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  • Lagebeziehungen im Raum

    Mit dem Begriff „Lagebeziehung“ fasst man man in der Geometrie die Fragen nach Parallelität, Orthogonalität und gemeinsamen Punkten (Schnittpunkten bzw. -geraden) von Objekten zusammen. Während dies in der Ebene (also der zweidimensionalen Geometrie) oft noch relativ leicht zu beantworten ist (im Zweifelsfall mithilfe der Winkelfunktionen), braucht man im Raum dafür die Mittel der Analytischen Geometrie. Im Einzelnen betrachtet man Die Lage zweier Geraden: Wenn zwei Geraden keine gemeinsamen Punkte haben, sind sie parallel oder windschief, andernfalls haben sie entweder genau einen...

  • Lagebeziehungen von Funktionsgraphen

    Die Lagebeziehungen von Funktionsgraphen sind im Prinzip sehr ähnlich wie bei Geraden im Raum, allerdings beschränkt man sich zum einen auf die zweidimensionale Ebene mit dem kartesischen Koordinatensystem („Achsenkreuz“) und erlaubt dafür zum anderen auch gekrümmte Kurven, sofern sie als Graph einer differenzierbaren Funktion gegeben sind. Die Graphen von linearen Funktionen sind Geraden. Sind zwei solche Geraden durch die Funktionsgleichungen f1(x) = m1x + b1 und f2(x) = m2x + b2 gegeben, dann erhält man die x-Koordinate ihres Schnittpunkts durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen m1x +...

  • Lagemaße

    Ein Lagemaß ist ein statistischer Parameter (bzw. eine Kenngröße oder Maßzahl), die Auskunft über die Lage der Mehrzahl der Datenwerte einer Stichprobe gibt. Anders gesagt beantwortet ein Lagemaß die Frage: „Wie kann ich mit einem Wert bzw. einer Zahl meinen kompletten Datensatz möglichst gut zusammenfassen?“. Die wichtigsten Lagemaße sind: Mittelwerte (z. B. arithmetisches oder geometrisches Mittel) Median (Zentralwert) und allgemeiner Quantile Modalwert (Modus) Nicht jedes Lagemaß kann bei jedem Datensatz bestimmt werden. Für Median, Quantile und die verschiedenen Mittelwerte muss man die...

  • Längeneinheiten

    Längeneinheiten sind Vergleichswerte, mit den man Abstände oder Streckenlängen zahlenmäßig angeben kann. Die Grundeinheit oder Basiseinheit heißt Meter (m). Früher war 1 m als ein Vierzigmillionstel des Erdumfangs festgelegt, heute wird die Einheit auf ziemlich komplizierte, aber dafür umso genauere Weise mithilfe der Lichtgeschwindigkeit definiert. Für Längen, die deutlich größer oder kleiner als ein Meter sind, benutzt man Einheitenvorsätze: 1 Millimeter = 1 mm = \(\displaystyle \frac{1}{10}\) cm 1 Zentimeter = 1 cm = 10 mm = \(\displaystyle \frac{1}{10}\) dm 1 Dezimeter = 1 dm = 10 cm = \(...

  • Laplace-Experiment

    Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das typische Beispiel dafür ist das Werfen von einem fairen Würfel – alle sechs Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6. Allgemein beträgt bei einem Laplace-Experiment mit n möglichen Ausgängen (also mit einer Ergebnismenge aus n Elementen; \(|\Omega | = n\)) die Wahrscheinlichkeit der n Ergebnisse ai jeweils \(P(a_i)=\displaystyle \frac 1 n\). Benannt ist das Laplace-Experiment nach Pierre-Simon Laplace (1749–1827), einem der Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Für ein...

  • Leere Menge

    Die leere Menge ist eine Menge, die kein Element enthält. Man schreibt dafür entweder „\(\emptyset\)“ oder „{}“. Es gilt: Die leere Menge ist Teilmenge von jeder beliebigen Menge M: \(\emptyset \subset M\) Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge. Die Schnittmenge einer beliebigen Menge M mit der leeren Menge ist die leere Menge: \(M \cap \emptyset = \emptyset\) Die Vereinigungsmenge einer beliebigen Menge M mit der leeren Menge ist die Menge M selbst: \(M \cup \emptyset = M\)

  • Lineal

    Ein Lineal ist ein geometrisches Hilfsmittel, das einerseits zum Zeichnen von Linien dient (daher der Name), also von Strecken bzw. Geraden. Andererseits kann man damit Längen messen, sofern das Lineal eine Maßeinteilung (in Zentimetern oder Millimetern) hat. Bei den geometrischen Grundkonstruktionen ist außer dem Lineal nur der Zirkel erlaubt. Hier darf man allerdings mit dem Lineal keine Abstände ausmessen, sondern nur zeichnen.

  • Lineare Abbildungen

    Eine lineare Abbildung f ist, ganz allgemein gesprochen, eine Abbildung zwischen Zahlen oder anderen Objekten, die man addieren und mit Zahlen multiplizieren kann (siehe unten) und bei der „f(Objekt1 + Objekt2) = f(Objekt1) + f(Objekt2)“ gilt. Wenn man einfache Zahlen betrachtet, ist eine lineare Abbildung eine proportionale Zuordnung. Lineare Funktionen sind damit eng verwandt, aber streng genommen nicht ganz dasselbe. In der Analytischen Geometrie bilden lineare Abbildungen Figuren oder Körper längentreu aufeinander ab, alle Abstände bleiben also gleich groß. Für Vektoren bedeutet dass, dass...

  • Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

    Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie – anschaulich gesprochen – in dieselbe Richtung zeigen (kollinear sind), drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in derselben Ebene liegen (komplanar sind) oder sogar alle drei in dieselbe Richtung zeigen. Formaler definiert man die lineare Abhängigkeit so, dass eine Menge von n Vektoren dann linear abhängig ist, wenn sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Bei linear unabhängigen Vektoren ist das nicht möglich. (Beispielsweise kann man einen Vektor, der „nach oben“ zeigt, nicht aus zwei Vektoren...

  • Lineare Algebra

    Lineare Algebra ist ein häufig benutzter, aber ziemlich missverständlicher anderer Name für die Analytische Geometrie. Wörtlich genommen ist das Addieren und Multiplizieren von natürlichen Zahlen, etwa 1 + 1 = 2 oder 2 · 2 = 4, wie es die Schulanfänger in der Grundschule kennenlernen, „lineare Algebra“, weil die Zahlen zusammengerechnet werden (Algebra) und zwischen ihnen ein linearer Zusammenhang besteht. Tatsächlich aber steht der Ausdruck Lineare Algebra für lineare (und manchmal auch andere) Beziehungen zwischen Vektoren, also Objekten in der Ebene oder im Raum, weswegen die Bezeichnung...

  • Lineare Funktionen

    Eine lineare Funktion ist in der Analysis eine Funktion, deren Funktionsterm die Form y = f(x) = mx + b hat, auf ganz \(\mathbb R\) definiert ist und deren Werte in ganz \(\mathbb R\) liegen. Für ihre Definitions- und Wertemenge gilt also \(D_f = W_f = \mathbb R\), es sei denn, man hat den (ziemlich langweiligen) Fall m = 0: Dann ist \(D_f = \mathbb R\) und Wf = {b}. Wenn b = 0 ist, nennt man die lineare Funktion eine proportionale Funktion, die man auch proportionale Zuordnung nennt. Der Funktionsterm lautet dann einfach f(x) = mx und die Steigung m entspricht dem Proportionalitätsfaktor. Der...

  • Lineare Gleichungen

    Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der alle Variablen „linear“, d. h. in der ersten Potenz vorkommen. Beispiele: 0 = 3x + 5 1 = a + b + c Man kann einer linearen Gleichung eine etwaige Lösung entweder direkt ansehen oder sie leicht so umformen, dass dies möglich wird: \(0 = 3x + 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ 3x = -5 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = -\dfrac 5 3\) Eine lineare Gleichung mit einer Variablen hat immer entweder genau eine oder keine Lösung.

  • Lineare Gleichungssysteme (LGS)

    Wenn mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, nennt man dies ein lineares Gleichungssystem (LGS). Wenn es z. B. die drei Variabeln x1, x2 und x3 gibt, sieht ein allgemeines LGS aus drei Gleichungen folgendermaßen aus: \(\begin{matrix} \text{(I)} &a_{11}x_1& +& a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&= &b_1\\ \text{(II)} &a_{21}x_1& +& a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&= &b_2\\ \text{(III)} &a_{31}x_1& +& a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&= &b_3 \end{matrix}\) Die reellen Zahlen \(a_{11}, ... , a_{33}\) heißen die Koeffizienten. Wenn man diese zur Koeffizientenmatrix A = (aij), die drei Variablen zum Vektor \(\vec...

  • Lineare Regression

    Die lineare Regression ist eine statistische Methode, um die Daten aus einer Stichprobe oder einem Experiment durch eine angenommene lineare Funktion zu beschreiben. Den Graphen dieser Funktion nennt man auch Ausgleichsgerade. Es gibt einfache grafische Verfahren, um eine gute Näherung einer solchen Gerade zu bekommen. Rechnerisch lassen sich dagegen exakte Werte von Steigung m und Achsenabschnitt b derjenigen Geraden y = mx + b ermitteln, die am besten zu den Daten passt. „Passen“ bedeutet dabei, dass die über alle Datenpunkte summierte Abweichung minimal werden soll. In der Schule...

  • Lineare Ungleichungssysteme

    Lineare Ungleichungssysteme unterscheiden sich, wie der Name schon erahnen lässt, von Linearen Gleichungssystemen (LGS) darin, dass an die Stelle des Gleichheitszeichens ein anderes Vergleichszeichen tritt, z. B. „\(\le\)“ oder „>“ (Ungleichungen). Im Folgenden wird zunächst ein lineares Ungleichungssystem mit einer Variablen vorgestellt. Gesucht ist die Lösung des folgenden Systems aus zwei Ungleichungen (\(D = G = \mathbb R\)): \(\begin{matrix} \text{(I)} &4x& +&5&> &-3\\ \text{(II)} &8x& +&2&< &2 \end{matrix}\) Zunächst bestimmen wir die Teillösungsmengen von Ungleichung \(\text{(I) und (II...

  • Lineare Zuordnungen

    Eine lineare Zuordnung (lineare Funktion) hat die allgemeine Form: \(f(x)=m\cdot x+b\) Für b = 0 ist f(x) = mx eine proportionale Funktion und für m = 0 eine konstante Funktion. Beispiele: \(f_1(x)=2x\) mit m1 = 2, \(\displaystyle f_2(x)=-\frac{1}{4}x\) mit \(\displaystyle m_2=-\frac{1}{4}\) sowie \(f_3(x)=x+1\) mit m3 = 1 und b3 = 1

  • Lineares Wachstum

    Unter linearem Wachstum versteht man einen Wachstumvorgang, bei welchem die Änderungsrate konstant ist, also eine Größe in gleichen Zeiträumen immer um denselben Betrag zunimmt. (Wenn sie auf dieselbe Wese abnimmt, nennt man das in der Mathematik auch „Wachstum“, genauer gesagt ein lineares negatives Wachstum.) Eine konstante Änderungsrate bedeutet, dass die erste Ableitung der Wachstumsfunktion konstant ist, daher muss sie eine lineare Funktion sein. Während lineares Wachstum gut vorhersagbar ist, wird das exponentielle Wachstum oft unterschätzt.

  • Linearisierung von Funktionen

    Unter der Linearisierung einer differenzierbaren Funktion versteht man die Annäherung (Approximation) der Funktion in der Umgebung einer Stelle x0 durch die Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. Man muss dazu also die Geradengleichung der Tangenten an dieser Stelle bestimmen und außerdem sicherstellen, dass die Abweichung vom linearen Verlauf in der gewählten Umgebung nicht zu groß wird.

  • Linearkombination

    Eine Linearkombination von Vektoren ist eine (Vektor-)Summe dieser Vektoren, wobei jeder Summand noch mit einem Skalar multipliziert werden kann, den man – ähnlich wie bei einem Polynom – Koeffizient nennt: \(a_1\vec v_1 + a_2\vec v_2 + \ldots + a_n\vec v_n\) Die Koeffizienten sind hier die Zahlen a1, a2, …, an. Der Name „Linearkombination“ kommt daher, dass kein Vektor mit sich selbst (oder einem anderen Vektor) multipliziert wird, also nur „erste Potenzen“ von Vektoren auftreten. In der Ebene ist jede Linearkombination von mehr als zwei Vektoren linear abhängig, im Raum jede...

  • Liniendiagramm

    Andere Bezeichnung für Kurvendiagramme, insbesondere dann, wenn die Datenpunkte durch gerade Linien(stücke) verbunden werden.

  • Linkskrümmung

    Ein Funktionsgraph hat Linkskrümmung (bzw. ist konkav), wenn die zweite Ableitung der Funktion positiv ist. Das Krümmungsverhalten des Graphen bestimmt unter anderem über die Art seiner Extremstellen.

  • Linksseitiger Hypothesentest

    Ein einseitiger Hypothesentest heißt linksseitig, wenn die Alternativhypothese zur Nullhypothese p = p0 besagt, dass p kleiner als p0 ist, also „links davon“ liegt.

  • Logarithmensätze

    Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Regeln, die sog. Logarithmensätze: 1. Ein logarithmiertes Produkt wird zur Summe der Logarithmen der Faktoren: loga (x · y) = loga x + loga y 2. Ein logarithmierter Bruch wird zur Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner: \(\displaystyle \log_a \left( \frac x y \right) = \log_a x - \log_y\) 3. Eine logarithmierte Potenz wird zum Produkt aus Exponent und Logarithmus der Basis der Potenz: loga (xy) = y · loga x bzw. \(\displaystyle \log_a \left( x^{\frac y z } \right) = \frac y z \cdot \log_a x\) Für Wurzelausdrücke bedeutet die letzte...

  • Logarithmisches Integrieren

    Das logarithmische Integrieren bezeichnet eine spezielle Anwendung der Substitutionsregel für den Fall, dass der Integrand ein Bruch mit der Ableitung des Zählers im Nenner ist, also für ein Integral der Form \(\displaystyle \int_a^b\! \frac {f'(x) }{f(x)}\, \text dx\) Man substituiert dann t = f(x) und erhält \(\text d t = t' \text dx = f'(x) \text dx\) und damit \(\displaystyle \int_a^b\! \frac {f'(x) }{f(x)}\, dx = \int_{f(a)}^{f(b)}\! \frac {1 }{t}\, \text dt = \Big[\ln|t| \Big]_{f(a)}^{f(b)}\) bzw. \(\displaystyle \int\frac {f'(x) }{f(x)}\, dx = \int\frac {1 }{t}\, \text dt = \ln|t| +C =...

  • Logarithmus

    Der Logarithmus von x zur Basis a ist diejenige reelle Zahl r, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. x wird dabei auch der Numerus genannt. Man schreibt dies \(\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x \ \ (a \in \mathbb R^+\! \setminus \{1\}, \ x \in \mathbb R^+)\) und liest „Logarithmus von x zur Basis a“. Aus der Definition ergeben sich drei Sonderfälle: logaa = 1, da a1 = a, loga 1 = 0, da a0 = 1, loga ac = c, da ac = ac. Beispiele: log2 8 = 3, da 23 = 8, \(\displaystyle \log_4 \frac{1}{16} = - 2,\) da \(\displaystyle 4^{ - 2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\) \...

  • Logarithmusfunktionen

    Die Logarithmusfunktion \(f : x \mapsto f(x) = \log_a x\) bildet jede positive reelle Zahl x auf ihren Logarithmus zur (positiven) Basis a ab. Dabei ist allerdings a = 1 ausgeschlossen, da in diesem Fall der Logarithmus nicht sinnvoll definiert werden kann. Die maximale Definitionsmenge ist \(D_f = \mathbb R^+\), die Wertemenge ist dann \(W_f = \mathbb R\). Achtung: Der Logarithmus ist für negative Argumente oder für x = 0 nicht definiert. Daher muss man bei Funktionen, die einen Logarithmus-Term enthalten, immer darauf achten, dass dessen Argument positiv bleibt. Andernfalls muss man die...

  • Logistisches Wachstum

    Das logistische Wachstum ist ein Modell für einen Wachstumsprozess, der zunächst ähnlich wie das exponentielle Wachstum stark ansteigende Werte zeigt, dann aber aufgrund äußerer Beschränkungen sich einem Maximalwert annähert. Das Wachstum der betrachteten Größe lässt sich mit der Funktion \(\displaystyle f(x) = \frac{\text e^x}{1 + \text e^x}\) beschreiben, dabei ist e die Euler’sche Zahl.

  • Lokales Extremum

    Ein lokales (relatives) Extremum ist ein Funktionswert, der innerhalb einer Umgebung bzw. eines Intervalls entweder größer oder gleich (absolutes Maximum) oder kleiner oder gleich (absolutes Minimum) allen anderen Werten einer Funktion ist. Im Gegensatz dazu ist ein globales Extremum auf dem gesamten Definitionsbereich maximal bzw. minimal.

  • Lösungsmenge

    Die Lösungsmenge L einer Gleichung oder Ungleichung enthält alle Elemente der Definitionsmenge D, welche zu einer wahren Aussage führen, sofern sie für die Variable(n) eingesetzt werden. Handelt es sich dabei um einige einzelne Werte, gibt man die Lösungsmenge meist durch Aufzählen aller Elemente an, z. B.\(x^2= 1 \ \ \Rightarrow \ \ L=\{ -1; 1 \}\) Bei sehr vielen oder unendlich vielen Lösungen gibt es verschiedene Kurznotationen, z. B.\(x= |x| \ \ (D = \mathbb R) \ \ \Rightarrow \ \ L= \mathbb R_0^+ = \{x| x \ge0 \}\) Eine (Un-)Gleichung, die immer erfüllt ist, hat ganz D als Lösungsmenge:\...

  • Lot und Lotfußpunkt

    Der Lotfußpunkt ist der Punkt auf einer Geraden g oder Ebene E der den kleinsten Abstand zu einem gegebenen Punkt P hat. Der Name kommt daher, dass man vor allem früher den senkrechten Abstand zu einer Geraden oder Ebene, also die Strecke PL, das „Lot“ genannt hat. Die Aufgabe, ein solches Lot nur mit Zirkel und Lineal zu zeichnen, ist eine der sog. Grundkonstruktionen. Die Höhen im Dreieck oder einer Pyramide bzw. einem Kegel sind Lote.