Polynomfunktionen zu vorgegebenen Bedingungen

Sind über den Verlauf einer Polynomfunktion (ganzrationalen Funktion) eine Anzahl von Bedingungen z. B. über Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen vorgegeben, so lässt sich damit ein Satz von Gleichungen aufstellen, aus denen der Term der Polynomfunktion ermittelt werden kann.
Es gilt dabei: Zur Bestimmung der n + 1 Koeffizienten des Terms einer Polynomfunktion n-ten Grades sind n + 1 Bedingungen nötig.

Allgemeines Vorgehen:

1. Setze den Funktionsterm mit variablen Koeffizienten an. Als Koeffizientenvariablen verwendet man dabei aus Gründen der Vereinfachung \(a, b, c, ...\) anstelle von \(a_n , a_{n - 1} , a_{n - 2} , ...\) Berechne die Ableitungen.

2. Übersetze die gegebenen Bedingungen in Gleichungen.

3. Löse das entstandene Lineare Gleichungssystem (LGS).

4. Überprüfe, ob auch alle nicht äquivalent übersetzten Bedingungen (Extrema, Wendepunkte) erfüllt sind.
    

Beispiel:
Bestimme den Term f(x) einer Polynomfunktion 3. Grades, für die gilt:

• Die Funktion hat bei x = 2 eine Nullstelle.

• Bei x = –2 liegt ein Extremum vor.

• Der Graph G_f hat den Wendepunkt W(0|–4).

1. Ansatz

\(f (x) = a x^3 + b x^2 + cx + d\) hat den Grad \(3.\) Weiter gilt dann:
\(f' (x) = 3a x^2 + 2bx + c\) und \(f'' (x) = 6ax + 2b\).

2. Aufstellen der Gleichungen

Nullstelle bei 2:
\((1)\ \ f (2) = 0 \Leftrightarrow 8a + 4b + 2 c + d = 0\)

Extremum bei –2:
\((2)\ \ f' (- 2) = 0 \Leftrightarrow 12a - 4b + c = 0\)

Wendestelle bei 0:
\((3)\ \ f'' (0) = 0 \Leftrightarrow 2b = 0\)

Wendepunkt (0|–4):
\((4)\ \ f (0) = - 4 \Leftrightarrow d = - 4\)

3. Lösen des Gleichungssystems

Aus (3) folgt b = 0 und (4) zeigt d = –4.
Werden b = 0 und d = –4 in den Gleichungen (1) und (2) eingesetzt, erhält man das einfachere Gleichungssystem

\((1^*) \ \ 8a + 2c - 4 = 0\)
\((2^*)\ \ 12a + c = 0\)

Aus \((2^*)\) erhält man c = –12a, eingesetzt in \((1^*)\) ergibt:
\((1^{**}) \ \ 8a + 2 \cdot (- 12a) - 4 = 0 \Leftrightarrow - 16a = 4 \Leftrightarrow a = - 0,25.\)
Daraus folgt c = 3..

4. Überprüfung des Ergebnisses

\(f\! :\ x \mapsto - 0,25 x^3 + 3x - 4\)

Für f liegt bei x = –2 ein Minimum vor. G_f hat den Wendepunkt \((0|- 4)\). Und so sieht der Graph \(G_f\) aus: