Mathematik Schülerlexikon

Eine Abbildung ist, allgemein gesprochen, eine Zuordnung von Elementen einer Menge A („Ausgangsmenge“, „Definitionsmenge“ oder auch „Urbildmenge“) zu Elementen einer Menge B („Bildmenge“ oder „Zielmenge“). Die abgebildeten Elemente können z. B. Zahlen oder Figuren, aber auch Schüler, Planeten, Vielecke, Punkte, Mengen oder sogar selbst Abbildungen sein. Wenn jedem Element aus A höchstens ein Element aus B zugeordnet wird, ist die Abbildung eindeutig und wird auch eine Funktion genannt. Wenn etwa die Abbildung bzw. Funktion f jeder ganzen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet, sind A = \(\mathbb{Z}\) u...

In der Analytischen Geometrie versteht man unter einer Abbildungsmatrix eine Matrix , die eine lineare Abbildung ( Drehung , Verschiebung , Spiegelung ) zwischen Vektoren beschreibt. Eine lineare Abbildung f zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{x}\) und \(\overrightarrow{x}'\) (bzw. zwischen zwei Vektormengen bzw. Vektorräumen X und \(X'\) ) kann man formal wie eine proportionale Zuordnung bzw. Funktion zwischen normalen Zahlen schreiben: \(f: X \longrightarrow X', \ \overrightarrow{x} ' = f(\overrightarrow{x}) = A \cdot \overrightarrow{x} \) Dabei sind \(\overrightarrow{x} \in X\) der...

Ein Intervall heißt „abgeschlossen“, wenn die Ränder bzw. Endpunkte zum Intervall gehören. Solche Intervalle werden mit eckigen Klammern geschrieben, z. B. bezeichnet [3; 5] alle reellen Zahlen von der Zahl 3 bis zur Zahl 5.

Bei einem Hypothesentest enthält der Ablehnungsbereich diejenigen Werte der Zufallsvariablen X , bei denen die Nullhypothese abgelehnt (verworfen) wird. Beispiel: Es wird geprüft, ob ein Münzwurf fair ist oder aber „Kopf“ mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit fällt (Nullhypothese H 0 : p = 50 %, Alternativhypothese H 1 : p > 50 %). Lautet bei 100 Würfen die Entscheidungsregel, dass H 0 ab 54-mal „Kopf“ abgelehnt wird, ist der Ablehungsbereich die Menge {54, 55, …, 100}.

In der Differenzialrechnung gibt die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 an, wie steil die Tangente an die Funktion in diesem Punkt verläuft, genauer gesagt deren Steigung m t . Dies ist genau dann möglich, wenn die Funktion f an dieser Stelle differenzierbar ist. Ist sie in einem Intervall bzw. im gesamten Definitionsbereich differenzierbar, dann ist die Ableitung der Funktion f dort selbst eine Funktion, die man \(f'\) („f Strich“) nennt, besonders in der Physik auch \(f'(x) \equiv \dfrac {\text d f}{\text d x} = \dfrac {\text d}{\text d x}f(x)\) („d f nach d x“). Die Ableitung...

Für das Ableiten ( Differenzieren ) von Funktionen gelten die folgenden wichtigen Regeln: Die Ableitung einer konstanten Funktion ist konstant null: \(f(x) = c \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = 0 \ \ (c \in \mathbb R)\) Beim Ableiten einer Potenzfunktion wird der Exponent um 1 erniedrigt und als Faktor vor die Potenz gezogen: \(f(x) = x^n \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) Dies gilt auch bei rationalen oder reellen Exponenten, z. B. \(\displaystyle f(x) = \sqrt x = x^{1/2} \ \ \Rightarrow \ \ f'(x) = \left(\frac 1 2 \right) \cdot x^{\frac 1 2 -1}= \frac 1 {2\sqrt x}\) Konstante...

Der Begriff absolute Häufigkeit ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Die absolute Häufigkeit ist das Ergebnis einer einfachen Zählung von Objekten oder Ereignissen. Sie gibt an, wie viele Elemente mit dem gleichen Ausprägung des untersuchten statistischen Merkmals gezählt wurden. Die absolute Häufigkeit kann nur eine natürliche Zahl sein und auch nicht negativ werden. Ihr Wertebereich geht also von 0 bis unendlich. Im Gegensatz dazu liegt die relative Häufigkeit immer zwischen 0 und 1 bzw. 100 %. Beispiel : Altersverteilung im Fußballverein Alter 12 13 14 Strichliste...

Ein absolutes oder globales Extremum ist ein Funktionswert, der entweder größer oder gleich ( absolutes Maximum ) oder kleiner oder gleich ( absolutes Minimum ) allen anderen Werten einer Funktion ist. Im Gegensatz dazu ist ein lokales ( relatives ) Extremum nur in einer Umgebung bzw. einem Intervall maximal bzw. minimal.

Der Abstand wird in der Geometrie zunächst als die kürzestmögliche Entfernung bzw. Distanz zwischen zwei Punkten definiert. Man kann ihn mit einem Lineal messen und in einer geeigneten Längeneinheit angeben. Die Analytische Geometrie macht es möglich, Abstände zu berechnen: Und zwar definiert sie den Abstand d ( X , Y ) zwischen zwei Punkten X ( x 1 | x 2 ) und Y ( y 1 | y 2 ) als die Länge bzw. der Betrag des Differenzvektors zwischen den beiden Ortsvektoren \(\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) und \(\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) , also \(\displaystyle...

Um den ( senkrechten ) Abstand eines Punkts P von einer Geraden g zu berechnen, geht man folgendermaßen vor: Man bestimmt den Lotfußpunkt F , indem man das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden und einem (variablen) Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt P und einem beliebigen Geradenpunkt \(X \in g\) null setzt. Die erhaltene Gleichung wird nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst und das Ergebnis in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Lotfußpunkts F zu bekommen. Dann berechnet man den Abstand von P und F als Betrag des...

Abszisse ist eine ältere Bezeichnung für die waagerechte bzw. horizontale Achse (also die x -Achse) im Achsenkreuz , also dem Koordinatensystem , in dem man Funktionsgraphen darstellt. Der Name kommt aus dem Lateinischen und bedeutet wörtlich „die Abgeschnittene“.

In Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung typische Vorgehensweisen beim Bestimmen von „günstigen“ und „allen“ Ausgängen eine Zufallsexperiments . Speziell gemeint sind damit die Pfadregeln , mit denen man Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm berechnen kann.

Der Achsenabschnitt ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt einer Linie mit einer Koordinatenachse und dem Nullpunkt bzw. Ursprung des Koordinatensystems . In der Analysis ist diese Linie ein Funktionsgraph ,also z. B. eine Parabel oder eine Sinuskurve. Beim Graphen einer linearen Funktion y = f ( x ) = mx + b entspricht der Parameter b dem y -Achsenabschnitt (er wird auch in der Regel so genannt). Allgemein ist der y -Achsenabschnitt der Funktionswert an der Stelle x = 0, also der Wert f (0). Der y -Achsenabschnitt ist für jede Funktion eindeutig bestimmt, da eine Funktion zu jedem x nur...

Die Achsenabschnittsform ist ein Spezialfall der Koordinatenform einer Gleichung zur Beschreibung von Geraden oder Ebenen . Während die allgemeine Koordinatenform einer Ebene ax 1 + bx 2 + cx 3 = k lautet (bei einer Geraden wird im Wesentlichen die dritte Koordinate weggelassen, deswegen wird dieser Fall im Folgenden nicht extra behandelt), hat die Achsenabschnittsform die Gestalt \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = 1 \ \Leftrightarrow \ \displaystyle \frac {x_1} s + \frac {x_2} t + \frac {x_3} u = 1\) Dabei sind die Kehrtwerte der Koeffizienten a , b und c , also die Zahlen s , t und u , die...

Achsenkreuz ist ein gängiger Name für ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem , inbesondere wenn man dort die Graphen von Funktionen darstellt. Auf der waagerechten Achse trägt man dann die unabhängige Variable x ab („ x -Achse“, früher auch Abszisse ), auf der senkrechten Achse die abhängige Variable , also den Funktionswert y = f ( x ) ( y -Achse, früher Ordinate ).

Eine geometrische Figur ist achsensymmetrisch , wenn sie bei einer Geradenspiegelung in sich selbst übergeht. Die Gerade, an der die Spiegelung erfolgt, heißt Spiegelachse oder Symmetrieachse . Beispiel: Bei einem gleichseitigen Dreieck sind die Verlängerungen der drei Höhen Symmetrieachsen, bei einem Kreis ist jede Mittelpunktsgerade eine Symmetrieachse.

Die Addition ist wohl die „grundlegendste“ Grundrechenart . Sie lässt sich direkt aus dem Zählen mit natürlichen Zahlen ableiten und unmittelbar verstehen. Man schreibt solch einen Rechenausdruck mit dem Pluszeichen „+“ (Plus heißt auf Lateinisch „mehr“). Die beiden Zahlen, die addiert bzw. zusammengezählt werden, heißen Summanden , das Ergebnis „ Wert der Summe “ oder einfach Summe. Beispiel: Für die Addition gelten die beiden fundamentalen Rechengesetze Kommutativgesetz \(a + b =b+a\) Assoziativgesetz \((a+b)+ c=a+ (b+c)\) In Verbindung mit der Multiplikation gilt zudem das...

Eine der beiden Pfadregeln für Baumdiagramme (meist wird die Additions - bzw. Summenregel als die zweite Pfadregel bezeichnet). Die Additionsregel ist die „horizontale“ Pfadregel, denn sie betrifft Ergebnisse bzw. Ereignisse auf derselben Stufe im Baumdiagramm des untersuchten mehrstufigen Zufallsexperiments . Beispiel: In einer Lieferung befinden sich Fliesen, davon sind 80 % sind „1. Wahl“ und 20 % „2. Wahl“ ( erste Stufe ). Eine automatische Kontrolle soll Fliesen 2. Wahl aussortieren, dies geschieht bei 1.-Wahl-Fliesen (fälschlich!) mit 5 % Wahrscheinlichkeit, 2.-Wahl-Fliesen mit einer 90...

Das Additionsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) . Es hat seinen Namen daher, dass Gleichungen so addiert werden, dass mindestens eine Variable sich „heraushebt“, also in der addierten Gleichung nicht mehr auftaucht. Führt man das bei n Gleichungen ( n – 1)-mal durch, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen. Das Additionsverfahren ist ein wichtiger Bestandteil des Gauß’schen Eliminationsverfahrens . Damit...

In einem Funktionsterm bezeichnet man einen Summanden, in dem die unabhängige Variable der Funktion – in der Regel x – nicht auftaucht, eine additive Konstante . Ein einfaches Beispiel ist der y - Achsenabschnitt b in einer linearen Funktion y = mx + b . Eine positive additive Konstante verschiebt den Funktionsgraphen nach oben, eine negative nach unten. Beim Ableiten „ verschwindet“ eine additive Konstante: \([f(x)+a]'=[f(x)]'\) Umgekehrt ist beim Integrieren eine Stammfunktion immer nur bis auf eine frei wählbare additive Konstante, die sog. Integrationskonstante , bestimmt.

Affine Abbildungen sind eine Erweiterung des Begriffs der Ähnlichkeitsabbildung . Jede affine Abbildung ist geradentreu ( Geraden werden auf Geraden abgebildet) parallelentreu ( Parallelen bleiben parallel) teilverhältnistreu (Wenn ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k teilt, dann teilt der Bildpunkt \(X'\) die Strecke \(A'B'\) in demselben Verhältnis k ) Alle Ähnlichkeitsabbildungen und damit auch alle Kongruenzabbildungen sind affin. Es gibt aber affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind, etwa die sog. Scherungen . Bei einer Scherung wird ein...

In der Geometrie sind Figuren oder Körper einander ähnlich , wenn sie – umgangssprachlich gesprochen – die gleiche Form haben, aber möglicherweise unterschiedlich groß sind. Formal bedeutet Ähnlichkeit , dass man zwei Figuren (Körper) durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abbilden kann. Ähnlichkeitsabbildungen sind alle Kongruenzabbildungen , also Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen, und dazu zentrische Streckungen sowie alle Kombinationen der genannten Abbildungen. Das bedeutet, dass alle kongruenten Figuren (Körper) auch ähnlich, aber nicht alle ähnlichen Objekte auch kongruent...

Ähnlichkeitsabbildungen sind die Erweiterung der Bewegungen bzw. Kongruenzabbildungen um die Gruppe der zentrischen Streckungen . Man kann also mit einer Ähnlichkeitsabbildung zwei Figuren bzw. Körper zur Deckung bringen, indem man sie spiegelt , verschiebt , dreht und außerdem maßstäblich vergrößert oder verkleinert . Wenn das bei zwei Figuren oder Körpern möglich ist, sagt man, sie seien einander ähnlich . Ähnlichkeitsabbildungen lassen Winkel und Verhältnisse von einander entsprechenden Seiten, Flächeninhalten und Volumina unverändert. Geraden werden bei Ähnlichkeitsabbildungen immer auf...

Die Ähnlichkeitssätze beim Dreieck sind eine Art Erweiterung der Kongruenzsätze . So wie die Kongruenzsätze Bedingungen dafür angeben, dass zwei Dreiecke kongruent bzw. deckungsgleich sind, sagen die Ähnlichkeitssätze, wann zwei Dreiecke ähnlich sind. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (der dritte Winkel ist dann wegen des Winkelsummensatzes ebenfalls gleich): entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis stehen: sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen: sie im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite...

Im allgemeinen Sinn versteht man unter Algebra das Teilgebiet der Mathematik, wo mit Zahlen und Buchstaben „gerechnet“ wird, also Terme umgeformt und Gleichungen sowie Ungleichungen gelöst werden. Eine spezielle Rolle spielt die Lineare Algebra , die sich nur mit einfachen, nämlich linearen Gleichungen abgibt, aber dafür nicht mit einfachen Zahlen, sondern mit geometrischen Objekten wie Vektoren oder Matrizen rechnet. In diesem Lexikon wird sie daher unter dem geläufigeren Begriff Analytische Geometrie behandelt. Der Algebra in der „höheren“ Mathematik geht es weniger darum, ob man Lösungen...

Bei einem Hypothesentest ist die Alternativhypothese oder Gegenhypothese H 1 das Gegenereignis zur Nullhypothese H 0 . Oft kennt man für den Fall, dass H 1 zutrifft, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der untersuchten Zufallsvariablen X nicht. Darum lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art (fälschliche Annahme der Nullhypothese, obwohl tatsächlich die Alternativhypothese stimmt) nur mit Zusatzannehmen oder weiteren Informationen berechnen. Es ist wichtig zu betonen, dass die Annahme von H 1 (Ablehnung von H 0 ) aufgrund eines Testergebnisses keinen „Beweis“ für die Richtigkeit von...

Ein Alternativtest ist ein Hypothesentest ( Signifikanztest ), bei bei dem zwischen zwei konkreten Werten für die infragestehende Wahrscheinlichkeit p ( Hypothesen H 1 und H 2 ) entschieden werden soll. Es wird also nicht wie sonst bei statistischen Tests geprüft, ob eine bestimmte Nullhypothese abgelehnt werden kann oder nicht. Dementsprechend wird für beide Hypothesen je ein Annahme- und Ablehnungsbereich formuliert. Beispiel Eine Firma fertigt an zwei Maschinen Schrauben. Bei der Maschine A halten erfahrungsgemäß 10 der produzierten Stücke die geforderten Toleranzen nicht ein...

Bei einer alternierenden Zahlenfolge wechselt das Vorzeichen bei jedem Folgenglied. Dies ist z. B. bei einer geometrischen Folge mit negativem Folgengliederverhältnis q der Fall. Eine alternierende Zahlenfolge kann niemals monoton wachsen oder fallen, sie kann aber durchaus einen Grenzwert haben.

Seltenere Bezeichnung für das Gradmaß eines Winkels , wenn zwischen der üblichen Definition mit 360°-Vollwinkel und dem sog. Neugrad bzw. Gon unterschieden werden soll.

Die Analysis ist neben Geometrie , Algebra („Rechnen mit Zahlen und Buchstaben“) und Stochastik („Daten und Wahrscheinlichkeiten“) eines der vier großen Themengebiete der Schulmathematik. Vereinfacht gesagt ist die Analysis (das Wort ist griechisch und heißt so viel wie „(Auf-)Lösung“) die Lehre von den Funktionen . Diese haben in der Regel reelle Argumente und Werte, nur Zahlenfolgen bilden natürliche Zahlen auf reelle Werte ab. Das Teilgebiet der Differenzialrechnung untersucht, wie stark sich die Funktionswerte verändern, wenn man das Argument etwas variiert, und zwar mithilfe von sog...

In der Analysis bestimmt man die Gleichung einer Geraden , also des Graphen einer linearen Funktion , indem man die jeweils gegebenen Größen in die allgemeine lineare Funktionsgleichung einsetzt. Gerade durch P 0 ( x 0 | y 0 ) mit der Steigung m Beispiel: m = 1,5 und P 0 (2|4) y 0 und x 0 müssen die Geradengleichung y = mx + b erfüllen, da P 0 auf der Geraden liegt: 4 = 1,5 · 2 + b , also b = 1. Ergebnis: Geradengleichung y = 1,5 x + 1 Gerade durch die Punkte P 1 ( x 1 | y 1 ) und P 2 ( x 2 | y 2 ) Beispiel: P 1 (1|–2) und P 2 (3|1) Berechnung der Steigung \(\displaystyle m = \frac{y_2 - y 1}...

Die Analytische Geometrie untersucht geometrische Aufgabenstellungen mit Mitteln aus Analysis und Algebra , sozusagen nach dem Prinzip „rechnen statt zeichnen“. Das zentrale Hilfsmittel dabei sind Vektoren , mit denen man einerseits Punkte , Strecken , Figuren oder Körper mathematisch präzise beschreiben kann und mit denen man andererseits (fast) wie mit gewöhnlichen Zahlen rechnen kann. Wichtige Themen sind: Geraden und Ebenen durch Gleichungen darstellen und ihre Eigenschaften und Lagebeziehungen berechnen Schnittpunkte , Schnittgeraden und Ähnliches berechnen Winkel im Raum bestimmen Affine...

Die Ableitung einer Funktion kann man als ihre Änderungsrate interpretieren, wie sich direkt an dem Differenzenquotienten bzw. an dessen Grenzwert , dem Differenzialquotieten ablesen lässt: \(\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\text d f(x)}{\text d x}\) Der Differenzen- bzw. Differenzialkoeffizient ist definiert als das Verhältnis aus Änderung der Funktionswerte ( \(\Delta f(x)\) bzw. d f ( x )) und Änderung der x -Werte ( \(\Delta x\) bzw. d x ). Je größer aber \(\Delta f(x)\) bei festem \(\Delta x\) is...

Bei einem Hypothesentest enthält der Annahmebereich (Akzeptanzbereich) diejenigen Werte der Zufallsvariable X , bei denen die Nullhypothese akzeptiert, d. h. nicht abgelehnt (verworfen) wird. Beispiel: Es wird geprüft, ob ein Münzwurf fair ist oder aber „Kopf“ mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit fällt (Nullhypothese H 0 : p = 50 %, Alternativhypothese H 1 : p > 50 %). Lautet bei 100 Würfen die Entscheidungsregel, dass H 0 ab 54-mal „Kopf“ abgelehnt wird, ist der Annahmebereich die Menge {0, 1, 2, …, 53}.

Bei einer antiproportionalen bzw. indirekt oder umgekehrt proportionalen Zuordnung sind Ausgangsgröße x und zugeordnete Größe y (unabhängige und abhängige) produktgleich . Das bedeutet, dass das Produkt aus beiden Größen immer gleich groß ist, z. B. gleich einer Konstanten k : x · y = k Beispiel: Ein physikalisches Beispiel sind Zeit und Geschwindigkeit bei einem 5000-m-Wettrennen. Wenn ich nur 10 km/h schaffe, brauche ich 30 min, bei der doppelten Geschwindigkeit von 20 km/h immerhin noch 15 Minuten, also die halbe Zeit, wenn ich mein Rennrad nehme und das vierfache Tempo 40 km/h erreiche...

Eine Umformung der Terme einer Gleichung , bei der sich deren Lösungsmenge L (und auch deren Definitionsmenge D ) nicht ändert, nennt man Äquivalenzumformung . Mit anderen Worten: Eine Gleichung ist nach einer Äquivalenzumformung äquivalent zur Form, in der sie vor der Umformung war. Das Wort äquivalent kommt übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „gleichwertig“. Beispiel: (I) ( x – 2) · ( x + 5) = 0; D = ℝ; L = {–5; 2} (II) –2 x 2 – 6 x + 20 = 0; D = ℝ; L = {–5; 2} Beide Gleichungen haben dieselbe Defintions- und Lösungsmenge, also sind sie äquivalent und die Umformung...

Das Argument einer Funktion ist die unabhängige Variable , also z. B. das „ x “ im Funktionsterm f ( x ) = 3 x + 2.

Eine Zahlenfolge , bei der die Differenz d = a n +1 – a n von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern für alle \(n \in \mathbb N\) gleich groß (konstant) ist, nennt man einen arithmetische Zahlenfolge . Die Bezeichnung „arithmetische Zahlenfolge“ kommt daher, dass von drei aufeinanderfolgenden Gliedern a n –1 , a n und a n +1 das mittlere Glied a n immer gleich dem arithmetischen Mittel der beiden äußeren Glieder ist: \(\displaystyle a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n + 1}}{2}\ (n \in \mathbb{N})\) . Für arithmetische Zahlenfolgen gilt das explizite Bildungsgesetz: a n = a 1 + ( n – 1) · d ( \(n \in...

Das arithmetische Mittel ist ein Lagemaß , das bei einer Zufallsstichprobe als Schätzwert für den Erwartungswert der betrachteten Zufallsvariable benutzt werden kann. Man berechnet ihn als die Summe aller Werte geteilt durch deren Anzahl: \(\displaystyle \bar{x} = \frac{1}n \cdot \big(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\big)\) Andere Bezeichnungen für das arithmetische Mittel sind Durchschnitt oder (arithmetischer) Mittelwert . Dabei ist aber zu beachten, dass es noch andere Definitionen von Mittelwerten gibt, z. B. das geometrische, harmonische oder quadratische Mittel. Bei einfachen Verteilungen der...

Die Arkusfunktionen („Bogenfunktionen“) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen ( Winkelfunktionen ). Sie geben also die Antwort auf die Frage, welcher Winkel zu einem bestimmten Wert von Sinus , Kosinus bzw. Tangens gehört. Da man sich bei der Diskussion von Funktionen das Leben ungern mit Einheiten wie „Grad“ schwer macht, verwendet man hier in der Regel das Bogenmaß . Da alle drei Winkelfunktionen keine eineindeutigen Funktionen sind, sondern jeder Wert innerhalb des jeweiligen Wertebereichs sogar unendlich oft auftaucht, muss man den Definitionsbereich einschränken...

Das Assioziativgesetz , Verbindungsgesetz oder „ Klammergesetz “ ist ein grundlegendes Rechengesetz. Es besagt, dass man bei Addition und Multiplikation (bzw. bei allen Rechenarten und -operationen, bei denen es gilt) beliebig Klammern setzen oder weglassen kann: \(\begin{matrix}(a + b) + c &=& a + (b + c)\\ (a · b) · c &=& a · (b · c)\end{matrix} \) Beispiele: \(\begin{matrix} (10 + 8) + 6 &=& 18 + 6 &=& \mathbf{24} &=& 10 + 14 &=& 10 + (8 + 6)\ \(2 · 4) · 6 &=& 8 · 6 &=& \mathbf{48} &=& 2 · 24 &=& 2 · (4 · 6)\end{matrix} \) Mithilfe von negativen Vorzeichen („Minus“) und Kehrwerten kann...

Eine Asymptote ist eine Gerade (oder allgemeiner eine Kurve) an die sich ein gegebener Funktionsgraph an den Rändern des Definitionsbereichs beliebig dicht, aber niemals exakt annähert, also entweder für \(x \to \pm\infty\) oder in der Umgebung einer Polstelle (Unendlichkeitsstelle). Das Wort Asymptote kommt aus dem Griechischen und bedeutet „die Nichtzusammenfallende“ (besser wäre allerdings „Fast-aber-nicht-ganz-Zusammenfallende“) Man hat es in der Schule vor allem mit drei Arten von Asymptoten zu tun: Waagerechte (horizontale) Asymptote : Wenn für eine Funktion der Grenzwert \(...

In der beschreibenden Statistik der Weg von der Urliste einer Stichprobe zu einer Darstellung der Daten, mit der sich statistische Diagramme erstellen lassen oder auf die sich die Methoden der beurteilenden Statistik wie das Schätzen von Parametern oder Hypothesentests anwenden lassen.

Ein Aufpunkt ist ein bereits bekannter Punkt einer Gerade oder Ebene , mit dessen Hilfe man eine Gleichung für diese Gerade bzw. Ebene aufstellen kann. Dies gilt insbesondere für die Parameterform solcher Gleichungen, die nach dem Schema „Geradenpunkt gleich Aufpunkt plus skalierter Richtungsvektor “ bzw. „Ebenenpunkt gleich Aufpunkt plus skalierte Spannvektoren “ aufgebaut sind. Der Ortsvektor des Aufpunkts wird auch Stützvektor genannt.

Bei der Kettenregel \((u \circ v)'(x_0) = u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)\) ist die äußere Ableitung die Ableitung der als zweites angewendeten Funktion u nach der „inneren“ Funktion \(v\) .

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist „Ausfall“ eine andere Bezeichnung für ein Ergebnis eines Zufallsexperiments , wobei das Wort vereinzelt auch als Synonym für ein Ereignis gebraucht wird – also immer auf den Zusammenhang achten! Bei manchen Rechenaufgaben wird mit „Ausfall“ auch das Versagen eines Geräts bezeichnet, dessen Wahrscheinlichkeit dann als „Ausfallwahrscheinlichkeit“ bestimmt werden soll. In diesem Fall steht die Bezeichnung „Ausfall“ also für das Ergebnis eines Bernoulli-Experiments : {„geht“; „geht nicht“}.

Bei einer linearen Regression diejenige Gerade , welche am besten mit den Messwerten verträglich ist bzw. die Abstände zwischen Datenpunkten und Punkten auf der Geraden minimiert. Es ist oft auch möglich, durch „Augenmaß“ eine recht gute Ausgleichsgerade zu zeichnen und daraus Steigung und Achsenabschnitt abzulesen. Eine lineare Regression liefert jedoch exakte Werte für Steigung und Achsenabschnitt und dazu mit dem Korrelationskoeffizienten r bzw. dem Bestimmtheitsmaß r 2 ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass zwishcen den Daten tatsächlich ein linearer Zusammenhang besteht. Beispiel...

Das Ausklammern ist eine Termumformung (und auch eine Äquivalenzumformung ), bei welcher mithilfe des Distributivgesetzes eine Summe faktorisiert , d. h. ein Faktor aus einer Summe „vor die Klammer gezogen“ wird. Allgemein ersetzt man einen Ausdruck der Form a · b + a · c durch einen Ausdruck der Form a · ( b + c ). Der Trick besteht oft darin, den gemeinsamen Faktor a in den beiden Summanden zu erkennen. Beispiele: 111 + 74 = 37 · 3 + 37 · 2 = 37 · (3 + 2) = 37 · 5 = 185 5 xy + 20 ab = 5 · 3 xy + 5 · 4 ab = 5 · ( 3 xy + 4 ab ) 4 x 2 – 6 xy = 2 x (2 x – 3 y ) Treten nur teilweise gleiche...

Das Ausmultiplizieren ist eine Termumformung (und auch eine Äquivalenzumformung ), bei welcher mithilfe des Distributivgesetzes Klammerausdrücke aufgelöst, d. h. in Produkte von Termen in Summen umgewandelt werden. Allgemein ersetzt man einen Ausdruck der Form \(a · (b + c) \) durch einen Ausdruck der Form \(a · b + a · c\) . Beispiele: 12 · (3 + 7) = 12 · 3 + 12 · 7 = 36 + 84 3 a · ( b + 1) = 3 a b + 3 a Oft muss man auch mehrfach ausmultiplizieren: ( x – 1) · ( x + 2) = ( x – 1) · x + ( x – 1) · 2 = x 2 – x – 2 Anmerkung: Wenn man möchte, kann man dies mithilfe der dritten binomischen...

In der Mathematik bzw. der Logik ist eine Aussage , einfach ausgedrückt, etwas, das entweder wahr oder falsch ist (und nichts anderes). Beispiele: „1 + 1 = 2“ ( wahr ) „3 + 4 = 5“ ( falsch ) „Am 5. April 2016 um 18 Uhr regnet es in Heidelberg.“ (leider wahr ) „In diesem Lexikon gibt es zum Thema „Aussagen“ einen Eintrag.“ ( wahr ) „Berlin liegt am Neckar.“ (falsch) Keine Aussagen sind Fragen, Befehle oder sinnlose Äußerungen: „Wie spät ist es?“ „Komm her!“ „Gehen Bär grün“ Wenn eine mathematische Gleichung oder Ungleichung eine Variable enthält, ist sie keine Aussage mehr (man weiß ja nicht...

Drei Axiome , d. h. grundlegende Annahmen bzw. Aussagen, aus denen man die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung ableiten kann. Dabei soll die Menge \(\Omega = \big\{ \omega _1 , \omega _2 , ... \omega _n \big\}\) die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments sein, E eine Teilmenge von \(\Omega\) ( \(E \subseteq \Omega\) ) und P eine Funktion , die jedem E eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet. Wenn die drei folgenden Aussagen gelten, dann ist P ( E ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn zwei Zufallsexperimente dieselbe Ergebnismenge und dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, sind...