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Lexikon

pq-Formel

5. Klasse ‐ Abitur

Die pq-Formel ist eine Alternative zur Mitternachtsformel, wenn die zu lösende quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, d. h. als

0 = x2 + px + q.

Man kommt auf die Formel, indem man die Gleichung mithilfe einer sog. quadratischen Ergänzung umformt.

1. „Null addieren":

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left (x^2+ px+ \left (\frac{p}{2} \right )^2- \left (\frac{p}{2} \right )^2 + q = 0 \right )\) 2. Erste binomische Formel rückwärts anwenden und zusammenfassen:\(\displaystyle \Leftrightarrow \left ( x+ \frac{p}{2} \right )^2- \left[ \left(\frac p 2\right)^2 - q \right] = 0\)

3. Wurzelziehen und nach x auflösen ergibt die pq-Formel:

\(\displaystyle \Leftrightarrow x+ \frac{p}{2} = \pm \sqrt{ \left(\frac p 2\right)^2 - q } \ \ \Leftrightarrow \ \ x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac p 2\right)^2 - q }\)

Achtung: Man muss aufpassen, dass unter der Wurzel kein negativer Term steht (\(\displaystyle \left(\frac p 2\right)^2 < q \)).