x^{-{\frac{2}{3}}}\) und \(y = x^{-{\frac{3}{2}}}\)
- \(y = x^{-4}\) und \(y = x^{-\frac{1}{4}}\)
