Mathematik Schülerlexikon

Die Mantelfläche ist die Fläche bei einem Kegel , die auf der einen Seite in der Spitze zusammenläuft auf der anderen Seite an den Grundkreis grenzt. Sie entsteht, wenn die Hypotenuse des rotierten rechtwinkligen Dreiecks einmal um die Höhe h des Kegels gedreht wird. Diese Hypotenuse ist die Mantellinie s .

Wird eine Landkarte, eine Fotografie oder eine geometrische Figur im Ganzen vergrößert oder verkleinert, gibt der Maßstab das Verhältnis an, in dem alle Längen und Abstände vergrößert oder verkleinert werden. Wenn etwa auf einer Landkarte steht: „Maßstab 1:250.000“, sind alle Strecken auf der Karte 250.000-mal kleiner als in der Natur, also sind die 20 km Entfernung zwischen den Städten Heidelberg und Mannheim auf der Karte nur 8 cm groß. In der Geoemtrie entspricht das Maßstabsverhältnis dem Streckfaktor bei einer zentrischen Streckung .

Eine Matrix ist zunächst einmal einfach eine Tabelle, deren Komponenten , Einträge oder Koeffizienten Zahlen sind. Wenn eine Matrix m Zeilen und n Spalten hat, nennt man sie eine „ m × n -Matrix“ (lies: „ m -Kreuz- n -Matrix“). Was solch ein Schema mathematisch interessant macht, ist einerseits, dass es Rechenregeln gibt, nach denen man Matrizen z. B. addieren, subtrahieren oder multiplizieren kann, und andererseits, dass man mit Matrizen ganz unterschiedliche Probleme aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beschreiben und lösen kann: In der Analytischen Geometrie entsprechen eine...

Die Multiplikation von zwei Matrizen ist eine Rechenoperation, deren Ergebnis wiederum eine Matrix ist. Wenn man die Matrizen als Abbildungsmatrizen ( Analytische Geometrie ) bzw. Übergangsmatrizen ( Stochastik ) auffasst, entspricht das Matrixprodukt der Hintereinanderausführung zweier Abbildungen bzw. zweier „Zeitschritte“ eines Zufallsvektors . Da man Vektoren als Matrizen mit nur einer Spalte bzw. Zeile ansehen kann, ist die Matrixmultiplikation auch für Vektoren definiert (siehe unten). Die Matrizenmultiplikation einer m × n -Matrix A mit einer n × p -Matrix B wird komponentenweise...

Das Maximum einer Funktion ist eine Extremstelle , an der die Funktion den größten Wert in einer Umgebung U ( x 0 ) oder einem Intervall ( lokales oder relatives Maximum ) oder aber sogar auf dem gesamten Definitionsbereich D f ( globales oder absolutes Maximum ) annimmt.

Der Median oder Zentralwert ist ein statistisches Lagemaß , das angibt, welcher Wert einer Stichprobe oder einer Zahlenmenge sich in der Mitte aller Werte befindet. Eine exakte Definition ist etwas komplizierter, weil man zwischen Mengen mit gerader und solchen mit ungerader Anzahl von Werten unterscheiden muss, wobei zunächst alle Werte der Größe nach geordnet werden müssen (man betrachtete also eine geordnete Stichprobe): bei ungeradem Stichprobenumfang n ist der Median der Wert in der Mitte: \(\tilde{x} = x_\frac{n+1}{2}\) , bei geradem Stichprobenumfang n gibt es zwei mittlere Werte und...

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment wird entweder ein Zufallsexperiment (mehrfach) wiederholt oder es werden verschiedene Zufallsexperimente hintereinander ausgeführt und bestimmte Ergebniskombinationen der Einzelexperimente („Stufen“) als Ergebnisse bzw. Ereignisse des mehrstufigen Zufallsexperiments untersucht. Beispiele für den ersten Fall sind die verschiedenen Urnenmodelle , bei denen aus einer abstrakten „Urne“ mit mehreren, zum Teil unterschiedlich gefärbten Kugeln nacheinander Kugeln „gezogen“ werden. Als Beispiel für den zweiten Fall kann man eine Meinungsumfrage ansehen, wobei...

Eine Menge ist, ganz allgemein formuliert, entweder etwas, das andere Objekte (Dinge, Wesen oder was auch immer) enthält, die man die Elemente der Menge nennt. Der Begriff der Menge ist so abstrakt wie grundlegend für die Mathematik, es gelten nur die folgenden Bedingungen: Man kann von jedem Objekt sagen, ob es Element einer bestimmten Menge ist oder nicht. Ein Element kann auch mehrfach bzw. beliebig oft in einer Menge enthalten sein. Es gibt in einer Menge keine Reihenfolge oder sonstige Ordnung, wichtig ist nur „drin oder nicht“. Mengen können kein Element, endlich viele Elemente oder...

D ie Mengenlehre ist d as Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Früher war die Mengenlehre sogar Stoff der Grundschule und es gab Schulbücher mit Titeln wie „Lustige Mengenlehre“. Heute wird sie eher nebenbei behandelt, ihre Grundlagen sind aber nach wie vor wichtig für viele andere mathematische Teilgebiete.

Beim Messen bestimmt man den Wert einer Größe (der Messgröße ) wie z. B. Länge , Zeit , Gewicht usw. durch Vergleich mit einer standardisierten Einheit . Das geschieht oft ganz wörtlich: Man legt ein Lineal oder Geodreieck neben eine Strecke oder an einen Winkel und liest dann ab, wie viele Zentimeter oder Grad die Strecke bzw. der Winkel betragen. Die Zahl der jeweiligen gemessenen Einheiten (die Maßzahl ) kann sehr groß oder sehr klein sein, z. B. beträgt der Erdradius über 600 Millionen Zentimeter. Daher gibt es Einheitenvorsätze wie "Kilo" oder "Milli", mit denen die Maßzahlen...

In der Mengenlehre und der beschreibenden Statistik eine Skala, mit der sich die Elemente einer Menge bzw. die Werte einer Stichprobe nicht nur anordnen lassen, sondern mit der auch Abstände bzw. Differenzen berechnet werden können. Typischerweise hat man es dabei mit quantitativen Messdaten bzw. Merkmalen zu tun, deren Ausprägungen durch Zahlenwerte gegeben sind. Beispiele: Merkmale wie Körpergröße, Kontostand, Intelligenzquotient oder Höchstgeschwindigkeit. Gibt es für Messdaten eine metrische Skala, dann kann man nicht nur kumulative Häufigkeiten und den Median , sondern auch Mittelwerte...

Das Minimum einer Funktion ist eine Extremstelle , an der die Funktion den kleinsten Wert in einer Umgebung U ( x 0 ) oder einem Intervall ( lokales oder relatives Minimum ) oder aber sogar auf dem gesamten Definitionsbereich D f ( globales oder absolutes Minimum ) annimmt.

Die Mittelsenkrechte ist allgemein eine Gerade , die erstens senkrecht auf einer Strecke steht und zweitens diese Strecke genau in der Mitte schneidet. Beispiel: Die Gerade durch die Punkte A und B schneidet die Strecke \(\overline {CD}\) in dem Punkt M , der von den Punkten C und D denselben Abstand hat (also tatsächlich in der Mitte liegt). Die Aufgabe, zu einer gegebenen Strecke die Mittelsenkrechte nur mit Zirkel und Lineal zu finden, ist eine der sog. geometrischen Grundkonstruktionen . Eine besondere Rolle spielen die Mittelsenkrechten im Dreieck , da ihr Schnittpunkt der Mittelpunkt...

Allgemein ist die Mittelsenkrechte eine Gerade , die so auf einer Strecke senkrecht steht, dass sie diese genau in zwei gleich lange Hälften teilt. Im Dreieck gehören die Mittelsenkrechten m a , m b und m c auf den Seiten a , b und c zu den besonderen Linien . Sie schneiden sich alle in einem Punkt M , der gleichzeitig der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ist. Dies liegt daran, dass jeder Punkt auf m a gleich weit von B und C und jeder Punkt auf m b gleich weit von A und C entfernt ist. Darum ist der Schnittpunkt von m a und m b von allen drei Ecken gleich weit entfernt und damit...

Im Speziellen ein Synonym für den arithmetischen Mittelwert (arithmetisches Mittel). Es gibt aber noch weitere Definitionen des Mittelwerts einer Stichprobe bzw. einer Menge von Zahlenwerten { x 1 , x 2 , …, x n }: geometrisches Mittel: \(\displaystyle \bar{x}_\text{geo} =\sqrt[n]{\displaystyle x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}\) harmonisches Mittel: \(\displaystyle \bar{x}_\text{harm} = \frac{n}{\displaystyle \frac{1}x_1 + \frac{1}x_2 + \ldots + \ \frac{1}x_n}\) quadratisches Mittel: \(\displaystyle \bar{x}_\text{qu} = \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}\)

In der Stochastik und auch in der Physik muss öfters über eine kontinuierlich verteilte Größe gemittelt werden. Das kann man mit dem Mittelwertintegral erledigen, das als bestimmtes Integral der Größe über ein Intervall [ t 1 ; t 2 ], geteilt durch die Intervalllänge \(\Delta t\) definiert ist: \(\displaystyle \overline{G} = \frac{1}{\Delta t}\cdot \int_{t_1}^{t_2} G(t)\, \text dt =\frac{1}{t_2-t_1}\cdot \int_{t_1}^{t_2} G(t)\, \text dt\) Die Integrationsvariable wird hier als t geschrieben, weil eine typische Anwendung der zeitliche Mittelwert von Größen ist.

Die Mitternachtsformel ist die allgemeine Lösungsformel für eine quadratische Gleichung der Form 0 = ax 2 + bx + c . Der Name kommt daher, dass diese Formel so wichtig ist, dass man sie auch noch um Mitternacht im Tiefschlaf bzw. auf dem Höhepunkt einer Party ohne Nachdenken aufsagen können muss. Man kommt auf die Formel, indem man die Gleichung mithilfe einer sog. quadratischen Ergänzung umformt. 1. Faktor \(a \neq 0\) ausklammern \(\displaystyle ax^2+bx+c=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ a\left (x^2+ \frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right )=0\) 2. „Null addieren": \(\displaystyle \Leftrightarrow a\left[...

In der beschreibenden Statistik ist die mittlere lineare Abweichung \(d_\bar{x}\) ein Streuungsmaß , das als arithmetisches Mittel der Beträge der Differenzen zwischen den Datenwerten und dem Mittelwert \(\bar{x}\) definiert ist: \(\displaystyle d_\bar{x} = \frac{1}n \left( \sum_{i=1}^n \big| x_i-\bar{x} \big| \right)\) Eine alternative Definition bezieht die Abweichung auf den Median \(\tilde{x}\) der Werte: \(\displaystyle d_\text{Med} =d_\tilde{x} = \frac{1}n \left( \sum_{i=1}^n \big| x_i-\tilde{x} \big| \right)\) Insbesondere die zweite Definition ist wesentlich unempfindlicher gegen...

Die mittlere Steigung (oder Änderungsrate) eines Funktionsgraphen im Intervall [ x 1 ; x 0 ] ist die Steigung der Sekante, welche den Graphen in den Punkten ( x 1 | f ( x 1 )) und ( x 0 | f ( x 0 )) schneidet. Dagegen entspricht die momentane Änderungsrate an der Stelle x 0 der Tangentensteigung in diesem Punkt und damit der ersten Ableitung \(f'(x_0)\) an dieser Stelle.

Der Modalwert oder Modus ist ein statistisches Lagemaß , das angibt, welche Merkmalsausprägung bzw. welcher Wert in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt. Da zur Bestimmung des Modalwerts nur die Häufigkeitstabelle aufgestellt werden muss, lässt er sich auch für Merkmale angeben, die nicht mit Zahlen ausgedrückt werden können (etwa die Farbe von Smartphones oder das Interesse am Schulunterricht).

Ein mathematisches Modell beschreibt Vorgänge aus dem „richtigen Leben“ mit Formeln, Funktionen und Ähnlichem. Auf diese Weise lassen sich Antworten auf Fragen berechnen, die sich ohne Mathematik nicht finden ließen. Man muss aber immer sowohl prüfen, ob das mathematische Modell auch passt, also ob es die Vorgänge richtig beschreibt, als auch, ob sich die berechneten Ergebnisse wieder auf die Realität übertragen lassen. Beispiel: Wenn man mit dem Satz des Pythagoras die Länge einer Dreiecksseite berechnet, landet man bei einer quadratischen Gleichung , die in der Regel eine positive und eine...

Eine Funktion \(f:\! x \mapsto g(x) \ \ (x\in D_f)\) heißt auf einem Intervall \(I \subset D_f\) genau dann monoton steigend (zunehmend), wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt: \(x_1< x_2 \ \ \Rightarrow \ \ f(x_1) \le f(x_2)\) streng monoton steigend (zunehmend), wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt: \(x_1< x_2 \ \ \Rightarrow \ \ f(x_1) < f(x_2)\) monoton fallend (abnehmend), wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt: \(x_1< x_2 \ \ \Rightarrow \ \ f(x_1) \ge f(x_2)\) streng monoton fallend (abnehmend), wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt: \(x_1< x_2 \ \ \Rightarrow \ \ f(x_1) > f(x...

Die Multiplikation (das „ Malnehmen “) ist eine der Grundrechenarten . Das Rechenzeichen ist der Malpunkt „·“. Manchmal (und in englischsprachigen Ländern in der Regel) wird auch das Malkreuz „ד benutzt. Man kann sich die Multiplikation als eine wiederholte Addition vorstellen: 25 + 25 + 25 + 25 = „vier Mal die 25“ = 4 · 25 = 100. Anmerkung: Eine wiederholte Multiplikation kann man als Potenz schreiben. Einen Rechenausdruck mit Malzeichen, wie 12 · 11, bezeichnet man als Produkt. Die einzelnen Zahlen, die miteinander multipliziert (malgenommen) werden, heißen Faktoren. Sie werden der...

Andere Bezeichnung für die erste Pfadregel, die Produktregel .

Ein Münzwurf , also der Wurf einer flachen kreisförmigen Münze mit unterschiedlicher Vorder- und Rückseite („Kopf“ und „Zahl“), ist ein klassisches Beispiel für ein Zufallsexperiment . Da es nur zwei mögliche Ausgänge gibt, handelt es sich hierbei um ein Bernoulli-Experiment , und weil alle, d. h. beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, auch ebenso um ein Laplace-Experiment . Streng genommen gilt der letzte Satz allerdings nur für eine „ideale“ Münze, die unendlich dünn und perfekt symmetrisch ist. Eine reale Münze kann dagegen sehr selten auch mal auf der Seite landen (kein Bernoulli...