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  • Halbebene

    Jede Gerade, die volständig in einer Ebene liegt, zerlegt diese Ebene in zwei Halbebenen. Beispielsweise zerlegt die y-Achse im kartesischen Koordinatensystem die Ebene aller (x; y)-Punkte in eine „linke“ und eine „rechte“ Halbebene.

  • Halbgerade

    Wenn eine Gerade in einem Punkt aufgeteilt wird, entstehen zwei Halbgeraden. Eine Halbgerade „beginnt“ also in einem Punkt und setzt sich dann in gerade Linie bis ins Unendliche fort. Eine andere Bezeichnung für eine Halbgerade ist Strahl. Ein Beispiel für eine Halbgerade ist die Menge der nichtnegativen Zahlen auf der Zahlengeraden – sie beginnt bei 0 und läuft bis \(+\infty\), sie wird daher auch Zahlenstrahl genannt. Alle Strahlen der Ebene mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden ein Strahlenbüschel.

  • Häufigkeit

    In der beschreibenden Statistik gibt die Häufigkeit an, wie oft in einer Stichprobe eine Ausprägung eines statistisches Merkmal auftritt. Beispielsweise hat in einer Schulklasse das Merkmal „Geschlecht“ die Ausprägungen „Mädchen“ und „Junge“, die Häufigkeiten dieser Merkmalsausprägungen geben dann an, wie viele Mädchen und Jungen in der Klasse sind. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung steht die Häufigkeit dafür, wie oft ein Ereignis A bei einer Folge von n Versuchen desselben Zufallsexperimentes auftritt. Man unterscheidet die absolute Häufigkeit (absolute Anzahl k der Merkmalsausprägungen...

  • Häufigkeitstabelle

    In der beschreibenden Statistik eine tabellarische Darstellung der untersuchten Merkmale sowie der absoluten und relativen Häufigkeiten ihres jeweiligen Auftretens.

  • Hauptnenner

    Der Hauptnenner von zwei oder mehr Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ihrer Nenner. Man benötigt den Hauptnenner, wenn man Brüche mit unterschiedlichen Nennern, also „ungleichnamige“ Brüche vergleichen, addieren oder subtrahieren möchte. Um zwei Brüche „auf den Hauptnenner zu bringen“ bzw. „gleichnamig zu machen“, geht man folgendermaßen vor: Primfaktoren beider Nenner bestimmen Man multipliziert alle Primfaktoren, die in beiden Nennern auftauchen, und jeweils in der größeren auftretenden Potenz. Dies ist der Hauptnenner. Man erweitert die beiden Brüche so, dass im Nenner die...

  • Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt im Wesentlichen, dass die Ableitung die Umkehrung der Integration ist – und umgekehrt. Formal formuliert man das so: Jede Integralfunktion F(x) ist differenzierbar, wenn ihr Integrand f(x) stetig ist, und die Ableitung ist gerade dieser Integrand: \(\displaystyle F(x) = \int_a^xf(t) \,\text dt \ \ \Rightarrow \ \ F'(x) = f(x) \quad (f \text{ stetig in } I ; \ a, x \in I)\) Beispiele: \(\displaystyle F (x) = \int\limits_{0}^{x} (2t+4)\,\text dt \ \ (x \in \mathbb{R}) \ \ \Rightarrow \ \ F' (x) = 2x + 4\) \(\displaystyle F (x) = \int...

  • Hessen: Ablauf der Abiturprüfung

    Prüfungsteile Es sind drei voneinander unabhängige Aufgabenvorschläge, und zwar jeweils einer aus den drei Sachgebieten Analysis, lineare Algebra/analytische Geometrie und Stochastik zu bearbeiten. Die Gewichtung der Vorschläge wird im Verhältnis 4:3:3 vorgenommen. Es werden für die folgenden drei Technologiekategorien Vorschläge vorgelegt: wissenschaftlich-technischer Taschenrechner ohne Grafik, ohne CAS (WTR) grafikfähiger Taschenrechner ohne CAS (GTR) computeralgebrafähiger Taschencomputer oder Computeralgebrasystem auf einem PC (CAS) Taschenrechnermodelle der Kategorie „wissenschaftlich...

  • Hesse’sche Normalform

    Die Hesse’sche Normalform (nach dem Mathematiker Otto Hesse, auch Hesse’sche Normalenform, HNF) ist ein Spezialfall der Normal(en)form und damit eine spezielle Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn ein Normalenvektor bereits bekannt und dieser auch bereits normiert (also ein Normaleneinheitsvektor \(\vec n^0\) bzw. \(\hat n\)) ist. Wenn eine Gerade oder Ebene den Normaleneinheitsvektor \(\hat n\) und den (senkrechten) Abstand d vom Koordinatenursprung hat, lautet die Hesse’sche Normalform der Ebenengleichung \(E: \ \ \hat n...

  • Hexaeder

    Hexaeder (griech., wörtlich „Sechsflächner“) ist eine andere Bezeichnung für einen Würfel, vor allem in Zusammenhang mit den übrigen platonischen Körpern.

  • Hochpunkt

    Ein Funktionsgraph hat im Punkt (x0|f(x0)) einen lokalen oder globalen Hochpunkt, wenn x0 ein Maximum (siehe Extremstellen und Extrempunkte) der betreffenden Funktion ist.

  • Höhen

    Die Höhe in einem Dreieck ist der senkrechte Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite bzw. das Lot der Ecke auf diese Seite. Der Lotfußpunkt heißt in diesem Fall Höhenfußpunkt. Die drei Höhen ha, hb und hc schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Die Höhen in \(\triangle ABC\) sind gleichzeitig die Mittelsenkrechten (Mittellote) in \(\triangle A'B'C'\), das von den Parallelen zu den Seiten von \(\triangle ABC\) durch die Eckpunkte von \(\triangle ABC\) gebildet wird. Die Höhe dient unter anderem zur Flächenberechnung: Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des...

  • Höhensatz

    Der dem griechischen Mathematiker Euklid zugeschriebene Höhensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke und ist Teil der Satzgruppe des Pythagoras. Wenn man die Hypotenuse am Höhenfußpunkt in die beiden Strecken p und q teilt, dann besagt der Höhensatz, dass das Höhenquadrat so groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten, in Formeln: h2 = p · q Die Beweisidee illustriert die nachstehende Bilderfolge (man beachte, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich bleibt, wenn man eine Seite parallelverschiebt). Die Umkehrung des Höhensatzes gilt ebenfalls: Wenn bei einem Dreieck hc die...

  • Homogene und inhomogene Gleichungssysteme

    Ein lineares Gleichungssystem (LGS) heißt homogen, wenn alle Koeffizienten auf der rechten Seite alle gleich null sind. In Matrixschreibweise (\(A\vec x = \vec b\)) bedeutet dies, dass der Vektor \(\vec b\) auf der rechten Seite gleich dem Nullvektor ist (\(\vec b = \vec 0\)). Wenn \(\vec b \ne \vec 0\), dann gibt es mindestens einen von 0 verschiedenen Koeffizienten auf der rechten Seite und das LGS ist inhomogen. Komponentenweise (hier mit 3 Unbekannten) sieht dies so aus: homogenes LGS inhomogenes LGS \(\begin{matrix} \text{(I)} &a_{11}x& +& a_{12}y&+&a_{13}z&= &0\\ \text{(II)} &a_{21}x& +&...

  • Horizontale Tangente eines Funktionsgraphen

    Das Vorliegen einer horizontalen Tangente an den Funktionsgraphen ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, dass sich an der betreffenden Stelle ein lokales oder globales Extremum befindet. Äquivalent dazu ist die Aussage, dass die erste Ableitung der Funktion verschwindet (den Wert null hat).

  • Hyperbel (Geometrie)

    Eine Hyperbel ist ein sog. Kegelschnitt, d. h. eine mathematische Kurve, die sich ergibt, wenn man die Exzentrizität einer Ellipse so weit steigert, dass sich die Figur gewissermaßen nicht mehr schließt (der Grenzfall zwischen Ellipse und Hyperbel ist die Parabel). Man kann eine Hyperbel auch durch die folgende Gleichung definieren: \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y = \pm \frac b a x\cdot \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}\) Das Zeichen „±“ deutet an, dass die Kurve aus zwei „Ästen“ besteht. Für \(x \rightarrow \pm \infty\) hat diese Kurve die Asymptoten \...

  • Hypothese

    Allgemein ist eine Hypothese eine plausible (vernünftig erscheinende), aber nicht bewiesene Annahme. In der beurteilenden Statistik betrachtet man oft Hypothesen über die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und prüft mit sogenannten Hypothesentests, ob diese Hypothesen angenommen oder abgelehnt (verworfen) werden sollten. Dazu wählt man eine Entscheidungsregel so, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung kleiner als ein vorgegebenes Signifikanzniveau bleibt. Dabei ist zu beachten, dass es Fehler 1. Art und 2. Art gibt und eine Verringerung des einen Fehlers in der Regel eine...

  • Hypothesentest

    Ein Hypothesentest oder Signifikanztest prüft anhand eines Zufallsexperiments (einer Stichprobe), ob eine Hypothese, also eine bestimmte Annahme über eine Wahrscheinlichkeit p zutrifft oder nicht. Das Risiko einer Fehlentscheidung soll dabei unter einer bestimmten Schwelle, dem sog. Signifikanzniveau liegen. Beispiel: Es wird angenommen, dass eine Münzwurf fair ist, also p = P(„Kopf“) = \(\frac{1}{2}\). Der Test besteht dann darin, die Münze z. B. 100-mal zu werfen. Fällt ungefähr 50-mal „Kopf“, nimmt man die Hypothese an. Die wesentliche Aufgabe beim Test ist nun zu bestimmen, wie weit das...