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  • Übergangsmatrix

    Eine Matrix, mit der man den Übergang eines durch einen Zufallsvektor beschriebenen Systems von einem Zustand zum nächsten berechnen kann. Dies ist dann möglich, wenn man die gegenseitige Beeinflussung der Systemgrößen, also der Zufallsvariablen, welche die Komponenten des Zufallsvektors bilden, mit einem lineares Gleichungssystem beschreiben kann. Konstante äußere Einflüsse werden durch die Addition eines festen Vektors berücksichtigt (dieser Fall wird in der Schule aber nur selten behandelt). Wenn man das Modell über sehr viele Zeitschritte betrachtet, also einen anfänglichen Startvektor mit...

  • Überschlagsrechnungen

    Überschlagsrechnungen dienen zur Überprüfung von komplizierteren schriftlichen Rechnungen sowie von Ergebnissen, die man am Taschenrechner oder mit einer Tabellenkalkulation erhalten hat. Dazu rundet man alle Eingangsgrößen und Zwischenergebnisse so weit, dass man die Rechnung im Kopf „überschlagen“ kann. Ein Trick, den auf den berühmten Physiker Enrico Fermi zurückgehen soll, besteht dabei darin, während einer Überschlagsrechnung die Zwischenergebnisse immer abwechselnd auf- und abzurunden, damit der Rundungsfehler des Ergebnisses insgesamt nicht zu groß wird.

  • Umfang von Figuren

    Der Umfang U einer Figur ist die Länge ihrer Begrenzungslinie. Bei Polygonen (Vielecken) wie Dreieck, Viereck oder Sechseck ist der Umfang leicht zu bestimmen, da in diesem Fall die Begrenzungslinie aus lauter geraden Stücken zusammengesetzt ist (man kann auch sagen, dass die Begrenzungslinie ein geschlossener „Polygonzug“ ist). Am einfachsten ist es bei regelmäßigen Polygonen: Hat ein solches n Seiten der Länge a, beträgt der Umfang U = n · a. Bei gekrümmten Begrenzungen ist der Umfang nicht ohne Weiteres zu bestimmen, sofern es sich nicht um Kreisbögen handelt. Die Bogenlänge einer beliebig...

  • Umgebung (Mathematik)

    In der Analysis ist eine Umgebung \(U_{x_0}\) bzw. U(x0) um eine Zahl x0 das offene Intervall \(]x_0 - \delta; \ x_0 + \delta[ \ \ (\delta>0)\). x0 liegt somit exakt in der Mitte des Intervalls. Wenn es auf die Intervallbreite. also einen bestimmten Wert von \(\delta\) ankommt, sagt man auch \(\delta\)-Umgebung (\(U_\delta(x_0)\)). Die „punktierte \(\delta\)-Umgebung“ ist das Intervall ohne den Punkt x0 selbst, also \(U_\delta \setminus \{x_0\}\). Umgebungen werden bei der Untersuchung von Ableitungen und anderen Grenzwerten von Funktionen benötigt.

  • Umkehrfunktionen

    Die Umkehrfunktion f–1 einer Funktion f ordnet jedem Funktionswert f(x) der Funktion f den zugehörigen x-Wert zu: \(f^{-1}\!: y \mapsto f^{-1}(y) = x\) für jedes y = f(x) Dies ist dann und nur dann möglich, wenn die Funktion f eineindeutig bzw. bijektiv ist. „Eineindeutigkeit“ (Bijektivität) und „Umkehrbarkeit“ sind also äquivalente Eigenschaften. Dies bedeutet insbesondere, dass jede Parallele zur x-Achse den Graphen einer umkehrbaren Funktion nur höchstens einmal schneidet (jeder Funktionswert kommt höchstens einmal vor). Eine Funktion, die nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich...

  • Umkreis

    In der Geometrie ist der Umkreis ein Kreis, auf dessen Umfang (Kreislinie) alle Punkte eines Polygons (Vielecks) liegen. Eine Polygon hat immer dann einen Umkreis, wenn sich die Mittelsenkrechten aller Seiten in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt ist dann der Mittelpunkt des Umkreises. Vierecke, die einen Umkreis haben, nennt man Sehnenvierecke. Dreiecke haben immer einen Umkreis.

  • Umwandeln zwischen Darstellungsformen von Ebenen

    Umwandeln aus der Parameterform in die Normalen- und Koordinatenform (Die Umwandlung zwischen Darstellungsformen von Geraden funktioniert im genauso wie bei Ebenen, nur mit einer Koordinate bzw. Vektorkomponente weniger.) Wenn eine Ebene E in Parameterform (Stützvektor \(\vec a\), Spannvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\)) gegeben ist, wandelt man die Darstellung folgendermaßen in eine Normalform um: \(E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v} \ (\lambda , \mu \in \mathbb{R})\) Ansatz: \(E: \overrightarrow{n} \circ (...

  • Unbestimmtes Integral

    Der Begriff „unbestimmtes Integral“ wird in der Analysis, genauer gesagt der Integralrechnung, etwas uneinheitlich benutzt. Während das bestimmte Integral als Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Funktionsgraph und x-Achse innerhalb eines bestimmten Intervalls [a; b] definiert ist, bezeichnet das unbestimmte Integral unabhängig von konkreten Intervallgrenzen Stammfunktionen, mit denen sich er Wert von bestimmten Integralen ausrechnen lässt (Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung). Entweder ist dann mit der Schreibweise \(\displaystyle \int f(x) \,\text dx\) die Menge aller...

  • Unechte Brüche

    Unechte Brüche sind Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner. Man kann sie immer auch als gemischte Zahl (gemischten Bruch) darstellen.

  • Uneigentliches Integral

    Der Begriff des uneigentlichen Integrals erweitert das bestimmte Integral auf solche Fälle, in denen der Integrand f(x) divergent ist oder der Integrationsbereich sich ins Unendliche erstreckt. Man betrachtet in solchen Fällen den Grenzwert der Integralfunktion – wenn dieser existiert, nennt man ihn ein uneigentliches Integral Iu und schreibt z. B.: \(I_{\text u} = \displaystyle \int\limits_{a}^{\infty} f(x)\, \text dx = \lim_{b \to \infty}\textstyle \int\limits_{a}^{b} f(x)\, \text dx = \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[ F(x) \right]^b_1 = \lim_{b \to \infty} \left[ F(b) - F(a) \right]\...

  • Ungleichungen

    Ein Ausdruck, in dem zwei Terme durch ein anderes Vergleichszeichen als das Gleichheitszeichen verbunden werden („Kleiner als“, „Größerer als“, „Kleiner gleich“, „Größerer gleich“, „Ungleich“), heißt Ungleichung: \(T_1<T_2 \), \(T_1>T_2\), \(T_1 \le T_2 \), \(T_1 \ge T_2\) , \(T_1 \ne T_2\) Genau wie eine Gleichung kann auch eine Ungleichung eine wahre oder eine falsche Aussage sein. Beispiele: \(\begin{matrix} 3&+&9&<&20&\text{wahre Aussage}\\ 3&+&9&<&12&\text{falsche Aussage}\\ 3&+&9&>&10&\text{wahre Aussage}\\ 3&+&9&>&20&\text{falsche Aussage}\\ \end{matrix}\) Tritt in einer Ungleichung...

  • Ungleichungen von Tschebyschew

    Eine Gruppe von nach dem ukrainisch-russischen Mathematiker P. L. Tschebyschew (auch Tschebyschow), 1821–1894, benannten Ungleichungen, mit denen man abschätzen kann, wie wahrscheinlich es ist, dass der Wert einer Zufallsvariablen X mit dem Erwartungswert \(E(X) = \mu\) und der Varianz \(Var(X) = \sigma^2\) außerhalb bzw. innerhalb eines gegebenen Intervalls um den Erwartungswert liegt. Hat also X die Warscheinlichkeitsverteilung P mit \(E(X) = \mu\) und \(Var(X) = \sigma^2\), dann gilt für jede positive reelle Zahl a: \(\displaystyle P(|X-\mu| > a) < \frac{\sigma^2}{a^2}\) \(\displaystyle P(...

  • Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion

    Betrachtet wird die Funktion \(f : x \mapsto \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{4 x^2 + 16x + 12} = \frac{u (x)}{v (x)}\) . Bestimmung der Nullstellen von Nenner und Zähler Nenner: \(v (x) = 4 x^2 + 16x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) oder \(x = - 1\) Damit erhält man: \(D_f = \mathbb{R}\backslash\{- 3; - 1\}\). Zähler: \(u (x) = x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \Leftrightarrow u(x) = (x - 1)^2 \cdot (x + 1) \Leftrightarrow x = - 1\) oder \(x = 1\) (doppelte Nullstelle von \(u\)), \(x = 1\) ist (doppelte) Nullstelle von \(f\), da \(u (1) = 0\) und \(v (1) \neq 0\). \(x = - 1 \notin D_f\) , also keine Nullstelle...

  • Urliste

    Bei einer statistischen Erhebung die Aufzählung der erhaltenen Daten einer Stichprobe ohne jegliche Gruppierung, Anordnung oder sonstige Aufbereitung. Die Daten können in der zeitlichen Reihenfolge der Erfassung stehen, müssen es aber nicht. Man nennt solche Daten auch Rohdaten oder Primärdaten.

  • Urnenmodelle

    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung dienen Urnenmodelle dazu, Zufallsexperimente auf Laplace-Experimente zurückzuführen, für welche die Wahrscheinlichkeiten recht übersichtlich berechnet werden können. Beispiel: Eine Schulklasse besteht aus 15 Mädchen und 12 Jungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Mädchen auszuwählen? Die Situation wird durch ein Urne genanntes, undurchsichtiges Gefäß modelliert, das 12 blaue und 15 rote Kugeln enthält. Wird daraus zufällig eine Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel („Mädchen“) zu ziehen, \(P(„\text{rot}“) =...

  • Ursprung

    Der Ursprung ist der Koordinatennullpunkt eines Koordinatensystems, also der Punkt O(0|0) bzw. O(0|0|0). Der Großbuchstabe „O“ kommt daher, dass Ursprung auf Lateinisch „origo“ heißt – ist das runde Zeichen in der Mitte eines Achsenkreuzes ist also offiziell keine Null, sondern ein O!

  • Ursprungsgerade

    Unter einer Ursprungsgerade versteht man in der Analysis eine Funktion, deren Graph durch den Ursprung des Koordinatensystems (Achsenkreuz) verläuft. Da es sich eine um Gerade handelt, muss die Funktion eine líneare Funktion sein; da der y-Achsenabschnitt 0 ist, muss sie eine proportionale Funktion von der Form y = mx sein.