Direkt zum Inhalt
  • kartesisches Koordinatensystem

    Ein kartesisches Koordinatensystem (nach dem Mathematiker und Philosophen René Descartes, der sich lateinisch „Cartesius“ nannte) zeichnet sich von anderen Koordinatensystemen durch folgende Eigenschaften aus: Seine Achsen sind Geraden. Seine Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Seine Achsen schneiden sich im selben Punkt, dem Ursprung (dies ist allerdings auch bei anderen Koordinatensystem fast immer der Fall). In zwei Dimensionen nennt man das kartesische Koordinatensystem auch Achsenkreuz. Es dient vor allem zur Darstellung von Funktionsgraphen, insbesondere auch bei...

  • Kathetensatz

    Der dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschriebene Kathetensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist Teil der Satzgruppe des Pythagoras. Wenn man die Hypotenuse am Höhenfußpunkt in die beiden Strecken p und q teilt, dann besagt der Kathetensatz, dass jedes Kathetenquadrat so groß ist wie das Rechteck aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt, in Formeln: a2 = p · c und b2 = q · c Die Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man eine Seite parallelverschiebt). Die Umkehrung des Kathensatzes gilt...

  • Kegel

    Ein (gerader) Kegel ist ein Rotationskörper, der entsteht, wenn man ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten im Raum rotiert. Die Höhe h des Kegels ist die Länge der Kathete, um die rotiert wird. Die Grundfläche ist ein Kreis mit der Länge r der anderen Kathete als Radius und der Fläche \(G = \pi r^2\). Die Mantellinie s des Kegels ist die Hypotenuse des Dreiecks, mit dem Pythagoras-Satz gilt: r2 + h2 = s2 Für das Volumen des Kegels gilt die Formel \(\displaystyle V = \frac 1 3 \cdot G \cdot h = \frac 1 3 \pi r^2 h \), also genau wie bei der Pyramide „Grundfläche mal Höhe durch 3“...

  • Kegelschnitte

    Wenn man den Mantel eines Kegels parallel zu einer Ebene schneidet, erhält man je nach Neigungswinkel vier verschiedene Schnittkurven, die man dementsprechend Kegelschnitte nennt: einen Kreis (bzw. eine Kreislinie), eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Diese Kurven spielen nicht nur in der Geometrie, sondern auch der Analysis eine wichtige Rolle. So ist die Parabel der Graph einer quadratischen Funktion und die Hyperbel der Graph der Funktion \(y = f(x) = \displaystyle \frac 1 x\). Übrigens: Alle Bahnen von Himmelskörpern im Sonnensystem sind Kegelschnitte: Die Erdbahn, Mondbahn und...

  • Kehrwert

    Der Kehrwert \(\dfrac 1 x\) einer rationalen oder reellen Zahl x ist ihr inverses Element bezüglich der Multiplikation, also die Zahl, die mit x malgenommen die Zahl 1 ergibt (das neutrale Element der Multiplikation): \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\) Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch, der Kehrwert eines Stammbruchs immer eine ganze Zahl. Man erhält den Kehrwert eines beliebigen Bruches, indem man einfach Zähler und Nenner vertauscht: \(\dfrac a b \mapsto \dfrac b a\) Die Division von Brüchen bzw. das Auflösen von Doppelbrüchen lässt sich mit dem Kehrwert auf...

  • Kettenregel

    Die Kettenregel ist die Ableitungsregel für zwei verknüpfte (verkettete) Funktionen u, v: \((u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)\)

  • Klammerregeln

    Die Klammerregeln sind Rechenregeln, die insbesondere bei den Grundrechenarten (aber nicht nur dort!) angeben, in welcher Reihenfolge ein Term (Rechenausdruck) auszurechnen ist. Klammern mit positivem Vorzeichen können wegfallen: +(2a – b) = 2a – b Klammern mit negativen Vorzeichen können wegfallen, dabei muss aber bei jedem Summanden in der Klammer das Vorzeichen wechseln: –(a + b – c) = –a – b + c Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert (Ausmultiplizieren): 3(a + 2b – 3c) = 3a + 6b – 9c Klammern werden auch gesetzt, um deutlich zu machen, was alles zum...

  • Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

    Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist, wie der Name schon sagt, die kleinste Zahl, durch die man Zahlen teilen kann, ohne dass ein Rest bleibt. Man kann das kgV mithilfe einer Primfaktorzerlegung der Zahlen bestimmen, denn es ist das Produkt aus den höchsten auftretenden Primfaktoren. Beispiele: \(15 = {\bf 3} \cdot {\bf 5}, \ \ 6 = {\bf 2} \cdot {\bf 3} \ \ \Rightarrow \ \ \text{kgV}(15, 6) = {\bf 2} \cdot {\bf 3} \cdot {\bf 5} = 30\) \(4 = 2^2, \ \ 16 = {\bf 2^4} \ \ \Rightarrow \ \ \text{kgV}(4, 16) = {\bf 2^4} = 16\) \(9 = {\bf 2^3}, \ \ 11 = 11...

  • Knickfreiheit von Funktionsgraphen

    Man kann die Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion auch daran erkennen, dass ihr Funktionsgraph keinen „Knick“ aufweist: Ein Knick ist eine Stelle, an welcher die Steigung, also die erste Ableitung des Funktionsgraphen links und rechts unterschiedliche Werte aufweist. Dies bedeutet, dass linker und rechter Grenzwert des Differenzenquotienten dort unterschiedliche Werte haben. Ein Beispiel ist die Betragsfunktion im Punkt (0|0): Ihre Ableitung ist für alle negativen Zahlen –1, für alle positvien Zahlen +1 und für 0 nicht definiert.

  • Koeffizienten

    Der Begriff Koeffizient wird in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen gebraucht, allgemein kann man ihn als einen Vorfaktor bezeichnen. Bei einem Polynom sind die Koeffizienten die Zahlen, die vor den Potenzen der unabhängigen Variablen stehen. Bei einer Linearkombination aus Vektoren sind die Koeffizienten entsprechend die Zahlen vor den Basisvektoren. Die Einträge einer Matrix heißen oft auch Koeffizienten. Speziell bei linearen Gleichungssystemen (LGS) wird die Matrix der Koeffizienten Koeffizientenmatrix genannt. Manchmal werden auch die Komponenten eines Vektors als Koeffizienten...

  • Koeffizientenmatrix

    Man kann bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) die Koeffizienten auf den linken Seiten der Gleichungen (also die Vorfaktoren vor den Variablen) zu einer Matrix zusammenfassen, die man naheliegenderweise die Koeffizientenmatrix nennt. Wenn das System z. B. aus drei Gleichungen und drei Variablen (Unbekannten) besteht, \(\begin{matrix} &(\text I) &a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& a_{13} x_3 &=& b_1 \\ &(\text{II}) &a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& a_{23} x_3 &=& b_2 \\ &(\text{III}) &a_{31} x_1 &+& a_{32} x_2 &+& a_{33} x_3 &=& b_3 \end{matrix}\) ist die Koeffizientenmatrix die Matrix \(A =\begin...

  • Kombinationen

    Unter einer Kombination versteht man in der Kombinatorik eine ungeordnete Auswahl von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Anders als bei Variationen und Permutationen spielt hier also die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle. Wenn Wiederholungen ausgeschlossen sind, sind die Kombinationen einfach die Teilmengen dieser Menge. So hat z. B. die Menge {X; Y; Z} nur die drei verschiedenen 2-Kombinationen {X; Y}, {X; Z} und {Y; Z}, da nicht zwischen {X; Y} und {Y; X} unterschieden wird. Andernfalls kommen noch die drei Kombinationen {X; X}, {Y; Y} und {Z; Z} hinzu. Eine...

  • Kombinatorik

    Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Stochastik, das sich mit dem Abzählen von Möglichkeiten befasst, Zahlen oder allgemeiner Elemente von Mengen auszuwählen und anzuordnen. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn man bei einem Laplace-Experiment Wahrscheinlichkeiten nach dem Prinzip „günstige Fälle durch alle Fälle“ berechnen möchte. Das klassische Beispiel ist eine Lotterie: Man muss herausfinden, wie viele Ausgänge der Lotterie einen Gewinn versprechen und wie viele Ausgänge es insgesamt gibt. Dabei müssen die beiden folgenden Fragen beachtet bzw. geklärt werden: Kommt es auf die...

  • Kommaschreibweise

    Mit Kommaschreibweise bezeichnet man insbesondere die Angabe von Messwerten mit einem geeigneten Einheitenvorsatz, wodurch die Maßzahl einen kleinen Zahlenwert mit Nachkommastellen annimmt. Es sollten aber natürlich nie mehr Nachkommastellen angegeben werden, als die Genauigkeit der Messung zulässt. Allgemein ist mit „Kommaschreibweise“ manchmal auch einfach das Verwenden von Dezimalzahlen gemeint.

  • Kommutativgesetz

    Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Addition und Multiplikation von Zahlen sowie für die Addition von Vektoren und Matrizen und das Skalarprodukt von Vektoren gilt. Das Kreuzprodukt von Vektoren und die Matrizenmultiplikation sind dagegen nicht kommutativ! Für die Addition und Multiplikation lautet das Kommutativgesetz: \(\begin{matrix}a + b &=& b + a\\ a · b &=& b · a \end{matrix}\) Beispiele: \(\begin{matrix}3 + 5 &=& 8 &=& 5 + 3 \\ 4 · 6 &=& 24 &=& 6 · 4 \end{matrix} \) Für Differenzen und Divisionen gilt das Kommutativgesetz...

  • Komplementärregel

    Bei einem Zufallsexperiment die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis A und zugehörigem Gegenereignis \(\bar A\) zusammen immer 1 ergeben. Dies ist immer wahr, weil die Menge \(A \cap \bar A\) immer gleich der ganzen Ergebnismenge \(\Omega\), also dem sicheren Ereignis ist. Beispiel: Bei einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs \(\displaystyle \frac{1}{6}\). Das Gegenereignis „keine Sechs“, also die Menge {1; 2; 3; 4; 5} hat die Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle \frac{5}{6}\), das Ereignis „eine Sechs oder keine Sechs“ die Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle...

  • Konfidenzintervall

    Das Konfidenz- oder Vertrauensintervall ist bei der Schätzung von statistischen Parametern ein Bereich um den Schätzwert, in dem sich der wahre Parameterwert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau) befindet. Beispiel: Es wird der Erwartungswert \(\mu\) der Körpergröße aller Einwohner einer Stadt anhand einer statistischen Erhebung geschätzt. Die Schätzung ergibt, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die mittlere Körpergröße in der Stadt bei 1,78 \(\pm\)0,05 m liegt. Der Schätzwert ist dann 1,78 m, das Konfidenzintervall ist das abgeschlossene Intervall [1,73 m; 1,83 m]...

  • Kongruenz

    Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn es eine Abbildung (eine sog. Bewegung oder Kongruenzabbildung) gibt, mit der man die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringen kann. Daher sagt man statt „kongruenz“ oft auch „deckungsgleich“. Der Ausdruck Bewegung für eine Kongruenzabbildung ist übrigens ganz wörtlich gemeint: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sich das eine durch Verschieben oder Drehen so „bewegen“ lässt, dass es das andere exakt abdeckt. Allerdings muss man das Dreieck dafür unter Umständen aus der Ebene herausbewegen: Eine Geradenspiegelung kann man nur dann mit einer...

  • Kongruenzabbildungen

    Geometrische Abbildungen, die kongruente Figuren aufeinander abbilden. „Kongruent“ bedeutet dabei, dass Urbild und Abbild einer Kongruenzabbildung deckungsgleich sind. Der Begriff Kongruenzabbildung ist im Prinzip gleichbedeutend mit „Bewegung“. Allerdings sagt man Bewegung nicht nur Abbildungen im Zweidimensionalen, sondern auch zu räumlichen Abbildungen.

  • Kongruenzsätze

    Die vier Kongruenzsätze für Dreiecke geben an, wann zwei Dreiecke zueinander kongruent bzw. deckungsgleich sind. Kongruente Dreiecke stimmen in allen Eigenschaften außer ihrer Lage in der Ebene überein: Seitenlängen, Innen- und Außenwinkel, Höhen, Flächeninhalt, Umfang, … In den folgenden vier Fällen reichen drei Hauptgrößen (Seitenlängen und Winkel), um die Gestalt eines Dreiecks eindeutig festzulegen und es zu konstruieren. Die Forderung, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, ist schwächer als die nach Kongruenz, dazu genügen unter Umständen auch nur zwei Größen. Kongruenzsatz SSS Kongruenzsatz...

  • Konkav

    Eine konkave Figur bzw. ein konkaver Körper besitzt „Einstülpungen“ oder Löcher. Dies bedeutet (und das ist auch die formale Definition), dass nicht alle Verbindungslinien zwischen zwei Punkten der Figur oder des Körpers vollständig im Inneren liegen, es gibt also mindestens zwei Punkte A und B, deren Verbindungsstrecke \(\overline{AB}\) die Figur bzw. den Körper mindestens einmal verlässt. Konkave Figuren sind der Sterne, Ringe oder Sicheln, konkave Körper der Torus (Donut) oder Croissants. Das Gegenteil von konkav ist konvex. In der Analysis nennt man Funktionsgraphen mit Linkskrümmung...

  • Kontingenztafel

    Eine Kontingenztafel ist eine Verallgemeinerung der Vierfeldertafel auf den Fall, dass die beiden untersuchten statistischen Merkmale nicht nur zwei Ausprägungen haben („ist da“, „ist nicht da“), sondern jeweils k bzw. n verschiedene. Andere Bezeichnungen sind Mehrfeldertafel und Kreuztabelle. Eine solche Tabelle hat dann die folgende Form (die Endsumme 1 in der Zelle ganz unten rechts ergibt sich natürlich nur, wenn man relative Häufigkeiten aufträgt, andernfalls steht dort die Gesamtzahl aller Beobachtungen bzw. der Stichprobenumfang): Merkmalsausprägung b1 b2 … bn Summe a1 h11 h12 … h1n h...

  • Konvergenz und Divergenz

    Wenn eine Zahlenfolge (an) oder Funktion f(x) sich für große Werte von n bzw. x einem bestimmten Grenzwert beliebig annähert, nennt man sie konvergent. Wenn kein Grenzwert existiert, liegt Divergenz vor. Funktionen können auch in der Umgebung von bestimmten x-Werten, sog. Polstellen, über alle Maßen wachsen, also divergieren.

  • Konvex

    Eine konvexe Figur bzw. ein konvexer Körper besitzt weder „Einstülpungen“ noch Löcher. Dies bedeutet (und das ist auch die formale Definition), dass alle Verbindungslinien zwischen zwei Punkten der Figur oder des Körpers vollständig im Inneren liegen, man kann also immer „von A nach B“ kommen, ohne die Figur bzw. den Körper zu verlassen. Kurz: Eine Figur ist konvex, wenn sie mit je zwei Punkten A und B auch die Verbindungsstrecke \(\overline{AB}\) enthält. Konvexe Figuren sind z. B. Dreiecke, Quadrate und alle anderen regelmäßigen Polygone sowie Kreise, konvexe Körper Würfel, Pyramiden oder...

  • Koordinatenform

    Die Koordinatenform ist eine Beschreibung von Geraden und Ebenen durch eine lineare Gleichung in den zwei bzw. drei Koordinaten des Koordinatensystems. Bei einer Geraden mit den Koordinaten x und y lautet diese Gleichung ax + by = k bei einer Ebene (Koordinaten x, y und z) ax + by + cz = k Die Koeffizienten a, b (und c) sind dabei die Komponenten eines Normalenvektors \(\vec n = \begin{pmatrix} a \\ b\\c \end{pmatrix}\), also eines Vektors, der senkrecht auf der Geraden bzw. Ebene steht. Man kann daher sehr einfach von der Koordinatenform zur Normalform gelangen, indem man nämlich einfach die...

  • Koordinatensystem

    Ein Koordinatensystem ist ein Bezugsrahmen, in dem man die Position eines Punkts eindeutig durch Zahlen beschreiben kann. Wie viele Zahlen nötig sind, hängt davon ab, mit wie vielen „Dimensionen“ man es zu tun hat: In der zweidimensionalen Ebene oder auf der ebenfalls zweidimensionalen Erdoberfläche reichen zwei Zahlen (x und y bzw. geografische Breite und Länge), im dreidimensionalen Raum müssen es drei Zahlen sein (Länge, Breite, Tiefe oder Rechtswert, Hochwert, Meereshöhe). Übrigens kann man auch die Zahlengerade als ein Koordinatensystem ansehen: nämlich eines mit nur einer Dimension. Man...

  • Kopfrechnen

    Auch in Zeiten von grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) und Smartphone-Apps ist das Kopfrechnen, also das Rechnen ohne elektronische oder sonstige Hilfsmittel, eine nützliche Fähigkeit. Sie hilft nicht nur beim Rechnen, wenn mal alle Hilfsmittel ausgefallen sein sollten, sondern auch beim Abschätzen, ob eine elektronische ermittelte Lösung plausibel ist oder man sich möglicherweise tödlich vertippt hat. Beim Kopfrechnen kommt es wesentlich darauf an, Rechenvorteile auszunutzen: Vertauschen und Zusammenfassen von Rechenoperationen Zerlegen von Zahlen in Summen oder Produkte Anwenden von...

  • Körper (Geometrie)

    In der Geometrie ist ein Körper das dreidimensionale Gegenstück zu einer Figur, also eine Punktmenge, die eine (zweidimensionale) äußere Begrenzung besitzt, die Oberfläche, sodass man eindeutig sagen kann, ob ein beliebiger Punkt in dem Körper oder außerhalb davon liegt. In der Schule behandelt man einerseits vor allem Polyeder, also Körper, deren Oberfläche aus lauter Polygonen (Vielecken) besteht, die an den Kanten des Polyeders aneinanderstoßen. Andererseits sind auch Körper von Interesse, deren Oberfläche oder Schnittflächen Kreise enthalten: Kugeln, Zylinder und Kegel. Man kann Körper...

  • Körper (Zahlenmenge)

    Eine nichtleere Menge von Zahlen heißt Körper, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: Es gibt die zwei Rechenoperationen Addition und Multiplikation, für die jeweils das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gelten. Jede Summe und jedes Produkt von zwei Elementen des Körpers sind ebenfalls Elemente des Körpers. Addition und Multiplikation besitzen jeweils ein neutrales Element (0 bzw. 1) und zu jedem Element x der Menge gibt es sowohl ein additives (–x) als auch ein multiplikatives (\(\dfrac 1 x\)) inverses Element (mit Ausnahme der 0, die ist ihr eigenes additives Inverses, hat aber kein...

  • Korrelationskoeffizient

    Der Korrelationskoeffizient r ist ein Maß dafür, wie gut eine mit linearer Regression berechnete Ausgleichsgerade die experimentellen Werte beschreibt. Für zwei Zufallsgrößen X und Y, für die bei einer Messung die n Wertepaare (xi; yi) bestimmt wurden, gilt die Formel \(\displaystyle r = \frac{ \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar{x} )( y_i - \bar{y} ) }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar{x} )^2 \cdot \sum_{i=1}^n ( y_i - \bar{y} )^2 } }\) Dabei sind \(\bar{x}\) und \(\bar{y}\) die arithmetischen Mittelwerte der xi bzw. yi. Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten ist das Bestimmtheitsmaß r2. Während die...

  • Kosinusfunktion

    Die Kosinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion, welche den vom rechtwinkligen Dreieck bekannten Kosinus eines Winkels („\(\cos \varphi\)“) zu einer auf ganz \(\mathbb R\) definierten Funktion erweitert. Dazu wird das Argument im Bogenmaß angegeben, also als Zahlenwert, wobei der rechte Winkel (±90°) dem Wert \(\displaystyle \pm \frac \pi 2\) und der Vollwinkel dem Wert \(2\pi\) entspricht. Die Kosinusfunktion ist periodisch, es gilt \(\cos x = \cos(x + k \cdot 2\pi) \ \ (k \in \mathbb Z)\). Der Definitionsbereich ist, wie gesagt, \(D_f = \mathbb R\), der Wertebereich ist Wf = [–1; 1]...

  • Kosinussatz

    Der Kosinussatz ist eine Erweiterung des Pythagoras-Satzes auf allgemeine Dreiecke, wo bei zu den Quadraten der Seitenlängen noch ein weiterer, vom Kosinus eines Winkels abhängiger Term dazukommt (daher der Name): \(\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha\) \(\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos \beta\) \(\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma\) Man kann mit Kosinussatz und Sinussatz auch die Kongruenzsätze für Dreiecke beweisen bzw. aus den dort angebenen Hauptgrößen alle übrigen berechnen – was meist wesentlich weniger Aufwand macht als die (eindeutige) Konstruktion mit...

  • Kotangensfunktion

    Der Kotangens, Zeichen cot, ist eine trigonometrische Funktion, die in der Schule heute nicht mehr vorrangig behandelt wird. Dies liegt daran, dass der Kotangens der Kehrwert des Tangens ist und daher alle wesentlichen Eigenschaften schon von der Tangensfunktion her bekannt sind.

  • Kreis

    Ein Kreis ist eine geometrische Kurve bzw. Figur, für die es zwei mögliche Definitionen gibt: Alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand haben, dieser Punkt ist der Mittelpunkt M des Kreises. Der konstante Abstand zum Mittelpunkt ist der Radius r des Kreises. So definiert ist ein Kreis eine gekrümmte, in sich geschlossene Linie bzw. Kurve. Alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt höchsten einen bestimmten Abstand r haben, dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. In diesem Fall ist der Kreis eine „gefüllte“ runde Fläche. Um Missverständnissen vorzubeugen, sollte man...

  • Kreisdiagramm

    Das Kreisdiagramm ist eine grafische Darstellung von statistischen Erhebungen. Ein Kreisdiagramm eignet sich besonders gut, um Anteile und relative Häufigkeiten von Merkmalsausprägungen darzustellen. Aber auch absolute Häufigkeiten lassen sich damit visualisieren. Jeder Kreissektor entspricht dabei einer Merkmalsausprägung. Die Größe des Sektors wird berechnet, indem man die Häufigkeiten in Winkel umrechnet. Beispiel: Bestandteile der Atmosphäre Stickstoff: 78 % Sauerstoff: 21 % sonstige Bestandteile: 1 %

  • Kreiszahl π (Pi)

    Die Kreiszahl \(\pi\) („Pi“, auch: Ludolph’sche Zahl) ist eine irrationale Zahl, die in vielen Gebieten der Mathematik eine große Rolle spielt. In der Geometrie ist sie das Verhältnis aus Umfang U und Durchmesser d eines Kreises mit Radius r: \(\pi = \displaystyle \frac U d \ \Leftrightarrow \ U = 2\pi r\) Dies gilt für jeden beliebigen Kreis – das bedeutet, dass alle Kreise einander im geometrischen Sinn ähnlich sind. Auf 31 Nachkommastellen genau ist \(\pi\) = 3,141.592.653.589.793.238.462.643.383.279.5… Brauchbare Näherungswerte für \(\pi\) sind 3,14, \(\displaystyle 3\!\frac 1 7\) oder \(...

  • Kreuzprodukt

    Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt die zweite Möglichkeit, zwei 3er-Vektoren (Vektoren mit drei Komponenten) miteinander zu multiplizieren. Anders als bei letzterem, wo das Ergebnis eine Zahl, also ein Skalar ist, ergibt sich beim Kreuzprodukt (kein Kreuz, sondern) ein Vektor, weswegen man auch vom Vektorprodukt spricht. Die häufiger verwendete Bezeichnung „Kreuzprodukt“ kommt daher, dass das Multiplikationszeichen ein „ד ist. Das Kreuzprodukt \(\vec a \times \vec b\) zweier dreikomponentiger Vektoren \(\vec a \) und \(\vec b\) ist ebenfalls ein Vektor mit drei Komponenten, steht...

  • Kreuztabelle

    Eine andere Bezeichnung für eine Kontingenztafel bzw. eine Vierfeldertafel (also eine Kontingenztafel mit nur vier Merkmalskombinationen).

  • Krümmung von Flächen

    Nicht nur Kurven (insbesondere Funktionsgraphen) können gekrümmt sein, sondern auch Flächen. Ein gutes Beispiel für eine gekrümmte Fläche ist die Oberfläche der annähernd kugelförmigen Erde. Anders als in der (flachen) Ebene gelangt man, egal wohin man in gerader Richtung geht, irgendwann wieder an den Ausgangspunkt. Und anders als in der Ebene kann man der Erdoberfläche eine von geraden Seiten begrenzte Figur mit nur zwei Ecken bewundern: Solch ein Zweieck hat seine beiden Ecken am Nord- und Südpol, die Seiten sind Längenkreise (Meridiane). Das wahrscheinlich einfachste Kriterium dafür, ob...

  • Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

    Das Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen lässt sich anschaulich folgendermaßen beschreiben: Wenn man (in Gedanken) mit dem Fahrrad den Graph von links nach rechts (also von negativen zu positiven x-Werten) und den Lenker nach rechts einschlägt, hat der Graph Rechtskrümmung bzw. ist konkav. Muss man den gedanklichen Fahrradlenker nach links einschlagen, hat der Graph Linkskrümmung bzw. ist konvex. Hält man den Lenker gerade, ist auch der Graph eine Gerade und der Graph hat die Krümmung 0. Mathematisch entspricht die Krümmung des Funktionsgraphen dem Zahlenwert der zweiten Ableitung \(f''(x)\...

  • Kubische Gleichungen

    Eine kubische Gleichungen ist eine Polynomgleichung dritten Grades. Der Name kommt daher, dass 3 die höchste Potenz der Variablen x ist, genau wie bei der Volumenformel eines Würfels (lateinisch „cubus“). Kubische Gleichungen kann man dann „lösen“, wenn man eine Lösung x1 entweder schon kennt oder durch Ausprobieren oder Genialität errät (Tipp: In Schulaufgaben ist in solchen Fällen sehr häufig 1 oder –1 eine solche Lösung). Dann dividiert man das kubische Polynom durch den Faktor (x – x1) (Polynomdivision). Man erhält dann eine quadratische Gleichung, und mit Mitternachts- oder pq-Formel...

  • Kugel

    Die Kugel ist der symmetrischste geometrische Körper, den es gibt. Sie ist punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunkts M, drehsymmetrisch um jede Gerade durch M (und zwar um jeden beliebigen Winkel) und spiegelsymmetrisch bezüglich jeder Ebene durch M. Ihre Oberfläche ist eine gekrümmte Fläche und ein gutes Modell für die Erdoberfläche, auf der wir leben (allerdings ist die Erde nur angenähert eine Kugel). Als Punktmenge definiert man die Kugel als die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Mittelpunkt M (höchstens) den räumlichen Abstand r haben. Jede Schnittfläche einer Kugel ist ein...

  • Kugelkoordinaten

    Statt durch kartesische Koordinaten kann die Lage eines Punkts im Koordinatensystem auch durch Kugelkoordinaten angegeben werden. Deren Komponenten sind der Abstand r vom Ursprung und zwei Winkel auf der Oberfläche der Einheitskugel, die im Wesentlichen den aus der Geografie bekannten Längen- und Breitengraden entsprechen: Der Winkel \(\varphi\) (der „Längenwinkel“) läuft dabei von 0° bis 360° (im Bogenmaß von 0 bis \(2\pi\)) einmal um den Äquator, der Winkel \(\vartheta\) (der „Breitenwinkel“) von –90° bis +90° (im Bogenmaß von \(\displaystyle -\!\frac{\pi}{2}\) bis \(\displaystyle +\!\frac{...

  • Kumulative Häufigkeit

    In der beschreibenden Statistik ist die kumulative oder Summenhäufigkeit die aufsummierte Häufigkeit der ersten j Datenwerte einer Stichprobe. In ähnlicher Weise spricht man auch von kumulativen oder kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, so gibt die kumulative Binomialverteilung an, wie wahrscheinlich es ist, bei n Versuchen höchstens k „Treffer“ zu erzielen.

  • Kumulierte Binomialverteilung

    Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette höchstens k-mal Erfolg gezogen wird. Wenn die Zufallsvariable X die Zahl der „Erfolge“ beschreibt, ist \(P(X \le k) = \displaystyle F_{n;p}(k) = \sum_{j=0}^k B_{n; p}(j)= ​ \sum_{j=0}^k \begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix} \cdot p^j \cdot (1-p)^{n-j}\) dabei sind Bn;p(k) die Binomialverteilung, \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \le p \le 1 \), \(k \in \{0; 1; \ldots n\}\) und X ist die Zufallsvariable, die beschreibt, wie oft bei n Versuchen „Erfolg“ herauskommt. Der Ausdruck \(\begin{pmatrix}n\\k\end...

  • Kumulierte Verteilung

    Eine kumulierte oder kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung (auch Summenvertielung) gibt die Wahrscheinlichkeit von „Höchstens-Ereignissen“ an: „Wie wahrscheinlich ist es, dass ich höchstens zwei Sechsen bekomme, wenn ich fünfmal würfele?“ In diesem Fall bekommt man die Antwort mit der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 2) = F_{5;\frac{1}{6}}(2) = \displaystyle \sum_{j=0}^2 B_{5; \frac{1}{6}}(j)= ​ \sum_{j=0}^2 \begin{pmatrix}5\\j\end{pmatrix} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^j \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-j}\) Bn;p(k) ist dabei die (nichtkumulierte) Binomialverteilung und die...

  • Kurvendiagramme

    Kurven- und Punktdiagramme sind grafische Darstellungen von statistischen Erhebungen, durch die die Ergebnisse schneller erfasst werden können und auch einprägsamer werden. Diese beiden Diagrammtypen eignen sich z. B. gut, wenn man betrachten möchte, wie sich die Werte bzw. Häufigkeiten im Lauf der Zeit verändern. Wie bei der Darstellung eines Funktionsgraphen im Achsenkreuz trägt man dann auf der y-Achse die Datenwerte oder deren Häufigkeiten auf und auf der x-Achse den jeweiligen Zeitpunkt. daher werden diese Diagramme manchmal auch xy-Diagramme genannt. (Man kann aber die Daten auch auf...

  • Kurvendiskussion

    Unter einer Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung bzw. Berechnung der geometrischen Eigenschaften von Funktionsgraphen, insbesondere mithilfe der Differenzialrechnung und gegebenfalls auch der Integralrechnung. Die wichtigsten Punkte dabei sind: Definitions- und Wertemenge, Symmetrien des Funktionsgraphen, insbesondere Spiegelsymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung, Grenzwerte der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs, d. h. bei Polstellen und für \(x \rightarrow \pm \infty\), Monotonieverhalten, Schnittpunkte mit x- und y-Achse, d. h. Ermittlung von...