Um den (senkrechten) Abstand eines Punkts P von einer Geraden g zu berechnen, geht man folgendermaßen vor:
- Man bestimmt den Lotfußpunkt F, indem man das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden und einem (variablen) Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt P und einem beliebigen Geradenpunkt \(X \in g\) null setzt.
- Die erhaltene Gleichung wird nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst und das Ergebnis in die Geradengleichung eingesetzt, um die Koordinaten des Lotfußpunkts F zu bekommen.
- Dann berechnet man den Abstand von P und F als Betrag des Differenzvektors.
Beispiel im \( \mathbb{R}^3\):
P(–3|3|–1); \(g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \ (\lambda \in \mathbb{R})\)
\(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PX} = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1- p_1 \\ x_2- p_2 \\ x_3- p_3 \end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 + 3\lambda - (-3) \\ 7 + 2\lambda - 3 \\ 2 + \lambda - (-1) \end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3\lambda + 1 \\ 2 \lambda + 4 \\ \lambda + 3 \end{pmatrix} = 0\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\ \Leftrightarrow 3 \cdot (3\lambda + 1) + 2 \cdot (2\lambda + 4) + 1 \cdot (\lambda + 3) = 0\)
\(\\ \quad\quad\quad\quad\quad\ \Leftrightarrow 9\lambda + 3 + 4\lambda + 8 + \lambda + 3 = 0 \Leftrightarrow 14\lambda = - 14 \Leftrightarrow \lambda = - 1\)
\(\lambda = - 1\) in die Geradengleichung einsetzen:
\(\begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + (- 1) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} ; F (- 5|5|1)\) ist Lotfußpunkt.
\(d (P, g) = \left| \overrightarrow{PF} \right| = \left| \begin{pmatrix} f_1 - p_1 \\ f_2 - p_2 \\ f_3 - p_3 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -5 - (-3) \\ 5 - 3 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt 3 \approx 3,46\)