Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechengesetze:
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Vorrangregel: Potenzen werden zuerst berechnet („Potenz vor Punkt vor Strich“):
Beispiel:
4+53⋅6=4+125⋅6=4+750=754
Achtung: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind:
Beispiele:
5⋅26+4⋅26=9⋅26=9⋅64=576
Der Ausdruck 6⋅52+2⋅34 kann nicht zusammengefasst werden!
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Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und die Exponenten beibehält:
an · bn = (a · b)n für alle a,b∈R, n∈N
Beispiele:
35⋅=(3⋅2)5=65=7776
(−4)3⋅53=(−4⋅5)3=(−20)3=−8000 -
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und die Exponenten beibehält:
an:bn=anbn=(ab)n für alle a∈R, b∈R∖{0}, n∈N
Beispiele:
163:53=(16:5)3=3,23=32,768
244324=(2432)4=(34)4=81256
Achtung: Wenn man Potenzen mit rationalen bzw. reellen Exponenten betrachtet, wie dies bei den Potenzfunktionen gemacht wird, kann man die beiden letzten Gesetze in einem zusammenfassen:
ax · bx = (a · b)x für alle a,b,x∈R
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Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält:
am · an = am + n für alle a∈R, m,n∈N
Beispiele:
52⋅54=52+4=56=15.625
(−3)5⋅(−3)3=(−3)5+3=(−3)8=6561 -
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält:
am:an=aman=am−n für alle a∈R, b∈R∖{0}, n∈N
Beispiele:
5658=56−8=5−2=152=125
0,270,24=0,27−4=0,23=0,008
Anmerkung: Für m = n erhält man hieraus a0 = 1 für alle a∈R.
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Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält:
(am)n=am⋅n für alle a∈R, b∈R∖{0}, n∈N
Beispiel:
(52)3=52⋅3=56=15625